第二章摩擦及摩擦理论.docx

1、第二章摩擦及摩擦理论第二章 摩擦及摩擦理论概 述 两个物体作相对运动时，其接触界面上存在的切向阻抗现象，称为（外）摩擦。同一物体（如流体或变形中的固体）各部分间作相对运动时，其分子间的阻抗现象称为内摩擦。这里只讨论外摩擦。两个相互接触的物体在外力作用下发生相对运动（或具有相对运动趋势）时，在接触面间产生切向运动阻力，这阻力叫摩擦力，这种现象称作摩擦。如图所示，在外力P的作用下，物体沿接触表面滑动（或具有滑动趋势）时，存在于界面上的切向阻力F就称作摩擦力。摩擦副因结构不同和运动方式各异，摩擦可按以下分类：按摩擦副运动形式分类a.滑动摩擦：当接触面相对滑动（或具有相对滑动趋势）时；b.滚动摩擦：物

2、体在力矩的作用下沿接触表面滚动时。按摩擦副运动状态分类a.静摩擦：物体受力后对另一物体具有相对运动趋势，处于静止临界状态时；b.动摩擦：物体受力后，越过静止临界状态而沿另一物体表面发生相对运动时。按表面的润滑情况分类a.干摩擦：物体的接触表面上无任何润滑剂存在时；b.边界摩擦：两物体表面被一种具有润滑性能的边界膜分开时；c.流体摩擦：两物体表面被润滑剂膜完全隔开时；（摩擦发生在界面间的润滑剂膜内，即流体的内摩擦）；d.混合摩擦（半干摩擦和半流体摩擦）：半干摩擦是指在摩擦表面上同时存在着干摩擦和边界摩擦时；半流体摩擦是指在摩擦表面上同时存在着流体摩擦和边界摩擦时。实际工程表面在摩擦过程中，可能出

3、现一部分被流体膜分隔开，一部分覆有边界膜甚至同时伴有材料直接接触的混合摩擦。为了要搞清摩擦的起因及影响摩擦的因素，以达到有效地控制摩擦，通常从干摩擦着手分析。严格地讲，干摩擦是指两个纯净表面（除了材料本身以外，表面上不存在任何润滑剂膜、吸附膜、反应膜和污染膜等）的摩擦。但在大气环境中很难得到纯净表面，所以人们通常把“大气环境条件下的无润滑摩擦”也称为干摩擦。 对于干摩擦的研究已经有过很多理论： 经典的摩擦定律阿芒顿库仑定律最早由达芬奇、阿芒顿、库仑等对无润滑状态下固体间相对滑动的问题作过研究，并归纳出以下三条摩擦定律：滑动摩擦力的大小与表观接触面积无关；滑动摩擦力的大小与滑动速度无关；滑动摩擦

4、力的大小与接触面之间的法向载荷成正比：令 F=N （见图）式中： 摩擦系数；N 法向载荷（作用力P的法向分力）但实际上库仑定律只是近似地反映了摩擦现象的规律。当滑动速度较大时，会引起材料的某些性能发生变化，使摩擦系数与速度有关。一些极硬的或软（弹性）材料，摩擦力与法向载荷间的关系不成正比。近代的研究已经发现，摩擦力与真实接触面积有关，虽然真实接触面积与载荷有关，但影响其是否为正比关系，还与表面的几何性质（粗糙度、微凸体的形状和大小）、摩擦副材料的机械物理性质（如硬度H、弹性模量E等），和表面的环境条件等有关。摩擦系数只有在一定的环境和一定的工况下才有可能是常数。对于同一对摩擦副在不同的工况和环

5、境条件下摩擦系数是变化的。例如，钢铁的摩擦系数在大气中为；而在真空中则远大于。又如石墨在大气中摩擦系数为，而真空中能达到。这些方面都显示出库仑定律的局限性。它尚不足以完整、合理地解释摩擦机理。因此，至今也难以确定某种摩擦副固定的摩擦系数。而是需要通过试验，而且必须注明试验条件，离开这些条件得到的数据是没有意义的。机械嵌合理论（机械互锁理论）FN图 机械嵌合理论模型 机械嵌合理论认为，静摩擦力是凸峰相互嵌合而阻止相对运动产生的力（如图）。静摩擦系数stgs；动摩擦系数k= tgks2。只有在表面凸峰被削平、变形及压溃后，两表面才易于作相对运动。也即，表面越光滑平整，摩擦阻力越小。把表面间涂油进行

