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1、数学建模国赛论文A题利用影子确定视频拍摄地点和日期的建模和算法摘要本文研究的问题是如何通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期。建模整体思路是，先建立一系列分析用到的物理量，设定一些假设和约束条件，使得问题求解有可行性，之后对这些物理量进行演绎。建模使用的软件平台主要是matlab，分析用到的主要参量是太阳赤纬、时角、高度角、方位角、纬度，分析过程当中用到的方法有，建立物理概念，明确物理意义，比如引用天球坐标系的概念，在天球坐标系的基础上进行物理分析，通过对建立的参变量进行物理关系的推导，形成公式体系进行求解，对题目所给予的影子坐标数据进行适当变换处理，使用matlab进行合

2、理的拟合，对于用公式法和方程法没法顺利解决的问题使用穷举法作为解题的补充，对于视频中坐标的取法用到了坐标转换的思想。其中主要公式有 1. 2. 3. 4. sinh=coscoscos+sinsin第一问，通过物理量变换，先求出高度角，进而得到影子长度与时间变化关系。第二问，拟合点求经度，取点套公式求纬度。第三问，方程思想，过程复杂，采用穷举法近似实现求解。第四问，难点在于通过视频分析，得到影子端点的变化坐标，进而将问题转化成第二问，已知日期（太阳赤纬），时间（时角），求解经度纬度。关键词：天球坐标系 物理量演绎分析 matlab数据拟合分析 二元方程组近似穷举法 坐标转换思想 1.问题重述与

3、分析如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。1. 建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。分析：模型的参数有经度（地方时），纬度，日期（太阳赤纬）如果能够根据这三个变量建立相关模型，则地球上任意地点任意时刻的物体影子的形状和方位都能够确定2. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数

4、据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。分析：这属于一个模型的逆过程，根据已经得到的影子的轨迹形状、日期来推断地点3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。分析：第三问与第二问的不同在于第二问有具体的日期，而第三问中并没有具体的日期这就为求解带来了一定的不确定性和难度4（1）附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你

5、们的模型给出若干个可能的拍摄地点。（2）如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？分析：根据视频提取某一时刻的影子的长度，视角之间的转换关系，方向的确定都是值得分析的地方2.模型约定与假设本文采用如下假定：1太阳光线视为平行光2研究地面上的杆子的时候地面视为平的3一年365天 一天24h 南北回归线纬度为23264.本文采用天球坐标系5.宏观上设地球为光滑标准球体 不考虑大气层折射影响6数据中的时间在处理的时候都应该处理成当地的地方时7.地球的自转和公转都是匀速运动，其中，公转为圆形轨道3.总体模型及相关概念建立 1）地平坐标系（天球坐标系之一）过观测者O (天球中心)的铅垂线延伸

6、后与天球交于两点朝上的一点Z 称为天顶朝下的一点Z 称为天底（右下图）过天顶Z 和天体作一垂直圈它与地平圈交于垂足D 点则天体 在地平坐标系中的第一坐标就是大圆弧D 或极距 Z 。D =h 称为地平纬度又称地平高度简称高度而Z= 称为天顶距。地平高度也可以用平面角OD 来量度而天顶距也可以用平面角OZ 来量度。天球上与地平圈相平行的小圆称为地平纬圈也称平行圈。同一地平纬圈上任意点的地平高度都是相同的因此可以称为等高圈。南点S 与垂足D 之间的大圆弧SD =a 是地平坐标系中的第二坐标称为地平经度或天文方位角简称方位角。方位角也可以用平面角SOD 来量度天文学中习惯从南点起按顺时针方向量度。以地

7、平圈为基圈子午圈为主圈南点为主点的坐标系称为地平坐标系。由于周日视运动天体的地平坐标不断发生变化。另一方面对不同的观测者由于铅垂线方向的不同就有不同的地平坐标系同一天体也就有不同的地平坐标。 【1】2）首先为了定义阐释诸多物理量，我们可以建立一个以观测者为原点的空间直角坐标系，将地球视为一个完美的球体，在观察者的位置我们可以做一个切面，记为H，y轴经过此面，y轴亦即东西方向，而在此平面内的过观察者的与y轴垂直的直线方向即正南正北，正北方向可以记为p，XOY平面为与赤道面平行的平面，太阳光的方向用l来表示，l与xoy平面的交角记为，而O-Z轴的方向，正是地球极轴指向。由地理概念易知，（）是时角。

