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1、你懂测度吗科学网 曹广福测度论对于门外汉来说似乎有道难以逾越的门坎，其公理化的定义让人摸不着头脑。然而如果没有她，概率论恐怕要象牛鬼蛇神一样由于那羞于启齿的出身而难以立足，是测度论使它得以“从良”。 微积分之伟大并不仅仅在于她为自然科学研究提供了强有力的工具，还在于她对近代数学产生了深远的影响。从如今的测度论教科书中你或许难以发现测度与微积分到底有什么关系，然而如果你仔细去推敲与寻找，你会发现其中依然闪耀着微积分的光辉！ 抽象测度论通常都是将人们熟悉的区间的“长度”、区域的“面积”等概念的共性（即公共特征）提炼出来形成一套公理，在此基础上进行逻辑演绎得出一整套的理论，这与其它近代数学分支是类似

2、的。问题是，我们为什么要这么做？她能给我们带来什么好处？如果这个问题不搞清楚，我们难免会产生一种错觉：原来数学家们一直在关着门自娱自乐呢。 我在过去的博文中曾经说到过Riemann积分的缺陷问题，并讲到如何克服这个缺陷从而使可积函数的范围大大拓展，绥阳兄在其博文“物理学中第一把打开无限维空间几何的钥匙”中介绍了更广泛意义下的函数概念广义函数，它对自然科学的影响是巨大和深刻的，对现代数学的影响也是不可估量的。假如以函数为线索来看分析数学的发展历程，则可以简单地概括为：连续函数（微积分）-可测函数（实变函数）-广义函数（泛函分析）。从“连续函数”到“可测函数”需要跨越一关，这就是测度。当然，实变函

3、数中的测度是比较具体的测度Lebesgue测度，所以多少还是带有构造性的痕迹，但正是这种构造性的测度为我们理解一般测度提供了帮助。所以，如果不学习实变函数而是直接学习测度论，对测度论的本质就很难理解，只能从形式到形式。 如何知道一个函数是否Riemann可积呢？通常的做法是相对于函数定义域的任意划分，找一些小矩形把曲边矩形包住，再找些小矩形包含在曲边矩形内，“内外夹攻”，只要两者的极限是一样的，则该函数一定是可积的（如下图）。 正是由于“内外夹攻”后最后汇于一点（同一个极限），对函数就有了要求，用绥阳兄的话来说就是这些函数要比较“乖”才行（即“基本”上连续），Dirichlet函数是典型的不“

4、乖”的函数。微积分的缺陷严重制约了它的应用范围。如果从更高的层面上来看微积分，我们会发现Riemann积分关于极限是不完备的（正如有理数不完备一样），换句话说，Riemann可积函数的极限未必是可积的，这严重制约了积分极限理论的应用，事实上，即使在实际问题中也经常遇到积分的极限问题，人们常常为积分与极限的顺序是否可交换而伤透脑筋。为了克服这一缺陷，产生了新型的积分理论Lebesgue积分。非数学专业的学生一般是不学实变函数的，但在我看来，有条件的话，非数学专业的学生也应该了解一点近代分析学，至少应该知道它的基本思想。 为了清楚地理解Lebesgue积分，首先要了解Lebesgue测度，这我在过

5、去的博文“Riemann积分并非战无不胜” （ 定义 设E是R1的点集E，Ii是R1中的一列开区间,其并覆盖了E，则确定了一个非负的数u（或+ ）。记m*E=inf|,Ii是开区间。称m*E 为E的Lebesgue外测度。应该注意到，由于没有假定E是有界集，所以 m*E有可能是+ ，就象（a，+ ）的长度是+ 一样。 由于在R1中任意平移一个区间并不改变其长度，所以外测度也具有平移不变性，此外外测度还有如下几个基本性质： 性质1 m*E 0,空集的测度为0(非负性)。 性质2 若 , 则m*Am*B(单调性)。 性质3 (次可数可加性)。 性质1是显而易见的。如果注意到当 时，凡是能盖住B的开