6、润滑解释为用油料填平凹谷而减小摩擦阻力。这种学说也称为“表面凹凸论”。它不能解释当表面特别光滑时，由于分子吸引力作用而使摩擦力明显增大的现象。分子吸附理论 德萨古里亚斯（Desaguliers）发现摩擦表面间存在分子吸附力，指出表面越光滑，摩擦力越大。这种观点与机械嵌合论是矛盾的。实际上当表面十分光洁，两表面接触时双方表面分子间的吸附力起主要作用时，摩擦力确实增大。而一般情况下也不是这样的。也有人提出过，由于界面分子在摩擦过程中相对极性发生变化，认为是表面间的静电吸引力使摩擦表面粘连在一起，从而引起了摩擦力。粘着-犁沟摩擦理论直到20世纪4050年代，波登（Bowden）等人在研究金属干摩擦时

7、提出了粘着-犁沟摩擦理论，也称“剪切-变形”摩擦理论，或“分子机械”理论（前苏联的提法）。他认为表面承载后，在某些微凸体的顶端（真实接触点）产生了很大的接触应力，导致两表面（接触点）焊接（粘着）在一起。当两个表面作相对滑动时，必然要将这些焊接点剪断；同时，因表面上的凸起部分穿入软表面，从而使软表面犁成沟槽。剪断接点的力和在表面上犁沟的力之和，就是摩擦阻力。这个理论对金属摩擦副的解释是比较满意的。本章将主要讲述粘着-犁沟摩擦理论，以及滚动摩擦和边界摩擦。粘着-犁沟摩擦理论摩擦的起因及摩擦过程中的能耗 承载表面的相对运动阻力（摩擦力）是由表面相互作用引起的。表面的相互作用有：N图 摩擦粘着理论模式

8、 表面粘着作用 是指在洁净金属表面，即微凸体顶端相接触的界面上不存在表面膜的情况下，金属与金属在高压下直接发生接触，导致两表面分子相互吸附而形成连接点（冷焊）。如图中的A，C，D点。 表面材料的位移在上图中B点处虽没有粘着作用，但是当表面发生相对运动时，B点处阻碍运动的那部分表面材料仍需要被移动或将软表面犁成沟槽才能继续作相对滑动。两接触表面作相对运动时，需要施加作用力（即对其作功），以克服运动阻力。这些功主要消耗在：当相对运动时，必须要使阻碍运动的微凸体发生弹性变形或塑性变形。对于大多数金属材料而言，塑性变形消耗的功是不可逆的。当微凸体间相互粘着时，必须消耗部分功，剪断此处的焊点连接。当微凸

9、体相互嵌合时，必须消耗部分功，剪断一些微凸体的高峰或使较软一方材料发生变形。摩擦过程中消耗的能量就是摩擦力作的功。要使两个接触表面作相对运动，必须施加一个切向力来克服摩擦阻力。这个摩擦力由两部分组成：剪断固相焊接点的力粘着分量（剪切分量）；克服硬质微凸体在软表面上的犁沟阻力犁沟分量。假定这两项阻力彼此没有影响，则总摩擦力为此两个分量的代数和。摩擦系数也可看作是两部分之和：F=Fb+Fv =b+v式中：F， 分别为总摩擦力和总摩擦系数； Fb，b 分别为摩擦力和摩擦系数的粘着分量； Fv，v 分别为摩擦力和摩擦系数的犁沟分量。摩擦的粘着分量简单的粘着摩擦理论 在载荷作用下，接触点上的接触应力很大

10、，当达到金属的压缩屈服极限（流动极限）b时,接点处发生塑性变形，形成小平面接触，直到接触面积增大到足以支承法向载荷为止。 真实接触面积与载荷的关系为：Ni=bAri （见图）式中：N 载荷的法向部分；Ar 真实接触面积的总和；b塑性变形点Ari总压力N (a) (b)图24 表面接触点的受力情况a-微凸体的接触；b-接触点（放大）的受力b 金属的压缩屈服极限。在这些真实接触处，出现牢固的粘着接点。摩擦的过程，就是在切向提供一个力，剪断这些粘着接点，表面就可以发生滑动。摩擦力主要就是剪断这些金属粘结点的剪切力。式中：Fb 摩擦力的粘着分量；b 摩擦系数的粘着部分；b 较软金属粘结点部分的剪切强度

