华中师大《高等几何》练习题库及答案.docx

1、 华中师大高等几何练习题库及答案华中师大高等几何练习题库及答案 高等几何练习题库及答案 一、填空题 1欧几里得的几何原本一书共有 卷，其中有 条公理，条公设。2用公理法建立的几何学演绎体系是由原始概念的列举、等四个方面组成的。3绝对几何学的公理体系是由四组，条公理构成的。4罗巴切夫斯基函数当平行矩 时，其对应的平行角连续递减。5罗氏平面上直线的相互位置有三种可能，即、。6斜率为的直线上的无穷远点的齐次坐标是。7两个射影点列成透视对应的充要条件是。8欧氏平面上添加了 后，成为仿射平面。9共线 4点，若满足 ，则称点对与点对互成调和共轭。10平面内两点称为平面内的。11希尔伯特提出几何公理系统的三

2、个基本问题是、。12罗巴切夫斯基函数当平行矩连续递增时，其对应的平行角。13球面三角形的三角和常小于 而大于。球面三角形中两角和减去第三角常小于。14射影变换是对合的充要条件是。15射影变换的基本不变量是。16共线 4点，若满足，则称点对与点对互成。17平面内两点、称为平面内的圆点。18几何学公理法从开始到形成，大体经历了 阶段。19几何原本被认为是用 建立的几何学。20欧几里得第五公设叙述为：21希尔伯特于 1899 年发表了著名的著作，这部书被看作是几何基础研究的经典著作。22几何原本被认为是用古典公理法建立的几何学，这本书的作者是。23罗巴切夫斯基平面几何的平行公理叙述为 24罗氏平面上

3、三角形内角和 二直角。25球面三角形的内角和大于，小于。26布里安香定理叙述为。27欧氏直线上添加了 后，成为仿射直线。28射影平面上一点的射影坐标与另一种射影坐标的变换是。29通过圆点的任意虚直线称为。30几何原本被认为是用古典公理法建立的几何学，这本书的作者是.31两共轭虚直线的交点为，两共轭虚点的连线为。32 叫做对偶运算。33在欧氏平面上萨开里四边形是矩形，而在罗氏平面上，萨开里四边形.34笛沙格定理叙述为 35对偶原理叙述为 36不共底又非透视对应的二射影点列恒可表示成 个透视对应的积。37二阶曲线上的完全四点形的对角三点形是.38巴斯加定理叙述为 39 被认为是用古典公理法建立的几

4、何学，这本书的作者是欧几里得。40 是球面上两点间的最短距离。41.是仿射不变量，是射影不变量 42.直线上的无穷远点坐标为 43.过点（1,i,0）的实直线方程为 44.二重元素参数为 2与 3 的对合方程为 45.仿射变换的不变点为 46.两点决定一条直线的对偶命题为 47.直线i,2,1-i 上的实点为 48.若交比 则 二、计算题 1求直线上的实点。2求 4点（AB，CD）的交比，其中。3求射影对应式，使直线上的坐标是 1，2，3的三点对应直线上的坐标为的三点。4求由两对对应元素 2与 2，1与 4 所决定的对合方程。5求点关于二阶曲线的极线方程。6求过点上的实直线。7设直线，求交比。

5、8求重叠一维基本形的射影变换自对应元素的参数。9求由两对对应元素 1与，0与 2 所决定的对合方程。10求直线关于二阶曲线 的极点。11求通过两直线（1，1，1）、（2，1，3）的交点与点 的直线的坐标。12求点关于二阶曲线的极线方程。13求直线上的无穷远点的坐标。14求 4直线的交比，其中分别为 .15求射影对应式，使直线上的坐标是的三点对应直线上的坐标为的三点。16求点关于二阶曲线的极线方程。17求直线上无穷远点的齐次坐标。18设点，求点 D的坐标。19求点关于二阶曲线的极线方程。20求连接与的直线方程。21求射影对应式，使直线上的坐标是的三点对应直线上的坐标为的三点。22求由两对对应元素

6、 2与，与所决定的对合方程。23求点关于二阶曲线的极线方程。24.求一仿射变换，它使直线上的每个点都不变，且使点（1,-1）变为（-1，2）25.经过的直线与直线相交于，求 三、证明题 1设 P、A、P 与 Q、B、Q 分别在不同的两直线上，且点 AP BQ、AQ BP、AQ BP 共线，则 PQ 与 P Q的交点在 AB上。2求证：决定的点在相互垂直的两条直线上。3已知共面三点形与是透视的，求证六直线属于同一个二级曲线。4给定直线上四个不同点，建立一个射影对应使得 5设四点，求证：。6设在二阶曲线 上，不在 上，分别交 于；分别交 于。求证：共点。7直线和交于，和交于，、分别交、于、，交于。

