第二章典型的分形曲线与分形集new.docx

1、第二章典型的分形曲线与分形集new第二章典型的分形曲线与分形集 19世纪以来，一些著名的数学家在对曲线的深入研究中，创造了一系列结构、性态与传统几何曲线不同的所谓“病态”曲线，例如，Von Koch曲线，Peano曲线，还有Cantor巢、以及Sierpinski填料、地毯和海绵等。分形几何创立以后，人们发现，这些曲线正是大自然中俯拾皆是的几何对象，例如，海岸线、河川、地形边界曲线、断裂、闪电、山形轮廓等等，它们都是分形曲线，在欧几里德几何学看来，这些曲线是支离破碎的、不成形的因此才被贬为“病态的”（Pathological）曲线，但实际上，近年来在天文学、地学、生物学、物理学、化学、数学的许

2、多研究领域，都发现存在这种“病态的”结构，可见它们在自然界是普遍存在的。 在计算机图形学中，人们也是习惯于用直线。圆弧、非圆曲线，或用样条曲线来绘制各种对象的外形，其中多数是人类制造的工业产品和建筑物。但用它们描述自然界的非规则形状，则很不理想。分形曲线的引人，使计算机绘制曲线的能力得到极大的加强。本章主要介绍分形曲线及其计算机生成原理与方法，并提供这类分形曲线与分形集合的计算机算法的C语言描述。2. 1 Von Koch曲线 1804年，瑞典数学家Von Koch发现了一种曲线，这种曲线有一个奇怪的特性：它处处连续，但处处不光滑、不可微。因而在当时认为是一种与常规不同的“病态”曲线，即von

3、 Koch曲线。如果在一个正三角形上按生成规则生成，则曲线形状像一朵雪花，故又称为Koch雪花曲线。Von Koch曲线是一种典型的分形曲线，在分形理论的建立过程中，Von Koch曲线具有重要地位。Von Koch的生成方法如下：首先，从一个简单的图形出发（这个图形称为源图形），然后按照一定的生成规律不断进行变形，最后可以得到Von Koch曲线。源图形通常是一条直线或一个多边形，在曲线的生成过程中，其变形的规律是将源图形中的直线段用一段折线来代替，此折线称为生成元。图2-l（a）所示为生成元，图（b）为通过5次递归（N=5）所生成的Von Koch曲线。 Von Koch曲线的具体生成过程

4、中，由源图形和生成元就可以决定曲线的形态。源图形为一直线段，生成的曲线如图中所示，可用以绘制海岸线或云彩的边界。如果源图形为一等边三角形，生成的曲线形状与雪花类似，称为Koch雪花曲线。 由Koch曲线的生成过程知道：在极限的情形下，每小段折线的长度趋于无穷小，因而此曲线是一条无处不连续但处处不可微的曲线，其上任一点处，均无确定的切线，曲线的长度趋于无穷。图21（b）的曲线是一闭合曲线。对于koch雪花曲线，可以证明它的面积为源多边形的8/5。Koch曲线的维数，可用相似维数来定义。由生成曲线的过程可知，从任何一步到下一步，其周长增加为43，图21（a）中显而易见，整体由四个线段组成，即N4，

5、a3，其维数 D=log4log31.2618 Koch曲线是典型的分形曲线，它具有自相似性。其中生成元是由n段直线和确定的二个端点组成。自相似的不变集的曲线段，是通过反复用一生成元的相似图形，来取代每一直线段的递归调用过程而建立起来的。Koch曲线可以派生为各种形态，用不同的生成元，就可以得到不同类型的结构形态。 下面介绍如何用计算机绘制Koch曲线，算法的基本设计思想是：根据曲线的生成原理，由于它是通过不断细分递归生成的，因此，采用递归调用方法，由生成元产生Koch曲线。算法的具体步骤是： （1）给出递归深度n; （2）计算生成元递归n次后的最小线元长度dL/mn，式中L为曲线总长，m为K

6、och曲线生成元的等分数； （3）确定Koch曲线的起点； （4）执行递归子程序，对生成元的各部分进行递归，并绘出曲线。 以维数D1.2618的Koch曲线为例，曲线的生成元由三等分长度的四个部分组成，不同之处是中间那两段线段的角度，为85，如图22（a）所示。 设逆时针旋转时角度为正，生成元的初始角度为,图中已标明生成元各段的位置和角度。每一段小的线元，其坐标可由下式确定 xn=xn-1+d*cos yn=yn-1+d*sin其中，为小的线元的当前角度。 由于koch曲线的生成元由图中所示的四部分线段组成，因此，在计算机生成koch曲线算法的递归调用中，要分别对这四部分进行递归调用。下面给出