8、以上都是为了求解太阳的高度角和方位角设置的参变量。 【2】3）（太阳赤纬）的计算选取12月22日为基准点，从这一天起到以后某一天，地球在其公转轨道上上走过一个转角，这个转角的大小记为。其中由地理学知识容易知道，12月22日这一天太阳赤纬为南纬2326将360 365等分，易得的计算公式=0.9863（d2-d1）其中d1是12月22日的日期数，d2-d1的整体含义是待求日期与冬至日的日期差。 【3】4）查资料得太阳赤纬sin=0.39795cos0.98563(n-173)（n为此时与1月1日距离的天数） 【4】5）时角由地理学知识，=15*T+k（其中T为格林尼治时间，二十四小时制，k为观测

9、点的时间，东经为正，西经为负） 【5】6）太阳高度角由图片易知，太阳高度角即为向量n和向量l的夹角的余角，地理意义上即为太阳光线与地平面的夹角。如图平面过y轴，平面与oz轴的夹角为，由解析几何的知识可以知道平面H在空间中的单位法向量的表达式为=（cos,0,sin）,根据太阳的直射纬度（太阳赤纬）以及视角可以得到单位向量=（coscos,sinsin,sin），设太阳高度角为h由余弦公式可以知道sinh=cos,综合可以知道sinh=coscoscos+sinsin 【6】7)方位角的定义：太阳光的单位向量在地平面上的投影线与正南方向的射线，按照从正南方向顺时针到投影线的顺序所构成的角成为方位

10、角。逆时针为负数,顺时针为正.太阳的方位角A公式经过推导可知是 【7】若规定东西方向为x方向则，南北方向为y方向，则tanA=x/y从而,太阳下，竹竿影子的端点关于一系列参数的方程就得到了，为接下来的一些工作奠定了基础。4具体模型建立与求解4.1第一问建模与求解分析：第一问当中，确定太阳长度的变化曲线即确定太阳影子长度和时间的函数关系，利用高度角、杆长、影子长度的关系，将求解影子长度转化成求高度角，通过太阳赤纬，地理纬度换算，时角换算来得到太阳高度角随时间的变化关系，进而求出影长的变化，同时给出了，影子变化的实际轨迹图，非常直观。 如图，在被投影物体长度一定的情况下，影子长度的变化主要取决于夹

11、角A的值，而夹角A与太阳高度角B相等，于是，决定影子长度的唯一因素就是太阳高度角。而太阳高度角主要由三个因素影响。1.太阳赤纬。2.地理纬度。3.地方时。三个因素的求解方法： 1.太阳赤纬。太阳赤纬的变化是由于地球公转所引起的，因此，将公转的一周365等分，并得到此时与12月22日的差值天数，可以计算出此时的公转角=0.9863d,在通过三角关系，可得到太阳赤纬与公转角之间的关系为：sin=-sin23.5cos=-0.39795cos,以上是我们的初步想法。而为了方便起见，我们引用他人的资料得：sin=0.39795cos0.98563(n-173)（n为此时与1月1日距离的天数） 2.地理

12、纬度。给定的坐标，无须计算。 3.地方时与北京时间的换算。由于经度的不同，每个地区的地方时有差异，而北京时间较为普遍，因此，我们需要通过给定的北京时间来进行当地地方时的换算。地球自转平均1度需要4分钟，因此，换算成地方时只需要计算与120度地区相差的度数即可。通过地方时，我们可以确定时角，即以12时为0时角，每小时变化360/24=15度。已知上述的三个因素，我们可以通过空间向量中夹角公式，得出太阳高度角的表达式：sinh = costcoscos + sinsin（h为太阳高度角，t为时角，为太阳赤纬，为地理纬度），通过太阳高度角，我们可以进而通过三角函数求解影子的长度。通过上述分析，我们可

