初三数学圆的有关性质及有关的角含答案.docx

1、初三数学圆的有关性质及有关的角含答案第三讲 圆的有关性质及有关的角一、知识要点：1、圆是平面上到的距离等于的点的集合。2、的三点确定一个圆；任何一个三角形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的 心，它是三角形的的交点。3、圆是以为 轴的轴对称图形，又是以为中心的中心对称图形。4、垂径定理的条件是，结论是。5、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都。重、难点：圆的基本性质，垂径定理。基础知识圆的有关性质和计算1垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 垂径定理的推论:平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分

2、弦所对的两条弧.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧2弧、弦、圆心角之间的关系:在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两条两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等.3在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半.4圆内接四边形的性质: 圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角.1、圆心角的度数等于它所对的弧的度数；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的；半圆（或直径）所对的圆周角是；90的圆周角所对的弦是。2、弦切角它所夹的弧对的圆周角。3、圆内接四边形的对

3、角；任何一个外角都等于它的。二、例题讲解（1）圆的认识1、（2005扬州）下列四个命题：直径所对的圆周角是直角；圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等；三点确定一个圆其中正确命题的个数为（） A1个 B2个 C3个 D4个2、下列命题中，正确的是（） A圆只有一条对称轴 B圆的对称轴不止一条，但只有有限条 C圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴 D圆有无数条对称轴，每条直径所在的直线都是它的对称轴3、过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为（） A1条 B2条 C3条 D无数条4、下列命题中，正确的个数是（）（1）不同的圆中不可能有相等的弦； （2）优弧一定大于

4、劣弧；（3）半径相等的两个圆是等圆； （4）一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧 A1个 B2个 C3个 D4个（2）垂径定理及推论例1、1（2012新疆）如图，圆内接四边形ABCD，AB是O的直径，ODBC于E（1）请你写出四个不同类型的正确结论；（2）若BE=4，AC=6，求DE练习1、（2019南通）如图，O的半径为17cm，弦ABCD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离变式题1：（2010襄阳）圆的半径为13cm，两弦：ABCD，AB=24cm，CD=10cm，求两弦AB、CD的距离。练习2、（2012陕西）如图，在半径为5的O中，AB

5、、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为 。变式题2、如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交AB于C，交弦AB于D，（1）求作此残片所在的圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若AB=8cm，CD=2cm，求（1）中所作圆的半径（3）垂径定理的应用例2、如图，有一个拱桥是圆弧形，它的跨度为60m，拱高为18m，当洪水泛滥跨度小于30m时，要采取紧急措施若拱顶离水面只有4m时，问是否要采取紧急措施？练习3、工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9毫米，如图所示，则这个小孔的直径AB是多少毫米？变式题3、由

6、于过度地采伐森林和破坏植被，使我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭近日A市气象局测得沙尘暴中心在A市的正西方向300km的B处，正以km/h的速度向南偏东60的BF方向移动，距沙尘暴中心200km的范围内是受沙尘暴严重影响的区域（1）通过计算说明A市必然是否会受到这次沙尘暴的影响；（2）计算A市受沙尘暴影响的时间（4）圆心角、弧、弦关系例5、（2020绵阳）如图，AB是O的直径，BC、CD、DA是O的弦，且BC=CD=DA，求BCD的度数。练习4、（2020十堰）如图，在O中，弦AB=CD，图中的线段、角、弧分别具有相等关系的量共有（不包括AB=CD）（） A10组 B7组 C6组 D5组变式题5

7、、（2020资阳）如图，A、B、C、D、E、F是O的六等分点（1）连接AB、AD、AF，求证：AB+AF=AD；（2）若P是圆周上异于已知六等分点的动点，连接PB、PD、PF，写出这三条线段长度的数量关系（不必说明理由）练习5、如图，O中两条不平行弦AB和CD的中点M，N且AB=CD，求证：AMN=CNM（5）圆周角定理例6、（2020沈阳）如图，O是ABC的外接圆，AB是O的直径，D为O上一点，ODAC，垂足为E，连接BD（1）求证：BD平分ABC；（2）当ODB=30时，求证：BC=OD练习6、（2020衢州）如图4，点A、B、C在O上，ACB=30，则sinAOB= 。 图4 图5 图6

8、 图7练习7、（220德阳），如图5，已知AB、CD是O的两条直径，ABC=30，那么BAD= 。练习8、（2012随州）如图6，AB是O的直径，若BAC=35，则ADC=（） A35 B55 C70 D110练习9、（2016芜湖）如图7，直径为10的A经过点C（0，5）和点O（0，0），B是y轴右侧A优弧上一点，则cosOBC= 。练习10、（2019大庆）如图ABC中，BC=3,以BC为直径的O交AC于点D,若D是AC中点,ABC=120（1）求ACB的大小；（2）求点A到直线BC的距离练习11、（2020陕西）如图，在RtABC中，ACB=90，AC=5，CB=12，AD是ABC的角平