7、koch曲线的生成算法。Void Generat_Koch(n)功能：Koch曲线生成元的递归调用子程序参数说明：int n: 递归深度变量说明：int th: 小线元的当前角度，为全局变量 float x,y: 小线元的当前坐标值，为全局变量 float d: 小线元的长度d=L/mn调用函数说明：moveto(x,y): 不画线移动到(x,y) lineto(x,y): 由当前位置画直线到(x,y) if(n=0) x+=d*cos(th*3.14159/180); y+=d*sin(th*3.14159/180); lineto(x,y); return; Generat_Koch(n-

8、1); th+=85; Generat_Koch(n-1); th-=170; Generat_Koch(n-1); th+=85; koch(n-1);在上述算法中使用的递归调用，指的是函数自己调用自己的过程。采用递归调用能有效地解决那些蕴含着递归关系、且结构复杂问题，并使程序简洁易读，生成较紧凑的代码。在递归过程中，递归深度越大，则递归函数中用的变量就越多，所以，在递归调用过程中使用了堆栈来存放这些变量。上述算法中，Generat_Koch(n)是一个递归调用过程，在调用时，先判别n的值，如果n为0，则返回，否则递归调用Generat_Koch(n-1)，如此不断进行，直到n等于0，然后递

9、归调用，压入堆栈中的变量从0到n依次出栈，完成本次调用。图2-2(b)所示为递归调用深度为n=5的Koch曲线。图2-2 Von Koch曲线(a)生成元；(b) N=5的Koch曲线同样，图2-3所示的Koch曲线，其生成元由9个部分组成(m=9)，每部分线段的长度为r=1/3，其分维数为D=log(m)/log(r)=2.0。由于此曲线的生成元由9个部分，在递归中，分别对这9个部分进行递归调用。图2-4为另一种Koch曲线，其生成元由8部分组成，每部分线段的长度为r=1/4，其分维数D=log(m)/log(r)=1.5。在递归中共有8个递归调用，递归深度n=3。2.2 Peano-Hil

10、bert 曲线意大利数学家G. Peano在1890年首先研究过一些古代装饰图案，这些图案充满在一个平面上，曲线蜿蜒曲折一气呵成。在研究这些图案的构图规律后提出了Peano曲线。这是一种维数为2并能充满整个平面的曲线。后来，人们又发现这种曲线具有多种形态。Peano 曲线的一种特例是Peano-Hilbert曲线（如图2-5所示），她的初始图形是一单位正方形。由初始图形出发，通过下面的过程不断生成，其步骤如下：首先，将正方形四等分，求出各个小正方形的中心，并将它们连接，得到如图2-5（a）所示的折线;其次，将各个小的正方形再细分为四个相同的小正方形，并连接各小正方形的中心；按照以上的方法不断细

11、分下去，并按一定的规则一一连接，就可得到图2-5所示的Peano-Hilbert曲线。下面就Peano-Hilbert曲线的生成方法作进一步研究。其实现过程如下：（1）设置递归深度； （2）计算曲线的起点； （3）确定曲线的范围，即xmin,ymin,xmax,ymax; （4）执行Peano-Hilbert曲线的递归调用子程序。下面给出Peano-Hilbert曲线递归调用子程序的C语言描述：Viod Peano-Hilbert(n,s,x1,y1,x2,y2)功能：Peano-Hilbert曲线递归调用子程序参数说明：int n: 递归调用深度 int s: 曲线方向控制变量，取1 flo

12、at x1,y1,x2,y2: 给定的x,y变化范围变量说明：float dx: x方向网格上的间距 float dy: y方向网格上的间距调用函数说明：pow(2,n): 求2n moveto(x,y): 从当前点不画线移到(x,y) lineto(x,y): 从当前点画线移到(x,y) if (n=1)dx=x2-x1; dy=y2-y1;lineto(x1+dx/4,y1+dy/4);lineto(x1+(2-s)*dx/4,y1+(2+s)*dy/4);lineto(x1+3*dx/4,y1+3*dy/4);lineto(x1+(2+s)*dx/4,y1+(2-s)*dy/4);ret