7、求证：、交于一点。8在欧氏平面内，设的高为、，又与交于，与交于，与交于。证明：三点、Z共线。9设直线与三点形三边分别交于，证明：10设三点形与是透视的，与，与，与分别交于。证明三线共点。11给定直线上四个不同点，建立一个射影对应使得 12.求证:点 三点共线，并求 使 13.已知直线的方程 分别为：求证四直线共点，并求 四、综合题 1作图证明：。2作已知点 P 关于二阶曲线 C 的极线。P 3作已知直线 p关于二阶曲线 c的极点。p 4作出下图的对偶图形。5作出下图的对偶图形。6作图证明：给定直线上四个不同点，建立一个射影对应使得 7已知 P 点在二阶曲线上，求作点 P 的极线。8给定二阶曲线

8、上 5点，求作曲线上另外一些点。高等几何练习题库参考答案 一 填空题 113，5，5 2定义叙述，公理列举，定理的叙述和证明 34，16 4连续递增 5相交，平行，超平行 6 7点列的底的交点是自对应点 8无穷远直线 9 10圆点 11公理系统的无矛盾性、公理系统的独立性、公理系统的完备性 12连续递减 13 14任何一对对应元素与两个自对应元素调和共扼 15交比 16调和共轭 17 183 19古典公理法 20如果两条直线与第三条直线相交，所构成的同侧内角的和小于两个直角，则这两条直线在这一侧相交 21几何基础 22欧几里得 23通过直线外的每一点，至少存在两条直线与已知直线不相交.24小于

9、 25二直角；六直角 26外切于一条非退化的二阶曲线的简单六线形的三对对顶点的连线共点。27无穷远点 28非奇异线性变换 29迷向直线 30欧几里得 31实点；实直线 32“过一点作一直线”和“在直线上取一点”33上底角小于直角 34两个三点形对应顶点的连线交于一点，那么对应边的交点在同一直线上.35在射影平面里，如果一个命题成立，则它的对偶命题也成立.362 37自极三点形 38内接于一条非退化的二阶曲线的简单六点形的三对对边的交点共线.39几何原本 40小于 180度的大圆弧 41.单比，交比 42.（1,-3,0）43.44.45.46.两条直线确定一个交点 47.(2,-1,2)48.

10、二 计算题 1实点为 2 3 4 5 6实直线为 7 82，3 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24.解：在直线上任取两点 由 设仿射变换为 将点的坐标代入可解得 25.解：过的直线方程为：直线与的交点为 所以 三 证明题 1设，考虑三点形，因 共点，故对应边的交点共线，即 PQ 与 P Q的交点在 AB上。2设，可得两个点的方程为 用坐标表示为.这两个点在直线簇上。又为的根，根据韦达定理，故决定的点在相互垂直的两条直线上。3考虑以为顶的简单六线形。三对对顶连线是，由题设它们共点。由布里安香定理的逆定理知结论成立。4取不在上的点，通过的不

11、同于的直线与分别交于。记为，与 交于，则有 所以.5直接计算即可。6只须证三点共线。为此考虑六点形，因为 三点共线，由巴斯加定理得证。7考虑三点形，因对应边与，与，与分别交于共线三点，所以根据笛沙格定理的逆定理知共点.8考虑三点形与，由笛沙格定理即得结论.9令与交于，则 因，所以命题得证.10考虑三点形，令与的交点为，根据笛沙格定理可以证明 与的交点，与的交点，点三点共线，因此三直线共点.11取不在上的点，通过的不同于的直线与分别交于。记为，与 交于，则有 所以.12.证明：因为 所以三点共线 由：解得 所以 13.解：方程转化为齐次坐标形式：所以四直线共点。因为：所以：四 综合题 1设 1、

12、2、3、4 所在直线为，任取不在 上的点及过 1 但不过且不与 重合的直线，设与的交点分别是，与 24交于 5，则有 故.2过 P 作 C 的二割线 AB、CD.连 AC，BD 交于 E，连 AD，BC 交于 F，则 EF为 P 点关于曲线 C 的极线。3根据配极原则，在 p上任取两点 A，B，作 A，B关于曲线 c的极线 a，b，则 a与 b 的交点为所求。4如图：5.如图：6.如图，取不在上的点，通过的不同于的直线与分别交于。记为，与 交于，则有 A 所以.7过 P 任一直线 PQ，作出直线 PQ的极点 R，则 PR 就是所求的点 P 的极线 8将 5点编号为 1，2，3，4，5，设 12交 34于 L，过 L作直线 p，p交 23于M，p交 34 于 N，5M 交 1N于 6.则 6为二阶曲线上的点，变动直线 p，可以得到其它点。