9、分线，过A、C、D三点的圆O与斜边AB交于点E，连接DE（1）求证：AC=AE；（2）求AD的长综合训练、（2020沈阳）如图，O是ABC的外接圆，AF是O的直径，与BC交于点H，且AB=AC，点D是弧BC上的一点，连接AD、BD，且AD与BC相交于点E（1）求证：ABC=D；（2）求证：AC2=AEAD；（3）当AB=5，BC=6时，求O的半径（6）圆内接四边形例7、如图，四边形ABCD内接于O，并且AD是O的直径，C是弧BD的中点，AB和DC的延长线交O外一点E求证：BC=EC图8 图9练习12、（2020万州区），如图8，圆内接四边形ABCD的内角A：B：C=2：3：4，则D= 度练习1

10、3、（2020太原）已知：如图9，O1和O2相交于A、B两点，经过A的直线CD与O1交于点C、与O2交于点D，经过点B的直线EF与O1交于点E、与O2交于点F，连接CE、DF若AO1E=100，则D的度数为 度练习14、（1）已知：如图1，四边形ABCD内接于O，延长BC至E求证：A+BCD=180，DCE=A（2）依已知条件和（1）中的结论：1如图2，若点C在O外，且A、C两点分别在直线BD的两侧试确定A+BCD与180的大小关系；2如图3，若点C在O内，且A、C两点分别在直线BD的两侧试确定A+BCD与180的大小关系三、能力提升1、已知AB是O的直径，半径OCAB，D为 上任意一点，E为

11、弦BD上一点，且BE=AD，求证：CDE为等腰直角三角形(提示：连接AC、BC)2、如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O分别交BC、AC于点D、E，连接EB交OD于点F（1）求证：ODBE；（2）若DE= ，AB= ，求AE的长3、已知：在ABC中，以AC边为直径的O交BC于点D，在劣弧AD 上取一点E使EBC=DEC，延长BE依次交AC于点G，交O于H（1）求证：AC丄BH；（2）若ABC=45，O的直径等于10，BD=8，求CE的长第四讲 直线和圆圆和圆的位置关系一、知识要点：1、概念：相离、相切及切点、相交；三角形的内切圆、内心及圆的外切三角形；切线长；弦切角。2、直线和圆位置

12、关系的判定公式：设圆的半径为R，圆心到直线的距离为d，则dR 直线和圆相离；d=R 直线和圆相切；dr)分别为两圆半径，两圆外切时圆心距为5，两圆内切时圆心距为1，求R、r的值？练习1、（2020六盘水）已知两圆的半径分别为2和3，两圆的圆心距为4，那么这两圆的位置关系是 。 练习2、（2020铜仁地区）已知圆O1和圆O2外切，圆心距为10cm，圆O1的半径为3cm，则圆O2的半径为 练习3、（2020盐城）已知O1与O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根，且O1O2=t+2，若这两个圆相切，则t= 练习4、（2020锦州）如图所示，点A、B在直线MN上，AB=11cm，A、B的半径均为

13、1cm，A以每秒2cm的速度自左向右运动，与此同时，A的半径也不断增大，其半径r（cm）与时间t（秒）之间的关系式为r=1+t（t0），当点A出发后 秒两圆相切练习5、如图，已知RtABC中，C=90，AC=8，BC=6，点P以1个单位/秒的速度从A向C运动，点Q以2个单位/秒的速度同时沿ABC方向运动，P和Q的半径都为1求：（1）求圆心距PQ的最大值；（2）设运动时间为t，求两圆相切时t的值；（3）当t为何值时，两圆相离练习6、（2020日照）如图，直角梯形ABCD中，ADBC，A=90，C=60，AD=3cm，BC=9cmO1的圆心O1从点A开始沿折线A-D-C以1cm/s的速度向点C运动

14、，O2的圆心O2从点B开始沿BA边以 cm/s的速度向点A运动，O1半径为2cm，O2的半径为4cm，若O1、O2分别从点A、点B同时出发，运动的时间为t（1）请求出O2与腰CD相切时t的值；（2）在0st3s范围内，当t为何值时，O1与O2外切？三、能力提升1、（2020资阳）如图，在ABC中，AB=AC，A=30，以AB为直径的O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，交O于点P，连接EP、CP、OP（1）BD=DC吗？说明理由；（2）求BOP的度数；（3）求证：CP是O的切线；如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然

