迪杰斯特拉算法和floyd算法实现无向图的最短路径的计算和求解.docx

1、迪杰斯特拉算法和floyd算法实现无向图的最短路径的计算和求解摘 要本次课程设计主要核心为利用迪杰斯特拉算法和Floyd算法实现无向图的最短路径的计算和求解。要求理解算法的具体实现流程、学会正确使用该算法求解实际问题。本次课程设计具体内容是：通过对两个算法的理解与应用来比较两个算法的优缺点。本程序要求结合最短路算法以及相应的数据结构的定义和使用，实现一个最短路径算法的简单应用。本课程设计是对书本知识的简单应用，以此培养大家用书本知识解决实际问题的能力；培养实际工作所需要的动手能力；培养以科学理论和工程上能力的技术，规范地开发大型、复杂、高质量的应用软件和系统软件。关键字：迪杰斯特拉算法，Flo

2、yd算法，最短路径，算法设计，数据结构一、Dijkstra算法1.1定义概览 Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 Ei 的长度为 wi，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。1.2算法描述1.2.1算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，

3、第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。1.1.2算法步骤：a.初始时，S只包含源点，即Sv，v的距离为0。U包含除v外的其他

4、顶点，即:U=其余顶点，若v与U中顶点u有边，则正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则权值为。b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。执行动画过程如下图1.3算法代码实现： const int MAXINT = 32767;const int MAXNUM = 10;int distMAXNUM;int prevMAXN

5、UM;int AMAXUNMMAXNUM;void Dijkstra(int v0) bool SMAXNUM; / 判断是否已存入该点到S集合中 int n=MAXNUM; for(int i=1; i=n; +i) disti = Av0i; Si = false; / 初始都未用过该点 if(disti = MAXINT) previ = -1; else previ = v0; distv0 = 0; Sv0 = true; for(int i=2; i=n; i+) int mindist = MAXINT; int u = v0; / 找出当前未使用的点j的distj最小值 for

6、(int j=1; j=n; +j) if(!Sj) & distjmindist) u = j; / u保存当前邻接点中距离最小的点的号码 mindist = distj; Su = true; for(int j=1; j=n; j+) if(!Sj) & AujMAXINT) if(distu + Auj distj) /在通过新加入的u点路径找到离v0点更短的路径 distj = distu + Auj; /更新dist prevj = u; /记录前驱顶点 1.4算法实例先给出一个无向图用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下二、Floyd算法2.1定义概览Floy

7、d-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N3)，空间复杂度为O(N2)。2.2算法描述2.2.1算法思想原理：Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在） 从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若

8、干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。2.2.2算法描述：a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。 b.对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路

9、径更短。如果是更新它。2.2.3 Floyd算法过程矩阵的计算-十字交叉法方法：两条线，从左上角开始计算一直到右下角 如下所示给出矩阵，其中矩阵A是邻接矩阵，而矩阵Path记录u,v两点之间最短路径所必须经过的点相应计算方法如下：最后A3即为所求结果。2.3算法代码实现typedef struct char vertexVertexNum; /顶点表 int edgesVertexNumVertexNum; /邻接矩阵,可看做边表 int n,e; /图中当前的顶点数和边数 MGraph; void Floyd(MGraph g) int AMAXVMAXV; int pathMAXVMAXV

10、; int i,j,k,n=g.n; for(i=0;in;i+) for(j=0;jn;j+) Aij=g.edgesij; pathij=-1; for(k=0;kn;k+) for(i=0;in;i+) for(j=0;j(Aik+Akj) Aij=Aik+Akj; pathij=k; 三、结论 Dijkstra算法求单源、无负权的最短路时效性较好，时间复杂度为O（V*V+E）,可以用优先队列进行优化，优化后时间复杂度变为0（v*lgn）。源点可达的话，O（V*lgV+E*lgV）=O（E*lgV）。当是稀疏图的情况时，此时E=V*V/lgV，所以算法的时间复杂度可为O（V2） 。可以用

11、优先队列进行优化，优化后时间复杂度变为0（v*lgn）。 Floyd算法求多源、无负权边的最短路。用矩阵记录图。时效性较差，时间复杂度O(V3)。Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N3)，空间复杂度为O(N2)。Floyd-Warshall的原理是动态规划：设Di,j,k为从i到j的只以(1.k)集合中的节点为中间节点的最短路径的长度。若最短路径经过点k，则Di,j,k = Di,k,k-1 + Dk,j,k-1；若最

12、短路径不经过点k，则Di,j,k = Di,j,k-1。因此，Di,j,k = min(Di,k,k-1 + Dk,j,k-1 , Di,j,k-1)。在实际算法中，为了节约空间，可以直接在原来空间上进行迭代，这样空间可降至二维。四、参考文献1数据结构（C语言版），严蔚敏，清华大学出版社，20052算法设计与分析，王晓东主编，清华大学出版社，20053汪诗林等译，数据结构、算法与应用，（美）Sartaj Sahni著，机械工业出版社， 19994数据结构与算法分析，CLIFFORD A. SHAFFER著，张铭、刘晓丹译，电子工业出版社，19985 计算机算法设计与分析，王晓东，电子工业出版社，20076 数据结构与算法使用教程，刘玉龙，电子工业大学出版社，2009