七年级周末培优2利用绝对值的几何意义解题上课讲义.docx

1、七年级周末培优2利用绝对值的几何意义解题上课讲义七年级周末培优2：利用绝对值的几何意义解题 班级： 姓名： 号次： 例题分析： 例1 已知a是有理数，| a2017|+| a2018|的最小值是_. 例2 |x2| x5| 的最大值是_，最小值是_ 例3 方程|x1|+|x2|4的解为_例4若 |x+1|+|2x|3，则x的取值范围是_例5对于任意数x，若不等式|x2|+|x4|a恒成立，则a的取值范围是_例6不等式|x2|+|x3|5的解集是_例8（第15届江苏省竞赛题，初一）已知|x2|+|1x|9|y5|1+y|，求x+ y最大值与最小值一选择题（共3小题）1若a，b互为相反数，则下列各

2、对数中不是互为相反数的是（）A2a和2b Ba+1和b+1 Ca+1和b1 D2a和2b2如图，现有33的方格，每个小方格内均有不同的数字，要求方格内每一行每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，图中给出了部分数字，则P处对应的数字是（）A7 B5 C4 D13下列结论错误的是（）A若a0，b0，则ab0 Bab，b0，则ab0C若a0，b0，则a（b）0 D若a0，b0，且|a|b|，则ab0二填空题（共8小题）4如果x、y都是不为0的有理数，则代数式的最大值是 5若|m|=3，|n|=2且mn，则2mn= 6|x+2|+|x2|+|x1|的最小值是 7已知m、n、p都是整数，且|mn

3、|+|pm|=1，则pn= 8若|a+1|+|a2|=5，|b2|+|b+3|=7，则a+b= 9【阅读材料】“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（图1所示），是世界上最早的矩阵，又称“幻方”，用今天的数学符号翻译出来，“洛书”就是一个三阶“幻方”（图2所示）【规律总结】观察图1、图2，根据“九宫图”中各数字之间的关系，我们可以总结出“幻方”需要满足的条件是 ；若图3，是一个“幻方”，则a= 10电影哈利波特中，小哈利波特穿越墙进入“站台”的镜头（如示意图的Q站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象若A、B站台分别位于，处，AP=2PB，则P站台用类似电影的方法可称为“ 站台”11在数轴上

4、，点P表示的数是a，点P表示的数是，我们称点P是点P的“相关点”，已知数轴上A1的相关点为A2，点A2的相关点为A3，点A3的相关点为A4，这样依次得到点A1、A2、A3、A4，An若点A1在数轴表示的数是，则点A2018在数轴上表示的数是 三解答题（共13小题）12若|a|+|b|=4，且a=1，求ab的值 13已知|a1|=5，|b|=2，|a+b|a+b，求ab的值14同学们都知道，|5（2）|表示5与2之差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对的两点之间的距离如|x3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离试探索：（1）求|5（2）|= （2）若|x3|

5、=|x+1|，则x= （3）同样道理|x+5|+|x2|表示数轴上有理数x所对点到5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x2|=7，这样的整数是 15如图，已知数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为4，点C是AB的中点，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为x秒（x0）（1）当x= 秒时，点P到达点A（2）运动过程中点P表示的数是 （用含x的代数式表示）；（3）当P，C之间的距离为2个单位长度时，求x的值16在一个33的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的33的方格称为一个三阶幻方（

6、1）在图1中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方；（2）如图2的方格中填写了一些数和字母，当x+y的值为多少时，它能构成一个三阶幻方17已知：数轴上点A表示的数是8，点B表示的数是4动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左运动P，Q两点同时出发（1）经过多长时间，点P位于点Q左侧2个单位长度？（2）在点P运动的过程中，若点M是AP的中点，点N是BP的中点，求线段MN的长度18已知数轴上的点A和点B之间的距离为32个单位长度，点A在原点的左边，距离原点5个单位长度，点B在原点的右边（1）点A所对应的数是 ，点B对应的数是

7、 ；（2）若已知在数轴上的点E从点A出发向左运动，速度为每秒2个单位长度，同时点F从点B出发向左运动，速度为每秒4个单位长度，在点C处点F追上了点E，求点C对应的数19如图，点A、B都在数轴上，且AB=6（1）点B表示的数是 ；（2）若点B以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动，则2秒后点B表示的数是 ；（3）若点A、B都以每秒2个单位沿数轴向右运动，而点O不动，t秒后有一个点是一条线段的中点，求t20观察下面的等式：1=|+2|+3； 31=|1+2|+3； 11=|1+2|+3；（）1=|+2|+3； （2）1=|4+2|+3回答下列问题：（1）填空： 1=|5+2|+3；（2）已知21=|x