11、极限塑性变形首先发生在摩擦对偶中较软的一方，剪断的也是较软一方的金属。所以式中b和b都应取较软一方金属的压缩屈服极限和剪切强度极限。波登的粘着摩擦理论（简单的）给出的表达式也符合库仑定律：“摩擦力与表观接触面积无关；摩擦力与法向载荷成正比”。但是，根据此表达式得到的大多数金属的摩擦系数都是一样的。因为大多数金属的b与b之比差不多为。而实践表明，在大气条件下，无润滑金属的摩擦系数约，高真空条件下摩擦系数更大。所以这个理论尚不完善。修正的粘着摩擦理论 简单的粘着摩擦理论认为，摩擦力只取决于材料的机械性质和正压力的作用，而未考虑表面化学和表面物理性质以及切向力对摩擦的影响。 实际上真实接触面积的大小

12、，不仅与法向载荷有关，也受载荷切向分量的同时作用。切向力F的作用很容易使接触面积扩大。故真实接触面积的形成，应该是切应力和压应力的合力达到材料屈服极限时，接触点处发生塑性变形。假设 2+2k2 和k均为待定值。 式中： 接触点上的压应力； 接触点上的剪切应力；k 为两种应力的合力合成应力。即当合成应力达到材料压缩屈服极限时，此时真实接触面积上发生塑性变形，面积不再继续扩大。经整理将 代入，得由此式可以看出，由于剪切力的联合作用，真实接触面积有所增大。所以，由此式求得的摩擦力比简单的粘着摩擦理论计算的要大。简单粘着摩擦理论没有考虑表面膜（包括污染）对摩擦的影响。表面膜的存在对于粘着理论是有很大影

13、响的。当粘结点上金属之间有表面膜存在时，剪切首先将剪切强度最低的表面膜剪断，而不是在金属基体上。一般来说，表面膜的剪切强度极限f比金属剪切强度极限b小。即 式中0c1。当剪应力 时，接点尚不能被剪断，接触面积仍继续扩大。而当 时，在有表面膜处的接点剪断，接触面积不再增大，开始滑动。若Fb很大，由Fb引起的应力则 可忽略不计。在式 中，如开始滑动，即则 即图 不同值的c曲线当合成应力达到金属的压缩屈服极限时，由表面膜的接触点处发生塑性变形将 和 代入上式， 经简化整理后得：根据摩擦定律由不同的值，可得c的关系曲线（见图）。由图可见：当c趋近于1，即表面膜基本上不存在，也即fb，此时摩擦系数b趋向

14、于。当表面膜存在时，fb，c从1下降，此时b下降得十分明显。如c值很小，则而所以经过修正，粘着摩擦理论的主要论点是：a.真实接触面积Ar取决于法向载荷与切向力（摩擦力）共同作用；b.当两个金属表面在大气环境条件下相接触时，被剪切强度极限为f的表面膜所隔开；c.摩擦力的粘着分量，就是指剪断分隔这些接点处的表面膜需要的力。如果在高真空中接触，分隔膜可能不存在，这时就沿较软金属的表层剪断软表面上一部分材料，并将其转移到硬表面上。当表面有氧化膜或吸附膜覆盖时，有些膜破裂处发生金属间的焊接，这时界面的剪切强度可能介于金属的与表面膜的剪切强度之间。具体数值视残留表面膜的面积与金属接触面积的比例而定。 这种

15、论点能很好地解释金属摩擦副在大气中干摩擦时的实际情况。摩擦的犁沟分量图 硬质微凸体在软表面上犁沟 摩擦的犁沟分量是由于硬金属峰顶刺进软金属时，软金属发生塑性流动，被挖出一条沟所需克服的阻力。在粘着项较小（例如表面上有良好的润滑膜覆盖，界面的剪切强度很低）时，犁沟分量就成了摩擦力的主要成分。假设硬金属表面微凸体为一些半角为的相同的锥形峰顶组成（见图）。摩擦时只有锥形峰顶的前沿面与软金属接触。承受法向载荷的真实接触面积即为接触面的垂直投影面积（为半圆形） 式中：n 为微凸体峰顶数；Ah 即为承受法向载荷的真实接触面积； r 为接触投影面积的半径。微凸体承受的法向载荷为微凸体水平方向接触投影的面积为

