第7章层流边界层理论.docx

1、第7章层流边界层理论第7章层流边界层理论7.1大雷诺数下物体绕流的特性我们知道，流动雷诺数是度量惯性力和粘性内摩擦切力的相互关系的准则数，大雷诺数下的运动就意味着惯性力的作用远大于粘性力。 所以早年发展起来的非粘性流体力学理论对解决很多实际问题获得了成功。 但是后来的实验和理论分析均发现， 无论雷诺数如何大，壁面附近的流动与非粘性流体的流动都有本质上的差别，而且从数学的观点来看，忽略粘性项的非粘性流体远动方程的解并不能满足粘性流体在壁面上无滑移的边界条件，所以不能应用非粘性流体力学理论来解决贴近物面的区域中流体的运动问题。1904年普朗特第一次提出边界层流动的概念。 他认为对于如水和空气等具有

2、普通粘性的流体绕流物体时，粘性的影晌仅限于贴近物面的薄层中，在这一薄层以外，粘性影响可以忽略，应用经典的非拈性流体力学方程来求解这里的流动是可行的。 普朗特把边界上受到粘性影响的这一薄层称之为边界层， 并且根据在大雷诺数下边界层非常薄这一前提，对粘性强体运动方程作了简化， 得到了后人称之为普朗特方程的边界层微分方程。 过了四年，他的学生布拉修斯首先运用这一方程成功地求解了零压力梯度平板的边界层问题，得到了计算摩擦阻 力的公式。 从此，边界层理论正式成为流体力学的新兴分支而迅速地发展起来。图7-1沿薄平板的水流简单的实验就可以证实普朗特的思想。 例如沿薄平板的水流照片（见图7-1）和直接测量的机

3、翼表面附近的速度分布（见图7-2），即可以看到边界层的存在。 观察图7-2示中的流动图景，整个流场可以划分为边界层、尾迹流和外部势流三个区域。在边界层内，流速由壁面上的零值急速地增加到与自由来流速度同数量级的值。 因此沿物面法线方向的速度梯度很大，即使流体的粘性系数较小表现出来的粘性力也较大。 同时，由于速度梯度很大，使得通过边界层的流体具有相当的涡旋强度，流动是有旋的。当边界层内的粘性有旋流离开物体流入下游时， 在物体后面形成尾迹流。 在尾迹流中，初始阶段还带有-定强度的涡旋，速度梯度也还相当显著，但是由于没有了固体壁面的阻滞作用，不能再产生新的涡旋，随着远 离物体，原有的涡旋将逐渐扩散和衰

4、减，速度分布渐趋均匀，直至在远下游处尾迹完全消失。在边界层和尾迹以外的区域，流动的速度梯度很小，即使粘性系数较大的流体粘性力的影响也很小，可以 把它忽略，流动可以看成是非粘性的和无旋的。图7-2翼型绕流的流动图景I 边界层II 尾迹流 III 外部势流由此可见，当粘性流体绕流物体时，在边界层和尾迹区域内的流动是粘性流体的有旋流动，在边界层和尾迹以外的流动可视为非粘性流体的无旋流动。 因此问题归结为分别讨论这两种运动， 然后把所得的解拼合起来，就可以获得整个流场的解。 边界层和外部势流之间并没有明显的分界线 （或面。所谓边界层外边界或者说边界层的厚度，即是按一定条件人为规定的。 边界层的厚度取决

5、于惯性和粘性作用之间的关系， 即取决于雷诺数的数值。 雷诺数越大，边界层越薄；反之，随着粘性作用的增长边界层就变厚。 沿着流动方向自物体前缘点开始边界层将逐渐增厚。 边界层流动与管流一样，也可能是层流或湍流。 全部边界层都是层流的，称为层流边界层。 当雷诺数大于临界值时，例如对于平板边界层 Re3x105 3x10 6时，边界层流动将部分转变为湍流，称为混合边界层或湍流边界层。7.2边界层的划分与方程边界层可分成二维边界层和三维边界层来研究。 其中二维边界层包括薄边界层和厚边界层。 根据三维边界层流动情况，三维边界层通常分为两类；一类称为边界片，另一类称为边界区或边界条。7.2.1 边界片典型

