高中数学第一章坐标系第4节第1课时柱坐标系教学案新人教A版选修4.docx

1、高中数学第一章坐标系第4节第1课时柱坐标系教学案新人教A版选修4第1课时柱坐标系核心必知1柱坐标系的概念建立空间直角坐标系O xyz，设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(，)(0，02)来表示点Q在平面Oxy上的极坐标这时点P的位置可用有序数组(，z)(zR)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(，z)叫做点P的柱坐标，记作P(，z)，其中0，02，zR柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的2直角坐标与柱坐标的转化空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(，z

2、)之间的变换公式为问题思考1柱坐标与平面上的极坐标之间有什么关系？提示：柱坐标就是平面上的极坐标加上与平面垂直的一个直角坐标2在极坐标中，方程0(0为正常数)表示圆心在极点，半径为0的圆，方程0(0为常数)表示与极轴成0角的射线，那么，在柱坐标系中，上述方程又分别表示什么图形？提示：在空间的柱坐标系中，方程0表示中心轴为z轴，底半径为0的圆柱面，它是上述圆周沿z轴方向平行移动而成的方程0表示与zOx坐标面成0角的半平面已知空间点P的直角坐标为(4，4，3)，求它的柱坐标精讲详析本题主要考查将直角坐标化为柱坐标的方法，解答此题需要明确各坐标的意义，然后将其代入相应公式即可解决由公式得2x2y2，

3、z3.2(4)2(4)2481664，8.tan ，又x0，y0，点在第一象限.点P的柱坐标为(8，3)已知点的直角坐标，确定它的柱坐标的关键是确定和，尤其是，要注意求出tan 还要根据点P所在的象限确定的值(的范围是0，2)1已知空间点M的直角坐标为(1，3)，求它的柱坐标解：由公式得2(1)2()24.2.cos ，sin .又0，2)，.即M的柱坐标为(2，3)已知点P的柱坐标为，求它的直角坐标精讲详析本题考查柱坐标与直角坐标的转化，解答本题只要将已知点的柱坐标代入相应的公式即可P点的柱坐标为(8，4)，8，.由公式得即P点的直角坐标为(4，4，4)已知柱坐标，求直角坐标直接利用变换公式

4、即可2已知点M的柱坐标为，求M关于原点O对称的点的柱坐标解：M(，1)的直角坐标为M关于原点O的对称点的直角坐标为(1，1，1)，2(1)2(1)22，.tan 1，又x0，y0.M关于原点O对称点的柱坐标为(，1).给定一个底面半径为2，高为2的圆柱，建立柱坐标系，利用柱坐标系描述圆柱侧面以及底面上点的坐标精讲详析本题考查柱坐标系的建法以及柱坐标的确定方法解答本题需要建立恰当的柱坐标系，然后根据柱坐标的定义解决相关问题以圆柱底面圆的圆心为原点，取两条互相垂直的直线为x轴y轴，以向上的中轴线为z轴正方向建立柱坐标系下底面上的点的柱坐标满足(1，1，0)，其中012，012.上底面上的点的柱坐标

5、满足(2，2，2)，其中022，022.侧面上的点的柱坐标满足(2，3，z)，其中032，0z2.(1)柱坐标系是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的(2)解决此类问题的关键是找出这些点所具有的共性和变化的特征3.如图，P为圆柱的上底面与侧面交线上的一点，且P点的柱坐标为(6，5)，求该圆柱的体积解：过点P作PP垂直底面，垂足为P，P(6，5)，P点的坐标为(6，0)圆柱底面圆的半径为6，高为5.圆柱的体积为V625180.本课时考点在近几年的高考中未出现过本考题以长方体的外接球为载体考查了柱坐标与直角坐标的转化考题印证如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点坐标为A1(4，0，5)

6、，C1(6，5)，则此长方体外接球的体积为_命题立意本题主要考查柱坐标与直角坐标的转化以及长方体的外接球的体积的求法解析由长方体的两个顶点坐标为A1(4，0，5)，C1(6，5)，可知：OA4，OC6，OO15，则对角线长为.长方体外接球的半径为，球的体积为：()3.答案：一、选择题1柱坐标P转换为直角坐标为()A(5，8，8)B(8，8，5)C(8，8，5) D(4，8，5)解析：选B由公式得即P点的直角坐标为(8，8，5)2已知点M的直角坐标为(3，3，3)，则它的柱坐标为()A. B. C. D. 解析：选A由公式得2323218，3.cos ，sin .又0，2)，.M点的柱坐标为(3

7、，3)3在柱坐标中，方程2表示空间中的()A以x轴为中心轴，底半径为2的圆柱面B以y轴为中心轴，底半径为2的圆柱面C以z轴为中心轴，底半径为2的圆柱面D以原点为球心，半径为2的球面解析：选C由柱坐标的几何意义可知，方程2表示以z轴为中心，底面半径为2的圆柱面4空间点P的柱坐标为(，z)，关于点O(0，0，0)的对称的点的坐标为(0)()A(，z) B(，z)C(，z) D(，z)解析：选C点P(，z)关于点O(0，0，0)的对称点为P(，z)二、填空题5已知点M的直角坐标为(1，0，5)，则它的柱坐标为_解析： x0，y0，tan 0，0.1.柱坐标为(1，0，5)答案：(1，0，5)6点P的

8、柱坐标为，则点P与原点的距离为_解析：点P的直角坐标为(4，4，2)它与原点的距离为：2.答案：27设点M的直角坐标为(1，4)，则点M的柱坐标为_解析：2.tan 又x0，y0.柱坐标为(2，4)答案：(2，4)8在直角坐标系中，(1，1，1)关于z轴对称点的柱坐标为_解析：(1，1，1)关于z轴的对称点为(1，1，1)，它的柱坐标为(，1)答案：(，1)三、解答题9求点M(1，1，3)关于xOz平面对称点的柱坐标解：点M(1，1，3)关于xOz平面的对称点为(1，1，3)由变换公式得，212(1)22，.tan 1，又x0，y0.其关于xOz平面的对称点的柱坐标为(，3)10已知点A的柱坐标为(1，2)，B的柱坐标为，求A、B两点间距离解：由xcos 得：xcos 1.由ysin 得：ysin 0.A点的直角坐标为(1，0，2)同理：B点的直角坐标为(0，2，1)|AB|.故A、B两点间的距离为.11.如图建立柱坐标系，正四面体ABCD的棱长为2，求A、B、C、D的柱坐标(O是BCD的中心)解：O是BCD的中心，则OCODOB2AO，C(，0，0)D(，0)B(，0)A(0，0，)