13、urn; if (s0) Peano-Hilbert(n-1,-1,x1,y1,(x1+x2)/2,(y1+y2)/2); Peano-Hilbert(n-1,1,x1, (y1+y2)/2,(x1+x2)/2,y2); Peano-Hilbert(n-1,1, (x1+x2)/2,(y1+y2)/2,x2,y2); Peano-Hilbert(n-1,-1,x2, (y1+y2)/2,(x1+x2)/2,y1); else Peano-Hilbert(n-1,1,x1,y1,(x1+x2)/2,(y1+y2)/2); Peano-Hilbert(n-1,-1, (x1+x2)/2,y1,x2

14、,(y1+y2)/2); Peano-Hilbert(n-1,-1, (x1+x2)/2, (y1+y2)/2,x2,y2); Peano-Hilbert(n-1,-1, (x1+x2)/2,y2,x1,(y1+y2)/2); 图2-5示出了在递归调用过程中曲线方向的变化。在图（a）所示的主矩形区域xmin,ymin,xmax,ymax中，首先将该矩形区域四等分，然后对其边长2n等分，此时网格间隔为 dx=( xmax -xmin)/(2*2n) dy=( ymax -ymin)/(2*2n)Peano-Hilbert曲线的起点坐标，由下面关系给出： x= xmin +dx y= ymin +

15、dy随后，递归过程对这四个矩形区域进行递归调用。其中，每个矩形区域的范围可由已知条件算出。算法中设置了一个控制曲线的变化方向的参数S，其取值为1。当S0时，曲线变化控制变量S值的变化顺序为： -111-1当S0时，曲线变化控制变量S值的变化顺序为： 1-1-11按上面的顺序执行下去，正好与曲线的走向一致，如图2-5（a）(b)所示。这里-1表示区的S值为-1，1表示区的S值为1。随着S的变化，曲线的方向也跟着变化，同时，用lineto(x,y)不断连接各四等分的点，直到完成整个调用。 图2-6为递归深度为n=5绘出的Peano-Hilbert曲线。2.3 Cantor集George Canto

16、r(1845-1918)是德国数学家，他于1883年发表了著名的Cantor集，这是一类处处稀疏的几何对象，Cantor集和Von Koch曲线一样，都是典型的分形集合。在许多数学分支中，以及混沌动力系统、复动力系统，如Julia分形集中，Cantor集均起着非常重要的作用。2.3.1 三等分Cantor集Cantor集是一个无穷点集，而三等分Cantor集则是最基本的，而且广为人知。如图2-7所示，在单位区间0，1中，首先，将其三等分，去掉中间的一段1/3，2/3。然后再将剩下两段进行三等分，将每一段的中间部分舍弃，如此不断重复上述过程，其所达到的极限为一个点集，即三分Cantor集。图2-

17、7是一个示意图，给出了分割次数n5时每一步分割与舍弃过程中区间的变化，第n步，子区间个数为2n，长度为1/3n。2.3.2 广义Cantor集在0，1区间，将它等分为m(m3)段，保留其中s个线段，2Sm-1，而将其中的m-s个线段，如此不断继续上述过程,直到无穷,最后留下的点集，就是广义Cantor集。显然，当m=3，s=2时，就是三分Cantor集。Cantor集的维数可以用下面公式计算： D=lim log(s)/log(m)对于三等分Cantor集，其为数D=0.63092.4 Sierpinski三角形、地毯和海棉Waclaw Sierpinski(1882-1969)是波兰数学家，

18、也是一位国际上具有较高声望的、有影响的数学家。在月球上有一座环形山就是以Sierpinski 名字命名的。这里所讲的Sierpinski三角形、地毯和海棉是他于1916年提出来的。2.4.1 Sierpinski三角形将上一节的三等分Cantor集的构图方法稍加扩展，用于二维平面，如图2-8所示，取连接各边中点，将原三角形分成四个小三角形，然后挖去中间的一个小三角形，如图2-8(a)所示。下一步，将剩下的三个小三角形按上面同样的方法继续分割，并舍弃位于中间的那个三角形，如此不断重复分割与舍弃的过程，就能得到如图2-8(b)所示的结构，由一个中间有大量空隙的三角形构成。由于形成Sierpinsk