13、以用matlab实现此问题，并得到实现此类问题的程序，以题目中要求的数据为例，1. 我们计算太阳赤纬，根据公式需要用到当前日期与元旦的差值2. 换算纬度3. 根据经度求与北京的时间差4. 求解地方时5. 换算成时角6. 求解太阳高度角7. 计算影子长度8. 做出图线程序参见程序1得到的图线如图所示： 注意，此处的时间是北京时间，而并不是地方时间，所以对于地方时来说，时间并不是关于正午对称的，所以得到的图像并不对称，但是显然，图像的最低点对应的时间正是以北京时间来表示的当地正午时间，为12：14左右。 更进一步，可以得到影子的轨迹图，如下：竹竿影子的轨迹图4.2第二问建模与求解分析：第二问的处理

14、思路是将经度、纬度的求解分开。对于经度，采用matlab进行数据多项式拟合的方法，得出二次曲线，进而得到当地正午的北京时间，通过两个正午时间差的换算，得到当地的经度。对于纬度，通过高度角的余弦公式求解。这里如果运用方程组的思想的话，只需要一个点（正午以外）即可解决，因为加上其他物理量之间的制约关系，刚好可以解决。1 经度的求算：首先,通过坐标，可以算得影子的长度（），再根据长度与时间的点，进行拟合，由于函数曲线先减后增，考虑二次函数拟合，用matlab拟合得到多项式为：y=0.1489*x2-3.7519*x+24.1275现在，将此多项式处理，求得最小值时x的值（即正午的北京时间）;12.5

15、987于是，在北京时间12.5987时，当地达到正午。通过时差换算，可算出当地经度：(12-12.5987)*60/4+120=111.0195 即经度为东经111.02度详见程序2、3、42. 纬度的求算：首先计算太阳赤纬 a=asin(0.39795*cos(0.98563*(n-173)之后从给出的数据中取出一组x=1.7337 y=0.6013;得到方位角A=atan(x/y)算出此时的时角t=(15+36/60-12.5987)*15*pi/180进而带入公式求得高度角的余弦，进而求出能够使公式成立的纬度=30.57即北纬30.57度综上，可以得到最终答案 即东经111.0195北纬

16、30.574.3 第三问的建模与求解分析：第三问，两组数据较第二问而言，缺少了时间，即太阳赤纬的没法直接求算，这里如果用方程组的思想，从给出的数据当中取两个点（非正午，非关于正午对称）即可解决，而由于得出的方程比较复杂，所以我们采取另外一种简单有效，精度稍低的方式穷举法，对纬度和日期（太阳赤纬）进行穷举，从当中挑选出最接近正确答案的一组，由此得到答案。建模的思路如下 先求经度1. 将数据导入matlab进行拟合（二次拟合）根据横纵坐标求长度，对时间进行换算2. 对时间和影子长度两个参数进行拟合求出二次函数的系数3. 求出影子最短的时候对应的时间和长度4. 通过时差换算得到当地的经度 (12-1

17、5.2141)*60/4+120=71.7885 即E71.7885同理得到附件三中经度为E108.9405接下来进行纬度和日期的计算，纬度和日期可以根据太阳方位角和高度角公式，计算得到。首先考虑1. 2. 然而以上计算方法较为复杂且容易出错，此处考虑用穷举法来计算。由于一年有365天，因此从元旦开始，考虑365个数，进行穷举循环，从而计算出太阳赤炜，如下：d=asin(0.39795*cos(0.98563*(i-173)*pi/180) （i为1到365的整数）由于纬度范围有限（南北90度），考虑北纬从0-pi/2之间9000个值。取一组数据 T=13:29 x=-0.8215 y=0.4

18、001 来进行穷举计算。 此时的时角为 (13+29/60)-15.2141)*15*pi/180 方位角可以由坐标值得到，为arctan（-0.8215/0.4001）因此，可以用如下方法。对从i=1:365的每一天，从角度为零到九十度开始扫描，寻求能够使目标表达式sqrt(1-(cos(a)*cos(d)*cos(-0.4531)+sin(a)*sin(d)2)-cos(d)*sin(-0.4531)/(-0.8990)最小的解。得到的结果x =64 282 y =599 599同理，第三组数据也可有如下方法算得。以这一组数据为标准计算T=13:39 X=1.7589 Y=3.2907x