6、的边界片是除去翼身结合区和翼尖区的后掠翼边界层，如图 7-3的非阴影区。 该区的边界层有三个速度分量u、V和w ,展向和流向的长度尺度都为翼的特征长度， 而法向长度尺度为边界层厚度， 因而展向和流向各流动物理量的梯度同量级。 对于等截面无限长后掠翼， 各物理量的展向梯度为零， 而展向速度分量 w=0 ,因而展向动量方程可仿照流向动量方程那样简化。 在直角坐标系中，定常边界片的微分方程为=02m - -2X yf w dw 亠 cw尸u一+v+w ex cy cz j-P:z(7.2.1)丑0y如果物面曲率较大，离心力引起法向压力变化较大上时，必须考虑法向压力梯度。外边界的压力梯度仍由无粘流理论

7、确定，也可通过试验测定。为了正确而有效地求解三维边界片方程，必须正确确定以下几个问题：(1)有时为了便于数值计算而选用非根据具体流动情况选择合适的坐标系，使方程尽量简化，便于求解。正交曲线坐标系。(2)正确计算外边界流动条件。 为提高精确性，应考虑粘性流动与无粘流动间的相互作用和分离影响。(3)正确确定计算域起始条件。斜向绕流无限长柱体上的流动是边界片的另一典型例子。 如图7-4所示，这种流动相当于绕无限长等截面的后掠翼流动，边界层内存在三个速度分量， 但各速度分量都不随展向坐标 z变化。自由流速度分为两个分量U和W。如果物面曲率不大，边界层厚度是物面曲率半径的高阶小量时，边界层曲面坐标系的各

8、拉梅系数都 为1，则边界片方程为图7-3 斜向绕流无限长柱体1-分离线；2-自由流流线；3-表面极限流线边界条件：y=0:u=v=w = 0杯 (7.2.3)y - : :u = ue,w = we显然，方程(7.2.2)中的连续方程和 X向动量方程不包含 w，相当于无后掠时外流速度为 ue(x)的二维流动问题，可单独求解。 u和v与展向自由流分速度 W及边界片中的分速度 w无关，这种性质称为“独立性原理” 由二维方法确定u和v后，再由z向动量方程求 w。因此，z向动量方程是线性方程，形式上与忽略耗散项的 能量方程相同，容易求解。三维边界片也可用动量积分方程求解，由方程 （722）可以导出X向

9、和z向动量积分方程。 X向动量积分方程的形式和解法与二维问题相同。 以We乘连续方程，再减z向动量积分方程，沿 y积分得z向动量积分方程。We为常数时，Z向动量积分方程为其中仿照X向动量积分方程解法，先假设某种单参数或双参数速度分布，然后积分求解。7.2.2边界区（边界条）机翼与机身的结合处、翼梢、细长旋成体的尾迹、管流和涡轮机翼片与轮毂的结合处的边界层都是较窄长的 三维流动，有三个分速度。 与边界片不同的是 z向和y向的流动长度尺度都为、：，比流向x的长度尺度小得多。 根据量级分析，边界区的微分方程只能忽略粘性切应力对 x的导数，对y和z的导数必须保留，故定常不可压缩边界区的微分方程为uro

10、 vro w =0x : y旬丄 cu w cu w2r0 u 十 v 十 、 * cy r ro(7.2.6)2 . . J cosr : ro : y:w : w w : w r0u v uw:x : y ro T roScosro : y1 cP c= r r0 y式中r。为旋成体半径；rodro/(dx)；门为旋成体子午线当地切线与轴线夹角。7.3边界层的基本概念99%作为边界层的严格说，边界层区域与主流区之间并无明显的分界面，通常以速度达到主流区速度的外边界。 由边界层外边界到物面的垂直距离为边界层名义厚度，简称边界层厚度，用 -表示。:与物体的特征长度比起来，一般是比较小的，其数量

11、级可大致如下估计。图(7-4)所示为平板的平面绕流， 来流速度为V：,平板在z方向的宽度为无穷大， 在x方向的长度为L。单位体积流体的惯性在稳定条件下为 v W ，数量级为：?V：L ;单位体积流体粘性力可用 Q、2v来表示，其数量级为.1笃。在边界层内惯性力与粘性力的量级大致相同，则有2图7-4平板上边面层厚度从此可知在高雷诺数条件下， 边界层远小于被绕流物体的特征长度。 这点与前面实测所给的结果是相符的。我们还要看到，虽然边界层厚度 ：表示了粘性影响的主要范围，但在解决实际问题时，经常会遇到困难，往往由于速度的测量或计算的误差使 ：的数值产生很大的差异，因此还要从其他方面定义一些边界层厚度