6、区间序列一定也能盖住A，则由外测度定义很容易得到m*Am*B。事实上，盖住A的开区间序列的全体比盖住B的开区间序列全体更多。性质3的证明要复杂些，此处从略。 看起来似乎外测度概念推广了通常的“长度”概念，我们所期待的问题已经解决，但是，当我们完成了在某个原始概念基础上推广或建立一个新的概念后，首先必须回过头来审查一下这一概念是否具有合理性，所谓合理性应包括下面两个方面的问题：1、它是否的确为原始概念的自然推广？2、它是否继承了原始概念的基本特征？按上述方式定义的外测度是不是区间长度概念的一种推广呢？这就要看看当I是区间时，其长度与外测度是否相等。假设I是区间或是从某个区间挖去有限个开区间后剩下

7、的部分， 可以证明,I的长度与其外测度是相等的。 这说明外测度确是“长度”概念的自然拓广。至此，集合的“长度”问题似乎已得到解决，但事情远非如此简单。（未完待续）对公式不感冒者可以跳过公式，不影响了解文章的意思！- 既然外测度是长度概念的自然推广，那么当时，应有，因为区间的长度是具有可加性的。可以证明如果对任意两个不交的集合A，B都有，则对任意有限个互不相交的点集E1,.,En，也有 进而对任意一列互不相交的点集E1,.,En,，有 令n便知 。 相反的不等式由外测度的性质3立得，所以 这就是说，只要外测度具有可加性，则它一定具有可数可加性。外测度具有可加性吗？如果有的话我们就太幸运了，直线上

8、所有的点集就都可以度量了，且别高兴得太早，小心乐极生悲！ 非常不幸的是，外测度并非对所有的集合都具有可加性。不过要找这样的例子需要相当的灵感！一般说来，正面的结论总还是能让我们寻找到一点如何发现的蛛丝马迹，因为它毕竟是通过逻辑推导得来的，但反例往往无痕迹可寻，常常就象脑筋急转弯一样令人意想不到，不可测集的构造正是这样。不过在寻找这样的集合之前，需要一个集合论中熟知的公理，称为策密罗选择公理。 这个公理看起来就象“平面内两点确定一条直线”那样平凡易于理解，但没有它很多问题的处理将无法进行，我直观地阐述一下这个公理的意思：假设我们要在全国范围内“选美”，先从各个省开始，每个省选出一个来，然后再到北

9、京人民大会堂PK，注意关键在于“每个省选出一个，”选得出来么？显而易见可以选出来，明白了？那好，现在将此问题数学化，假设我们有“无穷多个省”，多到什么程度？“数不清”，什么叫数不清？就是你没法数，比如有与无理数一样多的“省”。你能保证选得出来么？有人说，这有什么不可以，挨个选不就行了？问题就出在什么叫“挨个”，这里是没法“排队”的，也就是没法“挨个”。所以这个公理并不平凡，尽管它不难理解！曾几何时，现代数学大厦的“地基”(集合论)出现了令人恐惧的“裂缝”，数学大厦大有摇摇欲坠之态，Hilbert企图挽救数学于危难，建议重建良好的数学基础，以Zermelo（策密罗）为首的一大批世界一流数学家响应

10、Hilbert的号召，开始这项浩大的工程，然而，令人遗憾的是，良好的数学基础最终并未能真正建立起来，万般无奈之下，人们退而求其次，给集合论添加了一些公理，选择公理便是最具代表性的一个公理，在这些公理之下，已经发现的矛盾被避免了，但一些基本问题并未获得解决，Poincare对此做了个风趣的评价：“为了防备狼，羊群用篱笆围了起来，但不知道圈内有没有狼”。 这个公理与著名的曹恩引理是等价的，曹恩引理又称为超穷归纳法，我们知道通常的数学归纳法是处理与自然数集有关的命题的（也称为“三段论”），而超穷归纳法是处理以任意集合为指标集的命题的，通俗点说就是：“命题Sx与x有关，这里x属于某个给定的集合A，要证