8、+2|+3，则x的值是 ；（3）设满足上面特征的等式最左边的数为y，求y的最大值，并写出此时的等式22如图，点A、B都在数轴上，O为原点（1）点B表示的数是 ；（2）若点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，则2秒后点B表示的数是 ；（3）若点A、B分别以每秒1个单位长度、3个单位长度的速度沿数轴向右运动，而点O不动，t秒后，A、B、O三个点中有一个点是另外两个点为端点的线段的中点，求t的值23已知数轴上，点O为原点，点A对应的数为11，点B对应的数为b，点C在点B右侧，长度为3个单位的线段BC在数轴上移动，（1）如图1，当线段BC在O，A两点之间移动到某一位置时，恰好满足线段AC=OB，

9、求此时b的值；（2）线段BC在数轴上沿射线AO方向移动的过程中，是否存在ACOB=AB？若存在，求此时满足条件的b的值；若不存在，说明理由24已知，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动7cm到达A点，再从A点向右移动12cm到达B点，把点A到点B的距离记为AB，点C是线段AB的中点（1）点C表示的数是 ；（2）若点A以每秒2cm的速度向左移动，同时C、B点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动，设移动时间为t秒，点C表示的数是 （用含有t的代数式表示）；当t=2秒时，求CBAC的值；试探索：CBAC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值七年级周末培优2：利用绝对值

10、的几何意义解题参考答案与试题解析一选择题（共3小题）1若a，b互为相反数，则下列各对数中不是互为相反数的是（）A2a和2b Ba+1和b+1 Ca+1和b1 D2a和2b【分析】若a，b互为相反数，则a+b=0，根据这个性质，四个选项中，两个数的和只要不是0的，一定不是互为相反数【解答】解：a，b互为相反数，a+b=0A中，2a+（2b）=2（a+b）=0，它们互为相反数；B中，a+1+b+1=20，即a+1和b+1不是互为相反数；C中，a+1+b1=a+b=0，它们互为相反数；D中，2a+2b=2（a+b）=0，它们互为相反数故选：B【点评】本题考查了互为相反数的意义和性质：只有符号不同的两

11、个数互为相反数，0的相反数是0；一对相反数的和是02如图，现有33的方格，每个小方格内均有不同的数字，要求方格内每一行每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，图中给出了部分数字，则P处对应的数字是（）A7 B5 C4 D1【分析】设下面中间的数为x，分别表示出相应的数，再根据每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，列出方程求解即可【解答】解：设下面中间的数为x，则三个数字之和为8+x，83=5，8+x36=x1，8+x2（x1）=7，5+6+773=8，如图所示：P+6+8=7+6+5，解得P=4故选：C【点评】此题主要考查有理数的加法，图形的变化规律，学习过程中注意培养自己的观察

12、、分析能力3下列结论错误的是（）A若a0，b0，则ab0 Bab，b0，则ab0C若a0，b0，则a（b）0 D若a0，b0，且|a|b|，则ab0【分析】根据有理数的减法运算法则对各选项分析判断利用排除法求解【解答】解：A、若a0，b0，则ab0正确，故本选项错误；B、若ab，b0，则ab0正确，故本选项错误；C、若a0，b0，则a（b）0正确，故本选项错误；D、若a0，b0，且|a|b|，则ab0错误，故本选项正确故选：D【点评】本题考查了有理数的减法，要注意字母表示数的抽象性，熟记运算法则是解题的关键二填空题（共8小题）4如果x、y都是不为0的有理数，则代数式的最大值是1【分析】此题要分

13、三种情况进行讨论：当x，y中有二正；当x，y中有一负一正；当x，y中有二负；分别进行计算【解答】解：当x，y中有二正，=1+11=1；当x，y中有一负一正，=11+1=1；当x，y中有二负，=111=3故代数式的最大值是1故答案为：1【点评】此题主要考查了绝对值，以及有理数的除法，关键是要分清分几种情况，然后分别进行讨论计算5若|m|=3，|n|=2且mn，则2mn=4或8【分析】根据|m|=3，|n|=2且mn，可得：m=3，n=2，据此求出2mn的值是多少即可【解答】解：|m|=3，|n|=2且mn，m=3，n=2，（1）m=3，n=2时，2mn=232=4（2）m=3，n=2时，2mn=

14、23（2）=8故答案为：4或8【点评】此题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数a；当a是零时，a的绝对值是零6|x+2|+|x2|+|x1|的最小值是4【分析】根据|xa|表示数轴上x与a之间的距离，因而原式表示：数轴上一点到2，2和1距离的和，当x在2和2之间的1时距离的和最小【解答】解：|x+2|+|x2|+|x1|表示：数轴上一点到2，2和1距离的和，当x在2和2之间的1时距离的和最小，是4故答案为：4【点评】本题主要考查了绝对值的意义，正确理解|xa|表示数轴上x与a之间的距离

