人教版八年级数学下册第17章全章教案.docx

1、人教版八年级数学下册第17章全章教案171勾股定理第1课时勾股定理1经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点)2掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题；(重点)3了解利用拼图验证勾股定理的方法(难点)一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究探究点一：勾股定理【类型一】 直接运用勾股定理 如图，在ABC中，ACB90，AB13cm，BC5cm，CDAB于D，求：(1)AC的长；(2)SABC；(3)C

2、D的长解析：(1)由于在ABC中，ACB90，AB13cm，BC5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出SABC；(3)根据面积公式得到CDABBCAC即可求出CD.解：(1)在ABC中，ACB90，AB13cm，BC5cm，AC12cm；(2)SABCCBAC51230(cm2)；(3)SABCACBCCDAB，CDcm.方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可【类型二】 分类讨论思想在勾股定理中的应用 在ABC中，AB15，AC13，BC边上的高A

3、D12，试求ABC的周长解析：本题应分ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论解：此题应分两种情况说明：(1)当ABC为锐角三角形时，如图所示在RtABD中，BD9.在RtACD中，CD5，BC5914，ABC的周长为15131442；(2)当ABC为钝角三角形时，如图所示在RtABD中，BD9.在RtACD中，CD5，BC954，ABC的周长为1513432.当ABC为锐角三角形时，ABC的周长为42；当ABC为钝角三角形时，ABC的周长为32.方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意【类型三】 勾股定理的证明 探索与研究：方法1：如图：对任意

4、的符合条件的直角三角形ABC绕其顶点A旋转90得直角三角形AED，所以BAE90，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，而四边形ABFE的面积等于RtBAE和RtBFE的面积之和根据图示写出证明勾股定理的过程；方法2：如图：该图形是由任意的符合条件的两个全等的RtBEA和RtACD拼成的，你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗？解析：方法1：根据四边形ABFE面积等于RtBAE和RtBFE的面积之和进行解答；方法2：根据ABC和RtACD的面积之和等于RtABD和BCD的面积之和解答解：方法1：S正方形ACFDS四边形ABFESBAESBFE，即b2c2 (ba

5、)(ba)，整理得2b2c2b2a2，a2b2c2；方法2：此图也可以看成RtBEA绕其直角顶点E顺时针旋转90，再向下平移得到S四边形ABCDSABCSACD，S四边形ABCDSABDSBCD，SABCSACDSABDSBCD，即b2abc2a(ba)，整理得b2abc2a(ba)，b2abc2aba2，a2b2c2.方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理探究点二：勾股定理与图形的面积 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2

6、，5，1，2.则最大的正方形E的面积是_解析：根据勾股定理的几何意义，可得正方形A、B的面积和为S1，正方形C、D的面积和为S2，S1S2S3，即S3251210.故答案为10.方法总结：能够发现正方形A、B、C、D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A、B、C、D的面积和即是最大正方形的面积三、板书设计1勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2b2c2.2勾股定理的证明“赵爽弦图”、“刘徽青朱出入图”、“詹姆斯加菲尔德拼图”、“毕达哥拉斯图”3勾股定理与图形的面积课堂教学中，要注意调动学生的积极性让学生满怀激情地投入到学习中，提

7、高课堂效率勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，设计一些拼图活动，并自制精巧的课件让学生从形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究突破本节课的难点第2课时勾股定理的应用1熟练运用勾股定理解决实际问题；(重点)2掌握勾股定理的简单应用，探究最短距离问题(难点)一、情境导入如图，在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？二、合作探究探究点一：勾股定理的实际应用【类型一】 勾股定理在实际问题中的应用 如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时

8、绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳问6秒后船向岸边移动了多少米(假设绳子始终是直的，结果保留根号)?解析：开始时，AC5米，BC13米，即可求得AB的值，6秒后根据BC，AC长度即可求得AB的值，然后解答即可解：在RtABC中，BC13米，AC5米，则AB12米.6秒后，BC130.5610米，则AB5 (米)，则船向岸边移动的距离为(125)米方法总结：本题直接考查勾股定理在实际生活中的运用，可建立合理的数学模型，将已知条件转化到同一直角三角形中求解【类型二】 利用勾股定理解决方位角问题 如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东60方向走了100km到达

9、B点，然后再沿北偏西30方向走了100km到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离解析：根据所走的方向可判断出ABC是直角三角形，根据勾股定理可求出解解：ADBE，ABEDAB60.CBF30，ABC180ABECBF180603090.在RtABC中，AB100km，BC100km，AC200(km)，A、C两点之间的距离为200km.方法总结：先确定ABC是直角三角形，再根据各边长，用勾股定理可求出AC的长【类型三】 利用勾股定理解决立体图形最短距离问题 如图，长方体的长BE15cm，宽AB10cm，高AD20cm，点M在CH上，且CM5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，