12、的特征量。7.3.1边界层排挤厚度参阅图7-5。图7-5边界层排挤厚度示意图单位时间通过边界层某一截面的流体若为理想流体，则其质量流量为式中v 一为边界层外边界主流的速度，? v dy0T 一.为主流的密度。 由于粘性的影响，实际通过的流体质量流量为n Wy上述两项之差就是因存在粘性而减少的流量的多少，定义一个厚度、：，使其与:V：.的乘积等于因粘性存在,边界层减少的流量，用公式表示即为丸0 v：.dy_ 0 Zdy0 CKv)d y6= .o(1(732)dy:：v：如果是不可压缩流动则上式(7.3.3)所以称排挤厚度是考虑到在流量不变的情况下，边界层减少的流量是由于 称为位移厚度是考虑到应

13、用理想流体概念计算通道的流量时不能用原:称为排挤厚度，也称位移厚度。粘性作用把部分流体排挤到主流区去了；来的通道部分的实际几何尺寸，而是考虑边界层由于粘性作用通流能力的减少，即边界要移动一定距离，这样计算通流面积就要比原几何通流面积要减少。 这一边界移动就是位移厚度名称的来源。 这两种名称从不同角度反映了 /的物理实质。 显然/在实际计算中是一个很有意义的物理量， 厂的大小直接反映了通流能力损失的多少。注意，由于边界层外 v/v-. =1，则有旳 v.(1 )dy 0 vo则(7.3.3)又可写成v0(1-严(7.3.4)7.3.2动量损失厚度:单位时间内通过边界层某一截面的质量为60 :?v

14、dy若为理想流体，这些质量应具有的动量为vo : vd y而由于粘性的存在，这些质量实际具有的动量为:V d y0上面两式之差就是由于边界层粘性而产生的动量损失。 为了描述这一动量损失也定义一个厚度 ：*，称为动量损失厚度，使6*与边界层外Pv2之乘机等于边界层内的动量损失，用公式表示为O O2 * I】 2P v 8 = （PvPv ）d yo、如为不可压流动*7.3.3能量损失厚度抵单位时间内通过边界层某截面的流体质量，在理想流体情况下，这些质量具有动能为由于粘性存在，这些质量实际具有动能为1 2的?:v :v：.乘积等于动能损失，用公式表示为如为不可压缩流上式可写成7.4边界层的求解相似

15、性解是边界层研究中一个非常重要的概念。 它能使数学得到相当的简化，这就是研究相似解的意义。应当指出，相似性不是对边界层流动都存在的，只有在外部流动满足一定条件时才存在的相似性解必须在单一图7-6平板边界层流速分布当边界层微分方程式存在相似性解时，以后会看到，可以把偏微分方程式组变化为一个常微分方程式，从而带来数学上很大的简化。方程式可写为：问题在于什么情况下才存在相似性解。 不可压缩流体，二维恒定流动边界层微分2:u : u , dU uu v U v 2 (743):x :y d x :y边界条件为:y =0;u = v = 0y = ：;u=U(U =U (x)为x点处壁面势流流速)而，于

16、是流速分量应为将(7.4.8)，(7.4.9)两式代入(7.4.3)边界层微分方程式中可得：f aff ： (I 一 f 2) =0边界条件为：=0: f (0) = f(0) =0=:f (: ) = I方程式中：gF(Ug)v d x2耳uv只有当 均为常数，式(7.4.10)才是f()的常微分方程式，也就是说 要求的.由(7.4.13)及(7.4.14)式可得2： _ ： (g2U )v d x积分此式得(2 ： - )vx = g 2U(7.4.14)式除以(7.4.16)式，得1 dU _ -U dx (2： - Jx积分此式得U =Cxm(7.4.10)(7.4.11)(7.4.1