16、三角形， Av=nhr。式中：h 犁沟深度。微凸体犁沟时承受的剪切阻力Fv=Avb=nhrb犁沟时的摩擦系数通常微凸体的很大，例如，半球形，则摩擦系数的犁沟项v就很小。因为大，h就小，Av也很小，可以忽略不计。而当锥形微凸体的较小时，犁沟就不能不计了。微凸体为球状时（见图），则得 式中：R 微凸体半径；d 微凸体与表面接触面积的直径。微凸体为平卧的圆柱体时（见图），则得式中：R 圆柱形微凸体直径；图 犁沟时的金属堆积h 微凸体压入深度。NAvAh图 横卧圆柱状微凸体在软金属表面上犁沟这些推导都未考虑软金属材料在硬质微凸体前沿的堆积（见图）。同时，假设材料是各向同性的。这与实际有差别，因此还需根

17、据实际的犁沟分量作一定的修正。在有犁沟效应的时候，总摩擦力包括对金属的剪切项和犁沟项 F=Fb+Fv=Arcb+ Avb影响摩擦的因素影响摩擦的因素很多，不仅取决于摩擦副的材料性质，还与摩擦副所处的环境（力学环境、热学环境、化学环境），材料表面的状况（几何形貌、表面处理）和工况条件有关。因此材料的摩擦系数不是一个固定的常数，不是用公式计算一下就可以得到的。摩擦副材料的影响a.金属的整体机械性质：如剪切强度、屈服极限、硬度、弹性模量等，都直接影响摩擦力的粘着项和犁沟项。b.金属的表面性质：表面往往不同于整体，而表面对摩擦的影响更为直接和明显。如表面切削加工引起的加工硬化；表层晶体应变而发生再结晶

18、，使晶粒细化引起表层硬化。c.晶态材料的晶格排列：在不同晶体结构单晶的不同晶面上，由于原子密度不同，其粘着强度也不同。如面心立方晶系的Cu的（111）面，密排六方晶系的Co的（001）面，原子密度高，表面能低，不易粘着。不同的单晶摩擦副，摩擦系数变化很大。如表所列。表 几种单晶金属在配对滑动时的摩擦系数摩擦副材料的接触滑动晶面和方向结晶结构滑动摩擦系数Cu（111）/Cu（111）面心立方面心立方Cu（111）110/Ni（111）110面心立方面心立方Cu（111）110/Co（0001）1120面心立方密排六方Cu（111）110/W（110）111面心立方体心立方注：（ ）表示晶面； 表

19、示方向由表可见，不同结构材料配对的摩擦副比相同材料或相同结构配对的摩擦系数低得多。d.金属摩擦副之间的互溶性：互不相溶金属组成的摩擦副的粘着摩擦和粘着磨损都比较低。e.合金元素的作用：实际上摩擦副的零件都是合金材料。由于合金成分可能产生某种偏聚，使表面上的粘着发生变化，以致影响摩擦的大小。如Cu-Sn合金中，Sn的偏聚使摩擦降低；而Fe-Al合金中，Al的偏聚使摩擦增高，但如在氧化条件下，由于Al容易生成氧化膜又能使摩擦降低。f.材料表面的化学活性：化学活性影响其表面氧化膜的生成速度。g.材料的熔点：通常低熔点材料易引起表层熔融而降低摩擦。h.金属的延展性：延展性较差的金属，在切向力作用下，容

20、易被剪断，而不是继续发生塑性流动，所以摩擦力也较小。 温度的影响摩擦面上引起温升的因素有两： a.外界温度的升高；b.摩擦过程中接触点处材料的变形和剪断产生大量的摩擦热。 界面上的温度升高，由于摩擦副表面的热性能（导热率、线膨胀系数）导致材料机械性能的改变。热膨胀时摩擦副零件间隙变化而使摩擦磨损加剧。 对于熔点低的金属，当摩擦热引起的温升达到金属熔点后，温度就不再升高，此时摩擦系数也不再升高（见图）。而对于一些熔点极高的硬质化合物，一般高温下滑动时，表面不致发生咬粘。直到某一很高的温度时，摩擦系数才会明显增大。这是由于材料在高温下软化而使延展性增加，同时，界面上扩散剧增而使粘着增强（见图）。这