10、需要爬行的最短距离是多少？解：分两种情况比较最短距离：如图所示，蚂蚁爬行最短路线为AM，AM5 (cm)，如图所示，蚂蚁爬行最短路线为AM，AM25(cm)525，第二种短些，此时最短距离为25cm.答：需要爬行的最短距离是25cm.方法总结：因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况：前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可【类型四】 运用勾股定理解决折叠中的有关计算 如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN

11、折叠，使点B落在CD边上的B处，点A的对应点为A，且BC3，则AM的长是()A1.5B2C2.25D2.5解析：连接BM，MB.设AMx，在RtABM中，AB2AM2BM2.在RtMDB中，MD2DB2.MBMB，AB2AM2BM2BM2MD2DB2，即92x2(9x)2(93)2，解得x2，即AM2.故选B.方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为x，然后用含有x的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答【类型五】 勾股定理与方程思想、数形结合思想的应用 如图，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，然后利用

12、拉在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经过的路程都是15m，求树高AB.解析：在RtABC中，B90，则满足AB2BC2AC2.设BCam，ACbm，ADxm，根据两只猴子经过的路程一样可列方程组，从而求出x的值，即可计算树高解：在RtABC中，B90，设BCam，ACbm，ADxm.两猴子所经过的路程都是15m，则10axb15m.a5，b15x.又在RtABC中，由勾股定理得(10x)2a2b2，(10x)252(15x)2，解得x2，即AD2米ABADDB21012(米)答：树高AB为12米方法总结：勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一

13、个己知量，通常需要巧设未知数，灵活地寻找题中的等量关系，然后利用勾股定理列方程求解探究点二：勾股定理与数轴 如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是()A. 1 B1C. 1 D. 解析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标图中的直角三角形的两直角边为1和2，斜边长为，1到A的距离是.那么点A所表示的数为1.故选C.方法总结：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A的位置，再根据A的位置来确定a的值三、板书设计1勾股定理的应用方位角问题；路程最短问题；折叠问题；数形结合思想2勾股定理与数轴本节课充分锻炼了学生动手操作能力、分

14、类比较能力、讨论交流能力和空间想象能力，让学生充分体验到了数学思想的魅力和知识创新的乐趣，突现教学过程中的师生互动，使学生真正成为主动学习者172勾股定理的逆定理第1课时勾股定理的逆定理1能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形；(重点)2灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题；(难点)3理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系(重点)一、情境导入古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉成一个三角形(如图)，他们认为其中一个角便是直角你知道这是什么道理吗？二、合作探究探究点一：勾股定理的逆定理【类型一】 判断三角形的形状 如图，正方形网格中的ABC，若小

15、方格边长为1，则ABC的形状为()A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D以上答案都不对解析：正方形小方格边长为1，BC5，AC3，AB.在ABC中，BC2AC2501868，AB268，BC2AC2AB2，ABC是直角三角形故选A.方法总结：要判断一个角是不是直角，可构造出三角形，然后求出三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是【类型二】 利用勾股定理的逆定理证明垂直关系 如图，已知在正方形ABCD中，AEEB，AFAD.求证：CEEF.解析：根据题设提供的信息，可将需证明垂直关系的两条线段转化到同一直角三角形中，运用勾股定理的逆定理进

16、行证明证明：连接CF.设正方形的边长为4，四边形ABCD为正方形，ABBCCDDA4.点E为AB中点，AFAD，AEBE2，AF1，DF3.由勾股定理得EF212225，EC2224220，FC2423225.EF2EC2FC2，CFE是直角三角形，且FEC90，即EFCE.方法总结：利用勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是否为直角三角形，所以此定理也是判定垂直关系的一个主要的方法【类型三】 勾股数 判断下列几组数中，一定是勾股数的是()A1，B8，15，17C7，14，15 D. ，1解析：选项A不是，因为和不是正整数；选项B是，因为82152172，且8、15、17是正整数；选项C不是，因

17、为72142152；选项D不是，因为与不是正整数故选B.方法总结：勾股数必须满足：三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2b2c2，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数；一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数【类型四】 运用勾股定理的逆定理解决面积问题 如图，在四边形ABCD中，B90，AB8，BC6，CD24，AD26，求四边形ABCD的面积解析：连接AC，根据已知条件可求出AC，再运用勾股定理可证ACD为直角三角形，然后可分别求出两个直角三角形的面积，两者面积相加即为四边形ABCD的面积解：连接AC.B90，ABC为直角三角形，AC2AB2BC28262102，A