15、，是解决本题的关键7已知m、n、p都是整数，且|mn|+|pm|=1，则pn=1【分析】由于|mn|+|pm|=1，且m、n、p都是整数，那么只有两种情况：|mn|=1，pm=0；mn=0，|pm|=1；这两种情况都可以得出pn=1；从而求解【解答】解：因为m，n，p都是整数，|mn|+|pm|=1，则有：|mn|=1，pm=0；解得pn=1；|pm|=1，mn=0；解得pn=1综合上述两种情况可得：pn=1故答案为：1【点评】本题主要考查了非负数的性质，根据已知条件求出p、n的关系式是解答本题的关键8若|a+1|+|a2|=5，|b2|+|b+3|=7，则a+b=1或6【分析】先根据绝对值的

16、性质分类讨论求得a、b的值，再分别代入a+b计算可得【解答】解：当a1时，a1+2a=5，解得a=2；当1a2时，a+1+2a=35，舍去；当a2时，a+1+a2=5，解得a=3；当b3时，2bb3=7，解得b=4；当3b2时，b3+b2=57，舍去；当b2时，b2+b+3=7，解得b=3；综上a=2或a=3，b=4或b=3；当a=2、b=4时，a+b=6；当a=2、b=3时，a+b=1；当a=3、b=4时，a+b=1；当a=3、b=3时，a+b=6；即a+b=1或6；故答案为：1或6【点评】本题主要考查有理数的加法和绝对值，解题的关键是根据绝对值的性质求得a、b的值及分类讨论思想的运用9【阅

17、读材料】“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（图1所示），是世界上最早的矩阵，又称“幻方”，用今天的数学符号翻译出来，“洛书”就是一个三阶“幻方”（图2所示）【规律总结】观察图1、图2，根据“九宫图”中各数字之间的关系，我们可以总结出“幻方”需要满足的条件是每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等；若图3，是一个“幻方”，则a=3【分析】根据题意确定出“幻方”需要的条件，确定出a的值即可【解答】解：【阅读材料】“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（图1所示），是世界上最早的矩阵，又称“幻方”，用今天的数学符号翻译出来，“洛书”就是一个三阶“幻方”（图2所示）【规律总结】观察图1、图

18、2，根据“九宫图”中各数字之间的关系，我们可以总结出“幻方”需要满足的条件是每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等；若图3，是一个“幻方”，则4+1+（2）=4+2+a，即a=3，故答案为：每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等；3【点评】此题考查了有理数的加法，弄清题意是解本题的关键10电影哈利波特中，小哈利波特穿越墙进入“站台”的镜头（如示意图的Q站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象若A、B站台分别位于，处，AP=2PB，则P站台用类似电影的方法可称为“站台”【分析】先根据两点间的距离公式得到AB的长度，再根据AP=2PB求得AP的长度，再用加上该长度即为所求【解答】解：A

19、B=（）=，AP=，P：+=故P站台用类似电影的方法可称为“站台”故答案为：【点评】此题考查了数轴，关键是用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点11在数轴上，点P表示的数是a，点P表示的数是，我们称点P是点P的“相关点”，已知数轴上A1的相关点为A2，点A2的相关点为A3，点A3的相关点为A4，这样依次得到点A1、A2、A3、A4，An若点A1在数轴表示的数是，则点A2016在数轴上表示的数是1【分析】先根据已知求出各个数，根据求出的数得出规律，即可得出答案【解答】解：点A1在数轴表示的数是，A2=2，A3=1，A4=，A5=2，A6=1，20163=672，所

20、有点A2016在数轴上表示的数是1，故答案为：1【点评】本题考查了数轴和有理数的计算，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键三解答题（共13小题）12若|a|+|b|=4，且a=1，求ab的值【分析】根据已知条件求出b的值，再代入要求的式子，然后进行计算即可【解答】解：|a|+|b|=4，a=1，b=3，ab=13=4或ab=1+3=2，ab的值是4或2【点评】此题考查了有理数的加减，解题的关键是求出b的值，是一道基础题13已知|a1|=5，|b|=2，|a+b|a+b，求ab的值【分析】先由绝对值的性质求得a、b的值，然后根据|a+b|a+b可得到a=4，b=2或a=4，b=2，最后代入计算

21、即可【解答】解：|a1|=5，|b|=2，a=6或4，b=2|a+b|a+b，a=4，b=2或a=4，b=2当a=4，b=2时，ab=8；当a=4，b=2时，ab=8，综上所述，代数式的值8【点评】本题主要考查的是求代数式的值、绝对值的定义和性质，求得a=4，b=2或a=4，b=2是解题的关键14同学们都知道，|5（2）|表示5与2之差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对的两点之间的距离如|x3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离试探索：（1）求|5（2）|=7（2）若|x3|=|x+1|，则x=1（3）同样道理|x+5|+|x2|表示数轴上有理数x所对点