11、明命题Sx对所有x成立。”如果A是自然数集就是数学归纳法了。超穷归纳法之威力有如数学归纳法，只不过处理的问题更广泛。你还认为选择公理是平凡的吗？ 如何寻找不具有可加性的例子呢？方法是代数化的，非常巧妙，巧妙到迄今为止没有人能想出第二种本质上不同的方法来，可见Lebesgue是多么的伟大（事实上，他的Lebesgue积分理论取代了包括他的导师Borel在内的所有前人的工作）。尽管是一个构造性的例子，但你很难像写一个区间一样清楚地将它写出来。正如尽管我们知道超越数与实数一样多，但除了e与，再难写出第三个本质上与这两个数无关的超越数来！你如果觉得下面的构造看起来实在脑袋发胀，不妨跳过。 对任意，（0

12、，1），记 Rx=y|（0，1），y-x是有理数。 显然，故Rx非空，而且对任意(0,1)，如果，则Rx=Ry。事实上，若 ,则对任意, a-x, b-x 均为有理数，a-y, c-y 也为有理数，于是b-y=b-a+a-y，c-x=c-a+a-x都为有理数，这说明，由b,c的任意性知Rx=Ry（实际上Rx=Ry当且仅当y-x是有理数）。这样（0，1）可以分解成一些互不相交的Rx之并，对每个Rx，从中任取一点构成一个集合S，当然。 记rn为（-1，1）中有理数全体，Sn=S+rn，即Sn是将S平移rn后得到的，显然，而且当n不等于m时，Sn与Sm相互不交(想想如何证明？），于是我们得到了一列互

13、不相交的集合。 都含什么样的点呢？可以证明（证明从略，有兴趣者不妨自证），这说明 。 如果外测度具有可加性，则 注意Sn是S经过平移后得到的，故m*Sn=m*S，于是由的收敛性知m*S=0，然而这将导致10的点集的测度随着n越来越大而越来越小。这几种收敛概念依次由强到弱。 既然一致收敛在很多问题中起到了决定性作用，我们能不能在牺牲掉另外一些东西后保证一个处处收敛甚至几乎处处收敛的函数序列一致收敛呢？能从这个角度想问题本身就很了不起！我们先来看看上面的例子，fn(x)为什么不能一致收敛到0？原因在于当x充分接近1时，xn也接近到1（不管n有多大，只要它固定）。因此，如果x随着n变，xn的极限有可

14、能不等于零，事实上，如果令xn=1-1/n，则fn(xn)=（1-1/n）n的极限为1/e。既然问题的关键就出在x不能离1“太近”，我们给x圈定个范围如何？这个范围与原来的区间（0，1）不能相差太大，否则可能对所要解决的问题毫无帮助。实际上，只要x小于任何给定的小于1的正数就可以，即对任意正数1，fn(x)与gn(x)在（0，）上一定是一致收敛到0的。这是偶然的还是必然的？换句话说，任何一个处处收敛（几乎处处收敛）的函数列是不是都可以在挖掉一个“长度”充分小的集合后是一致收敛的？Egoroff（叶果洛夫）很了不起，他给出了这个问题的肯定回答，这就是著名的Egoroff定理。 定理（叶果洛夫（E

15、goroff）设E是Rn中的可测集，且mE+，fn(x)是 上几乎处处有限的可测函数序列，f(x)是 上几乎处处有限的可测函数，则下列各命题等价。 （i）fn(x)几乎处处收敛到f(x)； （ii）对任意正数 ，存在E的可测子集E，使得m(E-E)，而在E 上，fn(x)一致收敛到f(x)。 瞧，我们果真做到了一致收敛！问题到此就算解决了吗？在E上由于函数列是一致收敛的，所以很多问题很容易得到解决，然而在E-E上怎么办呢？例如，在（0，）上，前面提到的两个函数列fn(x)与gn(x)的积分肯定都收敛到零，也就是说，在（0，）上积分与极限可以交换顺序，可为什么在（0，1）上结论就不对呢？显然，问题出在剩下的区间（，1）上。因此仅仅有Egoroff定理是不够的，欲知详情如何，且看下回分解。