18、C10.在ACD中，AC2CD2100576676，AD2262676，AC2CD2AD2，ACD为直角三角形，且ACD90.S四边形ABCDSABCSACD681024144.方法总结：将求四边形面积的问题可转化为求两个直角三角形面积和的问题，解题时要利用题目信息构造出直角三角形，如角度，三边长度等探究点二：互逆命题与互逆定理 写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题(1)两直线平行，同旁内角互补；(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；(3)相等的角是内错角；(4)有一个角是60的三角形是等边三角形解析：求一个命题的逆命题时，分别找出各命题的题设和结论将其互换即可

19、得原命题的逆命题解：(1)同旁内角互补，两直线平行，真命题；(2)如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线(在同一平面内)，真命题；(3)内错角相等，假命题；(4)等边三角形有一个角是60，真命题方法总结：判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判断一个命题是假命题只需要举出反例即可三、板书设计1勾股定理的逆定理及勾股数如果三角形的三边长a，b，c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形2互逆命题与互逆定理在本课时教学过程中，应以师生共同探讨为主激励学生回答问题，激发学生的求知欲课堂上师生互动频繁，既保证课堂教学进度，又提高课堂学习效率学生在探讨过程中也加深了对知识的理解和记忆第2课

20、时勾股定理的逆定理的应用1进一步理解勾股定理的逆定理；(重点)2灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题(难点)一、情境导入某港口位于东西方向的海岸线上，“远望号”“海天号”两艘轮船同时离开港口，各自沿一固定的方向航行，“远望号”每小时航行16海里，“海天号”每小时航行12海里，它们离开港口1个半小时后相距30海里，如果知道“远望号”沿东北方向航行，能知道“海天号”沿哪个方向航行吗？二、合作探究探究点：勾股定理的逆定理的应用【类型一】 运用勾股定理的逆定理求角度 如图，已知点P是等边ABC内一点，PA3，PB4，PC5，求APB的度数解析：将BPC绕点B逆时针旋转60得BEA，连接EP，判断APE

21、为直角三角形，且APE90，即可得到APB的度数解：ABC为等边三角形，BABC.可将BPC绕点B逆时针旋转60得BEA，连EP，BEBP4，AEPC5，PBE60，BPE为等边三角形，PEPB4，BPE60.在AEP中，AE5，AP3，PE4，AE2PE2PA2，APE为直角三角形，且APE90，APB9060150.方法总结：本题考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理解决问题的关键是根据题意构造APE为直角三角形【类型二】 运用勾股定理的逆定理求边长 在ABC中，D为BC边上的点，AB13，AD12，CD9，AC15，求BD的长解析：根据勾股定理的逆定理可判断出ACD为直角三角形

22、，即ADCADB90.在RtABD中利用勾股定理可得出BD的长度解：在ADC中，AD12，CD9，AC15，AC2AD2CD2，ADC是直角三角形，ADCADB90，ADB是直角三角形在RtADB中，AD12，AB13，BD5，BD的长为5.方法总结：解题时可先通过勾股定理的逆定理证明一个三角形是直角三角形，然后再进行转化，最后求解，这种方法常用在解有公共直角或两直角互为邻补角的两个直角三角形的图形中【类型三】 勾股定理逆定理的实际应用 如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现ABDC8m，ADBC6m，AC9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格

23、？解析：把实际问题转化成数学问题来解决，运用直角三角形的判别条件，验证它是否为直角三角形解：ABDC8m，ADBC6m，AB2BC282626436100.又AC29281，AB2BC2AC2，ABC90，该农民挖的不合格方法总结：解答此类问题，一般是根据已知的数据先运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，然后再作进一步解答【类型四】 运用勾股定理的逆定理解决方位角问题 如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意反走私艇A和

24、走私艇C的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B测得距离C艇12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？解析：已知走私船的速度，求出走私船所走的路程即可得出走私船所用的时间，即可得出走私船何时能进入我国领海解题的关键是得出走私船所走的路程，根据题意，CE即为走私船所走的路程由题意可知，ABE和ABC均为直角三角形，可分别解这两个直角三角形即可得出解：设MN与AC相交于E，则BEC90.AB2BC252122132AC2，ABC为直角三角形，且ABC90.MNCE，走私艇C进入我国领海的最短距离是CE.由SABCABBCACBE，得BE海里由CE2BE2122，得CE海里，130.85(小时)51(分钟)，9时50分51分10时41分答：走私艇C最早在10时41分进入我国领海方法总结：用数学几何知识解决实际问题的关键是建立合适的数学模型，注意提炼题干中的有效信息，并转化成数学语言三、板书设计1利用勾股定理逆定理求角的度数2利用勾股定理逆定理求线段的长3利用勾股定理逆定理解决实际问题在本节课的教学活动中，尽量给学生充足的时间和空间，让学生以平等的身份参与到学习活动中去，教师要帮助、指导学生进行实践活动，这样既锻炼了学生的实践、观察能力，又在教学中渗透了人文和探究精神，体现了“数学源于生活、寓于生活、用于生活”的教育思想