19、i三角形的过程，是一个不断分割与舍弃的过程，其总的周长，随着分割的不断进行而变得越来越大。在极限的情况下，其总的周长趋向于无穷大，而总面积则趋向于零。即，当用一维的尺度去测量时，其值为无穷大，而当用二维尺度去度量时，测得的值为零。Sierpinski三角形的维数是 D=log3/log2=1.5849Sierpinski三角形的英文名词是Gasket，有填料、垫片的意思。这个模型与统计力学的某些问题有关，因而受到理论工作者的重视。图中给出的Sierpinski三角形是用计算机绘制的，算法基本设计思想是上述的递归生成过程。具体的算法如下： （1）设置递归深度n; （2）用黑色填充一个三角形，其顶

20、点坐标是(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)；（3）调用Sier_Gasket递归子程序。Sierpinski三角形递归算法描述如下：Viod Sier_Gasket(n,x1,y1,x2,y2,x3,y3)功能：Sierpinski三角形递归调用子程序参数说明：int n: 递归深度 float x1,y1,x2,y2,x3,y3: 三角形顶点坐标变量说明：float tri6: 数组，存储三角形的顶点坐标调用函数说明：Setfilltyle(mode,color): 设置多边形填充类型和颜色 fillpoly(nv,tri): 填充顶点数为nv的多边形 if (n=1) retu

21、rn tri0=(x1+x2)/2; tri1=(y1+y2)/2; tri2=(x2+x3)/2; tri3=(y2+y3)/2; tri4=(x1+x3)/2; tri5=(y1+y3)/2; Setfillstyle(1,WHITE)； Fillpoly(3,tri); Sier_Gasket(n-1,x1,y1, (x1+x2)/2,(y1+y2)/2, (x1+x3)/2,(y1+y3)/2); Sier_Gasket(n-1, (x1+x2)/2,(y1+y2)/2, x2,y2, (x2+x3)/2,(y2+y3)/2); Sier_Gasket(n-1, (x1+x3)/2,(

22、y1+y3)/2, (x2+x3)/2,(y2+y3)/2,x3,y3);在递归过程中，值得指出的是：这里与前面有所不同，它是从大到小，也就是先挖去三角形边上三个中点构成的三角形，用白色填充，再分别挖去剩下的三个小三角形各边中点构成的三角形。按这种方式一直递归到n=1为止，递归结束。否则，还需要分别对没有挖空的三角形继续进行深度为n-1的递归调用。图2-8给出n=4的Sierpinski三角形。2.4.2 Sierpinski地毯用类似于上面的方法，可以构造Sierpinski地毯（carpet），其方法如下：设有一个正方形（如图2-9所示），将每条边三等分，正方形被分为9个面积相等的小的正方

23、形，舍弃其中中央的一个正方形，在将剩下的8个小正方形按照上面同样的方法进行分割与舍弃，如此不断重复这一过程，最终所得就是Sierpinski地毯。由生成过程可知，Sierpinski地毯也具有自相似性和标度不边性，其维数介于1和2之间，其面积的极限为0。为了计算为数，设想将此图形沿每边长扩大三倍(L=3)，则可得到8倍于原图的图形(K=8)，如图2-10所示。因此其维数 D=logK/logL=1.8927Sierpinski地毯递归算法描述如下：Void Sier_Carpter(x1,y1,x2,y2,n)功能：Sierpinski地毯递归调用子程序参数说明：float x1,y1,x2,

24、y2: 矩形对角的两个对角坐标 int n: 递归深度变量说明：float L: 矩形长度 float W: 矩形宽度调用函数说明：bar(x1,y1,x2,y2): 画矩形函数 if (n=1) return; L=x2-x1; W=y2-y1; Bar(x1+L/3,y1+W/3, x2-L/3,y2-W/3); Sier_Carpter(x1,y1,x1+L/3,y1+W/3,n-1); Sier_Carpter(x1+L/3,y1,x2- L/3,y1+W/3,n-1); Sier_Carpter(x2-L/3,y1,x2,y1+W/3,n-1); Sier_Carpter(x1,y1

25、+W/3,x1+ L/3,y2-W/3,n-1); Sier_Carpter(x2- L/3,y1+W/3,x2,y2-W/3,n-1); Sier_Carpter(x1,y2-W/3,x1+ L/3,y2,n-1); Sier_Carpter(x1+L/3,y2- W/3,x2- L/3,y2,n-1); Sier_Carpter(x2- L/3,y2-W/3,x2,y2,n-1);2.4.3 Sierpinski海绵将一个立方体沿其各个面等分为33=9个小立方体，舍弃位于体心的一个小立方体，以及立方体六个面的中心位置上的那一个小立方体。然后，将剩下的小立方体按相同的方法分割并舍弃位于各立方

