1、高考数学一轮函数建模问题二三角函数解三角形第28课 函数建模问题(二)三角函数、解三角形最新考纲内容要求ABC正(余)弦定理及其应用1仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图)图2812方位角和方向角(1)方位角:从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为(如图)(2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30等1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)从A处望B处的仰角为,从B处望A处的俯角为,则,的关系为180.()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为.()(3
2、)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系()(4)如图282,为了测量隧道口AB的长度,可测量数据a,b,进行计算()图282答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)如图283,已知A,B两点分别在河的两岸,某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C,测得AC50 m,ACB45,CAB105,则A,B两点的距离为_m.图28350因为ACB45,CAB105,所以B30.由正弦定理可知,即,解得AB50 m3在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30,60,则塔高为_米如图所示,山的高度MN200米,塔高为AB,CNMB,AC.所以塔高AB200(米
3、)4如图284,为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针尖位置P(x,y)若初始位置为P0,当秒针从P0(注:此时t0)正常开始走时,那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为_图284ysin设点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为ysin(t)由题意可得,函数的初相位是.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转,即T60,所以|,即,所以ysin.5(教材改编)点P在直径AB1的半圆上移动(如图285所示),过P作圆的切线PT且PT1,PAB,则_时,四边形ABTP面积最大图285AB是圆的直径,APB90,又AB1,故PAcos ,PBsin .S四边形ABTPSPABST
4、PBsin cossin2sin 2sin.,2时,S0;当cos 0,所以当cos 时,S取得最小值,此时sin ,AD5,所以中转点C距A处 km时,运输成本S最小规律方法此类问题常以正、余弦定理为解题切入点,通过引入参变量“”建立关于三角函数的解析式,在此基础上,借助最值工具(如:三角函数的有界性、导数或基本不等式)求解函数最值,从而解决实际问题变式训练1如图289,两座建筑物AB,CD的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分别是9 m和15 m,从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角CAD45.图289(1)求BC的长度;(2)在线段BC上取一点P(点P与点B,C不重合
5、),从点P看这两座建筑物的视角分别为APB,DPC,问点P在何处时,最小?解(1)作AECD,垂足E,则CE9,DE6,设BCx,则tanCADtan(CAEDAE)1,化简得x215x540,解得x18或x3(舍)所以,BC的长度为18 m.(2)设BPt,则CP18t(0t18),tan().设f(t),f(t),令f(t)0,因为0t18,得t1527,当t(0,1527)时,f(t)0,f(t)是增函数,所以,当t1527时,f(t)取得最小值,即tan()取得最小值,因为t218t1350恒成立,所以f(t)0,所以tan()0;当时,f()0,当时,f()取得最大值答:时,征地面积
6、最大2. (2017镇江期中)广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画,根据该设施的外观,设计成的平面图由半径为2m的扇形AOB和三角区域BCO构成,其中C,O,A在一条直线上,ACB,记该设施平面图的面积为S(x) m2,AOBx rad,其中x.图2812(1)写出S(x)关于x的函数关系式;(2)如何设计AOB,使得S(x)有最大值?解(1)由已知可得CBOx,S扇形AOBlr2x,在BCO中,由正弦定理可得:,所以CO2(sin xcos x),从而SCBOBOCOsinBOC2sin2x2sin xcos x,所以S(x)2sin2x2sin xcos x2x2sin x(sin xc
7、os x)2x. (2)S(x)2(sin 2xcos 2x)22sin2,由S(x)0,解得x,令S(x)0,解得x,所以增区间是;令S(x)0,解得x,所以减区间是;所以S(x)在x处取得最大值是2 m2.答:设计成AOB时,该设施的平面图面积最大是2 m2.B组能力提升(建议用时:15分钟)1(2017无锡期中)如图2813,某自行车手从O点出发,沿折线OABO匀速骑行,其中点A位于点O南偏东45且与点O相距20千米该车手于上午8点整到达点A,8点20分骑至点C,其中点C位于点O南偏东(45)(其中sin ,090)且与点O相距5千米(假设所有路面及观测点都在同一水平面上)图2813(1
8、)求该自行车手的骑行速度;(2)若点O正西方向27.5千米处有个气象观测站E,假定以点E为中心的3.5千米范围内有长时间的持续强降雨试问:该自行车手会不会进入降雨区,并说明理由. 【导学号:62172155】解(1)由题意知,OA20,OC5,AOC,sin .由于090,所以cos .由余弦定理,得AC5.所以该自行车手的行驶速度为15(千米/小时)(2)如图,设直线OE与AB相交于点M.在AOC中,由余弦定理,得:cosOAC,从而sinOAC.在AOM中,由正弦定理,得:OM20.由于OE27.520OM,所以点M位于点O和点E之间,且MEOEOM7.5.过点E作EHAB于点H,则EH为
9、点E到直线AB的距离. 在RtEHM中,EHEMsinEMHEMsinEMHEMsin(45OAC)7.53.5.所以该自行车手会进入降雨区2(2017启东中学高三第一次月考)如图2814,某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD,其中BMN是半径为1百米的扇形,ABC.管理部门欲在该地从M到D修建小路:在弧MN上选一点P(异于M,N两点),过点P修建与BC平行的小路PQ.问:点P选择在何处时,才能使得修建的小路与PQ及QD的总长最小?并说明理由图2814解连结BP,过P作PP1BC垂足为P1,过Q作QQ1BC垂足为Q1.设PBP1,若0,在RtPBP1中,PP1sin ,BP1cos ,若,则PP1sin ,BP1cos ,若,则PP1sin ,BP1cos()cos ,PQ2cos sin .在RtQBQ1中,QQ1PP1sin ,CQ1sin ,CQsin ,DQ2sin .所以总路径长f()4cos sin ,f()sin cos 12sin1令f()0,得.当0时,f()0,当0.所以当时,总路径最短答:当BPBC时,总路径最短
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