17、2)(7.4.13)(7.4.14)f只是 的函数，而这正是相似解所P m = 2在(7415)式中，一：两个常数的公约数对结果并无影响， 因而可令=1，并不失去结果的普遍性， 当=1时,m ， 二-2m (7.4.20)2 一 B m+1C则为积分常数(7418)式说明，当势流流速 U与xm成比例时，边界层方程具有相似性解，此时流速分布函数 f ()满足：ff(1 一 f 2) = 0 (7.4.21)这个方程式的解称为 Falkner-Skan解。由：及：的关系同样可得到 g (x)的形式.由(7.4.16)式得由(7.4.20)式得(7.4.22)相似变量(7.4.23)y m +1 U

18、 g * 2 vx有了流速尺度因素U (x)及y坐标的尺度因素 g(x)，流函数可写为:7.5边界层的分离由实验可知，当流体绕流非流线型物体时，边界层流动会从物面分离并在物体后面形成尾涡区，从而形成 很大的尾涡阻力。 如图7-7所示，它表示了粘性流体绕流圆柱体时流动的分离现象， 其中S点就是分离点。般说来，当物体在流体中运动时，总是希望尽可能减小阻力，因此研究边界层为什么会从物面分离，如何防止 或推迟分离，就成为十分重要的现实问题。 当运动为定常且忽略质量力时，在物面上有：(d p/dx 0)称为逆压梯度流动， 而把压力沿流动方向减少的流动 (dp/dx：0)称为顺压梯度流动。 如图7-7所示

19、的绕圆柱体的流动，在前半部分自前驻点 O到最小压力点 M的流动就是顺压力梯度流动；在后半部分，自M点到后线点F的流动就是逆压力梯度流动。图7-9边界层内的速度分布随着压力梯度的变号，速度剖面的曲率将改变它的符号。 如图7-8和图7-9a所示，对于顺压力梯度流动，-2I 有d p/dx .0，此时（一p）y=6 0；另一方面，当流体质点趋近于边界层外边界时， ？u/?y不断减少并趋于零,2 2戸U 戶U因此当y_. f时，（一） 0。由此推出，在顺压力梯度流动区， （一飞）始终是负的，边界层内速度剖面是dy dy一条没有拐点的向外凸的光滑曲线，所有流体质点都是沿着流动方向前进，不会产生边界层分离

20、。 与此相反,-2 2）0，此时（L2）y0，又根据刚才的讨论，当 yT 6时,（工102u如图7-8和图7-9b上的P点。拐点的出必然在0y0 ,所有流体质点还是保持沿流动方向前进。 但是当拐点外移到某一位置时，根据流动的连续性，必然在物面的某点 S上出现（?u/?y） y = 0,从这点开始再往后就有（?u/?y）y：00，发生了回流，回流与主流相撞，把主流推离物面，就形成了边界层分离现象。 在分离区里，由于回流造成真空使得下游流体倒流过来， 碰到主流的冲击又将顺流回去， 就形成了明显可见的涡旋区。 当边界层与物面分离后，它就像自由射流一样注入外部势流中，在主流与回流之间形成一条分界线，这

21、条分界线就是 从物面离开的零流线 T（u= 0）。脱体的边界层在外部势流携带下，将漂向下游和物体后面的流体混合形成整个 尾涡区，由于涡旋损耗动能，因此产生了尾涡阻力。在分离点附近以及在分离点以后的流动中，由于边界层厚度大幅度地增加， u与v的数量级发生了根本的变化，与u相比v不再是小量，S 0时，速度剖面图会出现拐点。边界层分离时(出从=0。鋼一假定流速分布为四次多项式:式中的常系数可以由边界条件得出如下:(7.6.17)A A Aa = 2 ， b ， c =6 2 2将这些系数代入(7.6.13)式可得边界层内的流速分布为：-=(2 一2 3 4) ( 一3 2 3 3 - 4) =F(

22、) .G( ) (7.6.18)U 6其中:F( ) =2 _ 2 3 4 = 1 _(1 _ )3(1 )1 u 1(1 )d y (1一 f )d0 U 02.边界层动量损失厚度3.壁面切应力.ww山U(2匸)cy & 6定义第二形状因子(secondshapefactor) K，令:6 2 du1(7.6.29)K 1v d x并定义：于是由(7.6.29)，得* 2OZ二v(7.6.30)d比=Z 1 dx综合K，上以及/，广,-w的公式可得出以下对于任一断面均可适用的一些普适关系: *K 、 2)2A oJf37AA2 2_f37AA2 63515144 丿.,3159459027 y37 A A2 ,315 945 9027(7632)边界层形状参数H12 :壁