22、到5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x2|=7，这样的整数是5，4，3，2，1，0，1，2【分析】（1）根据5与2两数在数轴上所对的两点之间的距离为7得到答案；（2）根据题意可得方程x3+x+1=0，再解即可；（3）由于|x+5|表示x与5两数在数轴上所对的两点之间的距离，|x2|表示x与2两数在数轴上所对的两点之间的距离，而|x+5|+|x2|=7，则x表示的点在5与2表示的点之间【解答】解：（1）|5（2）|=|5+2|=7，故答案为：7；（2）由题意得：x3+x+1=0，解得：x=1，故答案为：1；（3）|x+5|表示x与5两数在数轴上所对的两点之

23、间的距离，|x2|表示x与2两数在数轴上所对的两点之间的距离，而5与2两数在数轴上所对的两点之间的距离为2（5）=7，|x+5|+|x2|=7，5x2x=5，4，3，2，1，0，1，2，故答案为：5，4，3，2，1，0，1，2【点评】本题考查了绝对值和数轴，关键是掌握绝对值的性质：若a0，则|a|=a；若a=0，则|a|=0；若a0，则|a|=a15如图，已知数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为4，点C是AB的中点，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为x秒（x0）（1）当x=5秒时，点P到达点A（2）运动过程中点P表示的数是2x4（用含x的代数式表示）

24、；（3）当P，C之间的距离为2个单位长度时，求x的值【分析】（1）直接得出AB的长，进而利用P点运动速度得出答案；（2）根据题意得出P点运动的距离减去4即可得出答案；（3）利用当点C运动到点P左侧2个单位长度时，当点C运动到点P右侧2个单位长度时，分别得出答案【解答】解：（1）数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为4，AB=10，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为102=5（秒），故答案为：5；（2）动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，运动过程中点P表示的数是：2x4；故答案为：2x4；（3）点C表示的数为：6+（4）2=1，当

25、点C运动到点P左侧2个单位长度时，2x4=12解得：x=1.5，当点C运动到点P右侧2个单位长度时，2x4=1+2解得：x=3.5综上所述，x=1.5或3.5【点评】此题主要考查了数轴，正确分类讨论得出PC的长是解题关键16在一个33的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的33的方格称为一个三阶幻方（1）在图1中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方；（2）如图2的方格中填写了一些数和字母，当x+y的值为多少时，它能构成一个三阶幻方【分析】（1）根据三个数的和为2+3+4=9，依次列式计算即可求解；（2）先求出下面中间的数，进一步得到右上面的数，从而得到

26、x、y的值，相加可求x+y的值【解答】解：（1）2+3+4=9，964=1，962=1，927=0，940=5，如图所示：（2）3+14=6，6+1（3）=2，2+1+4=3，如图所示：x=34（6）=5，y=31（6）=8，x+y=5+8=13【点评】本题考查了有理数的加法，根据表格，先求出三个数的和是解题的关键，也是本题的突破口17已知：数轴上点A表示的数是8，点B表示的数是4动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左运动P，Q两点同时出发（1）经过多长时间，点P位于点Q左侧2个单位长度？（2）在点P运动的过程中，若点M是

27、AP的中点，点N是BP的中点，求线段MN的长度【分析】（1）根据题意可以列出相应的等式，从而可以解答本题；（2）根据题意可以用代数式表示出点M和点N表示的数，从而可以求得MN的长度【解答】解：（1）设经过t秒，点P位于点Q左侧2个单位长度，6t4t+8（4）=2，解得，t=7答：经过7秒，点P位于点Q左侧2个单位长度；（2）由题意可得，经过时间t，点P表示的数为：86t，点M是AP的中点，点N是BP的中点，点M表示的数是：，点N表示的数是：，MN=|（83t）（23t）|=|83t2+3t|=6，即线段MN的长度是6【点评】本题考查数轴，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数轴的知识解答18已知数轴上的点A和点B之间的距离为32个单位长度，点A在原点的左边，距离原点5个单位长度，点B在原点的右边（1）点A所对应的数是5，点B对应的数是27；（2）若已知在数轴上的点E从点A出发向左运动，速度为每秒2个单位长度，同时点F从点B出发向左运动，速度为每秒4个单位长度，在点C处点F追上了点E，求点C对应的数【分析】（1）根据题意找出A与B点对应的数即可；（2）设经过x秒F追上点E，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出C点对应的数【解答】解：（1）根据题意得：A点所对应的数是5；B对应的数是27；