19、=95 251 y = 3257 3257即第三问附件二时间为3月5日或10月9日，坐标为东经71.79度，北纬5.99度同理，也可能为9月5日或4月9日，坐标为东经71.79度，南纬5.99度第三问附件三时间为4月5日或9月8日，坐标为东经108.94度，北纬32.57度同理也可以为10月5日或3月8日，坐标为东经108.94度，南纬32.57度。程序参见程序5、6、74.4第四问的建模和求解 第四问是前面几问的综合应用，而第四问与前面几问的区别在于，第四问需要从视频中提取坐标信息，进而归结成第三问的问题。为了缩小研究范围，从视频中显示的植被，日期，建筑风格，人种等等可以判断应该是北半球的亚

20、洲国家。至于从视频中提取坐标等信息的方法，限于时间和知识，在此不能完美解答。 总之，第四问在思路上就是通过视角，坐标系的转换，将图中信息转化成前面的坐标等，进而求解。5.误差分析误差来源：第一问：1.太阳赤炜计算公式本身误差 2取点作图，样本容量大小所引起的不足，样本容量应该说足够本题的较精确求解，由于公式可靠，容量较大，所以第一问误差并不大第二问：1.数据拟合过程产生的误差，数据是一些离散的点，离散的点对于连续的函数来说，只能算是一种大致的模拟，所以点越多，间距越小越精细，反之，越粗糙 2.数据精度产生的误差，数据精确到小数点后的位数直接影响了题目的求解，精确位数越高，求解的模糊程度越小第三

21、问：1.参数拟合误差，同第二问 2.太阳赤纬公式误差，太阳赤纬公式据查阅有多种计算方法，在这里采用的是比较广泛应用的一种 3穷举法本身的步长大小所带来的误差，穷举对于连续的函数来说也只能是在函数上取点，而不能做到遍历每个点，所以取得越多越细，对真相的还原越有利第四问：图像处理，端点捕捉的误差，图像本身的处理不当，会造成误差的累积 6. 优缺点 优点：本文所用的算法，基本上都能欧找到逻辑性连贯性比较强的理论依据，所以对于求出来的数据，如果不是计算错误，那么逻辑上应该都是的，而且依据这样的理论，算得结果比较精确 缺点：本次建模，并没有采用特别直观，容易理解的建模方法，所以，算法的直观性较弱，而且因

22、为其中采用了一部分理论推导的过程，几何性求解的内容偏少并不简便7.总结 本文力图在视频分析中根据太阳影子的轨迹判断日期和地点的算法进行说明，已经基本上能够在给定坐标而没有日期地点的情况下判断日期地点，不足之处在于对实际视频的信息获取。8.参考文献【1】XX百科 天球坐标系 访问时间 2015.9.11【2】房淼森 一种太阳视运动轨迹建模方法及其应用 城市勘测 , Urban Geotechnical Investigation & Surveying【3】房淼森 一种太阳视运动轨迹建模方法及其应用 城市勘测 , Urban Geotechnical Investigation & Survey

23、ing【4】XX知道 太阳赤纬计算公式访问时间 2015.9.11【5】房淼森 一种太阳视运动轨迹建模方法及其应用 城市勘测 , Urban Geotechnical Investigation & Surveying【6】房淼森 一种太阳视运动轨迹建模方法及其应用 城市勘测 , Urban Geotechnical Investigation & Surveying【7】郑鹏飞 林大钧 刘小羊 吴志庭 基于影子轨迹线反求采光效果的技术研究 华东理工大学学报(自然科学版) , Journal of East China University of Science and Technology(Natural Science Edition) 附录程序清单 第一问：程序1lengthandtime.m 第二问: 程序2chengxu2.m 程序3chengxu3.m程序4chengxu4.m第三问：程序5chengxu5.m 程序6chengxu6.m 程序7chengxu7.m