21、种材料适合做切削刀具。在有润滑状态下的摩擦热会使润滑剂粘度发生变化，容易使油膜厚度变小，导致润滑失效。在边界润滑状态下，摩擦热会导致一些吸附膜的解吸，氧化速率增快。环境介质的影响a.周围气氛 一般来说，周围是活性气氛时，易于在金属面上形成吸附或氧化膜。而在惰性气氛或真空中，则不易生成边界膜，摩擦系数通常较高。 b.周围的液体介质 油性介质可使摩擦降低；含硫、磷、氯添加剂的油料，一方面可以生成反应膜降低摩擦，另一方面又可能成为腐蚀剂。液体燃料或氧化剂等介质要视具体成分而定。c.辐射环境及离子环境辐射粒子会破坏有机润滑剂；而离子环境可对金属进行表面改性。法向载荷的影响通常认为摩擦力随法向载荷的增加

22、而增大，但是摩擦系数却不一定随法向载荷的增加而增大。一般地说，金属材料摩擦副在大气中干摩擦时，轻载下，摩擦系数随载荷的增加而增大，因为载荷增大将氧化膜挤破，导致金属直接接触。不少的实验也证明，金属在滑动中，摩擦系数随载荷的增加而减小。这是因为真实接触面积的增大不如载荷增加得快。因此载荷的影响需要根据研究对象的实际工况来分析。滑动速度的影响金属表面的相对滑动速度，不仅影响界面温度，并与两表面微凸体的相互接触时间有关。当滑动速度很低（包括相对位移前的静态接触）时，表面微凸体接触时间长，有足够的时间产生塑性变形使接点增大，也有充分的时间在表面膜破裂以后形成牢固的接点，从而发生界面粘着。因此需要较大的

23、剪切力剪断接点而产生宏观的相对运动。此时摩擦力（静摩擦）很大。滑动开始后，微凸体相接触的时间，随着滑动速度的提高而减少，节点面积增大不多，表面膜不易破裂。所以界面粘着较少，摩擦系数（动摩擦）比静摩擦小。当滑动速度非常低时，可以明显地看到粘着-滑动的交替出现即爬行。发生这种摩擦振动现象的根本原因，就在于摩擦系数随滑动速度的增大而减小。当滑动速度较高，由于界面温升使材料表面发生软化或熔化。表面材料与环境的反应加剧，使摩擦系数随速度的增大而增大。可以认为随速度的增大，摩擦系数存在最佳值。表面粗糙度的影响根据机械嵌合理论，表面越粗摩擦越大；而根据分子粘着观点，表面间达到分子能作用的距离内，摩擦系数会增

24、大。因此表面粗糙度有一个最佳值（见图）。而此最佳值一般是通过磨合，使磨损和摩擦达到一个低而稳定的值。滚动摩擦圆柱或圆球在力矩的作用下沿接触表面运动，当接触点上两接触物体间的相对速度为零时，称为纯滚动。从理论上讲，相对速度为零时，应当没有摩擦。但工程实际中，没有真正的纯滚动。故在滚动中产生的阻力称滚动摩擦。常用摩擦副中齿轮、车轮、滚动轴承等都是滚动摩擦。两接触物体作相对滚动时的阻力，远比作相对滑动时的小。因而，很早以前人们就用滚子搬运重物来代替滑动，以减小摩擦。滚动摩擦的起因微观滑动在实际工程中纯滚动是不存在的。表面在滚动时存在着微观的相对滑动。克服微观滑动时的相对运动阻力，就是滚动摩擦力。a.

25、硬金属圆柱在弹性平面上的滚动（图）图 硬质圆柱在弹性平面上的滚动NN（a）（b）雷诺发现，圆柱在法向力作用下压向弹性平面，在接触弧长CC中靠近压力中心O点处的伸长量最大，依次向两侧缩减,见图（a）。当圆柱滚动时弹性表面接触区中的变形发生了变化。前缘（AC弧）伸长，而后缘（CE弧）缩短，见图（b）。经仔细测量，滚动一周后，前进的路程稍短于周长D。这说明滚动接触界面上存在着微量的相对滑动。b.球在直槽（图）和曲槽（图）中滚动滚动轴承就是这种接触。接触面呈椭圆状球面。由图（b）可见，在滚动的瞬间整个接触区绕轴线AA回转。瞬间中心A两侧的线速度方向相反，见图（a），接触区中央部分（ACA弧）的平均速度