15、后分别用不同的思路完成了这个题目在进行小组交流的时候，小明说：“设OP交AC于点G，证AOGCPG”；小强说：“过点C作CHAB于点H，证四边形CHOP是矩形”附 圆的有关计算与圆的复习一、知识要点1、各顶点都在一个圆上的正多边形叫这个圆的内接正多边形，这个圆叫做正多边形的外接圆；各边都与一个圆相切的正多边形叫这个圆的内切正多边形，这个圆叫做正多边形的内切圆。2、正多边形的外接圆的圆心叫这个正多边形的中心；外接圆的半径叫正多边形的半径；正多边形每条边所对的圆心角叫正多边形的中心角；中心到正多边形的距离叫正多边形的边心距。3、正多边形的半径，边长，边心距的概念及其之间的关系。4、一个圆心角为n的

16、扇形，其弧长l，面积S，或者S。5、圆锥的侧面展开图是一个扇形，理清如下对应关系： 圆锥的母线扇形的半径； 圆锥的底面周长扇形的弧长 圆锥的侧面积扇形的面积二、例题讲解（1）正多边形和圆 1、画正n边形的步骤：将一个圆n等分，顺次连接各分点。对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。 2、正n边形的每个内角都等于，每个外角为，等于中心角。 3、一个正多边形的外接圆的 叫做这个正多边形的中心，外接圆的 叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的 叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的 正多边形的边心距。4、正n边形都是轴对称图形，当边数为偶

17、数时，它的对称轴有 条，并且还是中心对称图形；当边数为奇数时，它只是 。5、如果正多边形的一个外角等于600，那么它的边数为 6、若正多边形的边心距与边长的比为1：2，则这个正多边形的边数为 。7、已知正六边形的外接圆半径为3cm，那么它的周长为 cm。8、正多边形的一边所对的中心角与该正多边形的一个内角的关系是 。例1、（2020巴中）已知一个圆的半径为5cm，求它的内接六边形的边长练习1、（2020天津）若一个正六边形的周长为24，求该六边形的边长和面积夯实基础1、（2020昆明）半径为r的圆内接正三角形的边长为 （结果可保留根号）2、（2020荆州）若一边长为40cm的等边三角形硬纸板刚

18、好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈中穿过，则铁圈直径的最小值为 cm（铁丝粗细忽略不计）3、（2020苏州）将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形，求这个正方形的边长（结果保留根号）（2）弧长的计算如果弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r，那么，弧长 例2、填表：半径r圆心角度数n弧长l830156012018（圆周率用表示即可）练习1、（2012肇庆）扇形的半径是9cm，弧长是3cm，则此扇形的圆心角为 度练习2、（2011吉林）如图所示，小亮坐在秋千上，秋千的绳长OA为2米，秋千绕点旋转了60，点A旋转到点A，则弧AA的长为 米（结果保留）（3）扇形面积计算：方法一：如果已知扇形圆

19、心角为n，半径为r，那么扇形面积 。方法二：如果已知扇形弧长为l，半径为r， 那么扇形面积 。例3、填表：半径r圆心角度数n弧长l扇形面积1030442128例4、（2020舟山）如图，已知O的半径为2，弦AB半径OC，沿AB将弓形ACB翻折，使点C与圆心O重合，求月牙形（图中实线围成的部分）的面积练习1、（2020重庆）一个扇形的圆心角为120，半径为3，则这个扇形的面积为 （结果保留）练习2、（2020贵港）如图，在ABC中，A=50，BC=6，以BC为直径的半圆O与AB、AC分别交于点D、E，求图中阴影部分面积之和（结果保留）（4）圆锥的侧面积与表面积（1）如图2：为圆锥的 ，为圆锥的

20、，为圆锥的 ，由勾股定理可得：、之间的关系为： （2）如图2：圆锥的侧面展开后一个 ：圆锥的母线是扇形的 。而扇形的弧长恰好是圆锥底面的 。故：圆锥的侧面积就是圆锥的侧面展开后的扇形的 。圆锥的表面积= + 例5、如图，一个圆锥的高为cm，侧面展开图是半圆求：（1）圆锥的母线长与底面半径之比；（2）求BAC的度数；（3）圆锥的侧面积（结果保留）练习1、（2020绍兴）一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为90的扇形，则此圆锥的底面半径为 。2、（2020张家界）已知圆锥的底面直径和母线长都是10cm，则圆锥的侧面积为 。 图1 图23、（2020岳阳）圆锥底面半径为，母线长为2，它的侧面展开图的圆心角是 。4、（2020永州）如图1，已知圆O的半径为4，A=45，若一个圆锥的侧面展开图与扇形OBC能完全重合，则该圆锥的底面圆的半径为 5、（2020绥化）小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型如图2所示，它的底面半径OB=3cm，高OC=4cm，则这个圆锥漏斗的侧面积是 。