26、体面心和体心处的更小的小立方体，如此不断继续进行，在极限的情形下，即可得到Sierpinski海绵（ Sier-Sponge），其维数因介于2维与3维之间。维数计算方法与前面相似，设想将每条边扩大三倍（L=3），此时，所得到的新的形体，将比原来的扩大20倍（K=20）。因此，其维数D=log20/log3=2.7288。图2-11是计算机生成的Sierpinski海绵。为了在计算机上生成Sierpinski海绵，可采用堆积小立方体的方法构造形体，并用画家选法消除隐线。 如图2-12所示，Sierpinski海绵可以看成是由上、中、下三层组成，其上层和下层分别由八个立方体组成，见图2-12(a)

27、，每层的当中是空心的。中层由四个立方体，见图2-12(b)，这四个立方体分别位于四个边角上。在计算机生成此种海绵的算法中，就象砌砖那样从底向上，一层一层地构筑成图2-12(c)那样的基本结构。在算法中采用了递归调用的方法，使这一操作不断进行下去。为了在显示时具有较好的立体效果，有必要消除隐线，可以采用画家算法，这是计算机图形学中常用的消隐方法之一，在本例的情况下，画家算法可简叙如下：先从距视点最远的小立方体开始，由远到近，逐个绘制各立方体，当远、近两处的立方体的投影重叠时，则距视点近的立方体便将远处的立方体盖住，计算机屏幕上将显示近处立方体的颜色。对上下层，则由下向上逐个处理。这个过程，就好像

28、画家绘制油画那样，用油彩绘出近处的、而将远处的重叠部分给覆盖住。下面给出图2-11所示Sierpinski海绵的递归生成算法：Void Sier- Sier-Spong(n,x,y,d)功能：Sierpinski海绵递归调用子程序参数说明：int n: 递归深度 int x,y: 小正方体所处的位置 int d: 小正方体的长宽高的大小变量说明：int dd,dx: 小正方体边长和投影的位移调用函数说明：Cubic(x,y,d): 画长宽高为d位置在(x,y)的正方体 if (n=0) Cubic(x,y,d);return; dd=d/3;dx=dd*cos(3.14159/4); Sier

29、-Spong(n-1,x+2*dx,y-2*dx,dd); Sier-Spong(n-1,x+2*dx+dd,y-2*dx,dd); Sier-Spong(n-1,x+2*dx+2*dd,y-2*dx,dd); Sier-Spong(n-1,x+dx,y-dx,dd); Sier-Spong(n-1,x+dx+2*dd,y-dx,dd); Sier-Spong(n-1,x,y,dd); Sier-Spong(n-1,x+dd,y,dd); Sier-Spong(n-1,x+2*dd,y,dd); Sier-Spong(n-1,x+2*dx,y-2*dx-dd,dd); Sier-Spong(n

30、-1,x+2*dx+2*dd,y-2*dx-dd,dd); Sier-Spong(n-1,x,y-dd,dd); Sier-Spong(n-1,x+2*dd,y-dd,dd); Sier-Spong(n-1,x+2*dx,y-2*dx-2*dd,dd); Sier-Spong(n-1,x+2*dx+dd,y-2*dx-2*dd,dd); Sier-Spong(n-1,x+2*dx+2*dd,y-2*dx-2*dd,dd); Sier-Spong(n-1,x+dx,y-dx-2*dd,dd); Sier-Spong(n-1,x+dx+2*dd,y-dx-2*dd,dd); Sier-Spong(

31、n-1,x,y-2*dd,dd); Sier-Spong(n-1,x+dd,y-2*dd,dd); Sier-Spong(n-1,x+2*dd,y-2*dd,dd);2.5 随机Koch曲线前面介绍的分形曲线，称为有规则分形曲线，它们大都是数学家构造出来的，具有确定的变化规律的曲线。从本节开始，讨论几种无规分形曲线，又称为随机分形曲线。大自然客观存在的海岸线、地形、河川、以及变化无常的布朗运动轨迹等，是其典型代表。这类曲线具有普遍性，但是，用传统的几何学方法是无法对它们有效地描述的。分形几何为这类曲线的描述提供了理论方法。这类曲线也具有自相似性，但是，这种自相似性具有同纪性质，是通过大量统计而抽象得出的。另外，它们只有在无标度区域内才有意义，否则，自相似性便不存在。所谓无标度性是指当标度改变时，该对象在形态、复杂强度、以及不规则性等方面均不发生变化的性质。例如Koch曲线，当我们用不同倍率