26、Vm与滚动方向一致，见图（d），而接触区两端（AB弧）的速度方向则与Vm相反。由此可知，在滚动接触界面上，存在着绕瞬心A回转的微量滑移。这种滑移通常是很小的，常因材料切向应变的弹性恢复而使之抵消，即不发生相对滑动。不发生滑动的区域叫粘滞区，见图（c），发生滑动的区域叫滑动区。粘滞区沿Vm方向逐渐缩小。如摩擦对偶面的几何形状比较贴合，则粘滞区的范围较小。而两者几何外廓贴合得不好时，粘滞区就大。弹性滞后钢球在弹性表面上滚动时（图），首先将前方的材料张紧，然后将前缘已张紧的材料压陷，这需要作功；滚动体后方的弹性材料同时进入松弛状态。这时的弹性恢复能推动球向前。这种回弹的能力小于滚动体将前缘材料张紧并

27、压陷时所作的功。在张紧-松弛的过程中，必然消耗能量，这就是摩擦消耗的功。也就是弹性变形引起的滚动摩擦阻力。这种现象也称弹性滞后。NN图 球在平面上滚动时形成沟槽的过程塑性变形如滚动表面上的接触压力过大，则表面上将形成沟槽。软质金属表面所产生的槽宽度较大。这种沟槽的出现就是一种塑性变形。由于滚动体在槽中反复滚动，沟槽表面被加工硬化，沟槽宽度就不再继续扩展而成弹性状态。有人根据形成沟槽所消耗的功来计算滚动摩擦力。把引起沟槽的过程看作类似于滑动接触中的犁沟过程，如图所示。钢球未滚动时在法向载荷下与平面的接触面积为滚动时，钢球将前缘的弹性材料压下，则承载面积为：这时的滚动压应力达到屈服极限即球前方阻止

28、金属作塑性位移的切向力为：F=A2sA2式中：s为剪切屈服极限。 接触面积在水平方向的投影为半月形，其面积为 则将代入，则如略去粘着项，把b和s看作材料固有的常量，则摩擦阻力可写成式中：N 法向载荷；D 钢球直径。k 取决于材料机械性能的常数：粘着效应在滚动接触过程中，界面上也会发生粘着接点。但由于界面滑移极微，粘着接点的破断与滑动中的剪切不同，而是依次将接点拉长、剥离直至断开。拉断粘着接点所需的力，远小于剪断整个界面上全部接点所需的力。所以说，粘着在滚动接触中的成分极小，通常可略去不计。因此边界膜的存在虽然能降低粘着，但由于粘着本身不重要，估计边界膜对滚动摩擦阻力的影响也不大。弹性状态下的自

29、由滚动阻力 当两个表面无约束地作相对滚动，而且接触界面上没有切向力存在时的滚动，称为自由滚动。一般由工程材料制成的滚动表面，在承载接触中，不是纯粹的点接触或线接触，因滚动接触表面会发生变形，故都有一定的接触面积（变形量）。发生变形就要作功，就有损耗，损耗的功就是摩擦力作的功。接触面积的大小与滚动元件的表面几何形状，材料性能及载荷等因素有关。摩擦功的推导是根据滚动时产生塑性变形消耗的起槽功，减去弹性恢复功，余下的为回弹时的损耗即滚动摩擦功。现假定变形在弹性范围内，且不考虑温度、应力的变化频率（滚动速度、时间）等因素对变形的影响，来求常见的圆柱-平面，球-平面及球-直槽的滚动摩擦系数g。刚性圆柱在

30、弹性平面上的滚动N图 圆柱-弹性平面滚动时的滚动阻力根据赫兹理论，圆柱-平面时的接触应力为式中：0 最大赫兹压力，即H； 距压力中心x处的压应力，压力呈椭圆曲线分布；（见图） b 接触宽度的一半； L 接触长度（圆柱体的高度）。如取L为一个单位长度时滚动时，接触区的右半侧受到压缩，其受压侧的阻力矩M为：接触宽度当滚动距离为x时，将接触区右半侧材料压下所做的功(起槽功)为： 为距离x的弧度。将b代入力矩M公式，并取x为一单位距离，则由于弹性滞后，接触区的左半侧回弹的功有一部分损耗。设损耗系数为。那么回弹损耗的功（及滚动摩擦功）为： 在滚过x这段距离的过程中，滚动阻力Fg作的功就是弹性恢复损耗的功 则滚动摩擦系数g（滚动阻力与正压力之比）为（设x为1单位距离）：式中：R 为圆柱体的直径； E 为综合弹性模量。刚性球在弹性平面上的滚动球在平面上的接触面积为圆形。按照上面同样的步骤： 1.求起槽功：从赫兹理论求得接触压力；右半侧受压，求出受压侧的阻力、阻力矩以及阻力矩所做的功；2.求弹