《数学建模》选题要点.docx

1、数学建模选题要点数学建模选题（一）1、选址问题研究在社会经济发展过程中，经常需要在系统中设置一个或多个集散物质、 传输 信息或执行某种服务的“中心”。在设计和规划商业中心、自来水厂、消防站、 医院、飞机场、停车场、通讯系统中的交换台站等的时候 ，经常需要考虑将场址选在什么位置才能使得系统的运行效能最佳。选址问题 ，是指在指定的范围内， 根据所要求的某些指标，选择最满意的场址。在实际问题中，也就是关于为需要设 置的“设施”选择最优位置的问题。选址问题是一个特殊类型的最优化问题 ，它属于非线性规划和组合最优化的研究范围。由于它本身所具有的特点 ，存在着单独研究的必要性和重要性。1.1 “中心”为点

2、的情形如图1,有一条河，两个工厂P和Q位于河岸L （直线）的同一侧，工厂P 和Q距离河岸L分别为8千米和10千米，两个工厂的距离为14千米，现要在 河的工厂一侧选一点R,在R处建一个水泵站，向两工厂 P、Q输水，请你给出 一个经济合理的设计方案。（即找一点R，使R到P、Q及直线I的距离之和为最小。） 要求和给分标准：提出合理方案，建立坐标系，分情况定出点 R的位置，0分一一70分。 将问题引申：（1） 、若将直线L缩成一个点（如向水库取水），则问题就是在三角形内求一 点R,使R到三角形三顶点的距离之和为最小（此点即为费尔马点）。（2） 、若取水的河道不是直线，是一段圆弧（如图 2），该如何选点

3、？对引申问题给出给出模型和讨论 30分一一50分。抄袭者零分；无模型者不及格；无程序和运行结果扣 20-30分；无模型优缺 点讨论扣10分。1.2 “中心”为线的情形在油田管网和公路干线的设计中提出干线网络的选址问题: 问题A：在平面上给定n个点R,F2,，巳，求一条直线L ,使得n、Wid(R丄) (1)i 4为最小，其中W表示点P的权，d(R,L)表示点R到第直线L的距离。问题B：平面上给定n条直线L2,Ln,求一点X ,使n Wid(X,Li) ( 2)i 4为最小，其中W表示直线L的权，d(X,Li)表示点X到第直线L的距离。问题C:在平面上给定n个点R,R2,，Pn，求一条直线L ,

4、使得maxWjd(R,L) ( 1)i勺 印为最小，其中W表示点P的权，d(R, L)表示点R到第直线L的距离。问题D:平面上给定n条直线L2,Ln,求一点X ,使max Wid(X, Li) ( 2)i i_n为最小，其中W表示直线Li的权，d(X,Li)表示点X到第直线Li的距离。参考文献【1】林诒勋,尚松蒲平面上的点一线选址问题J.运筹学学报,2002,6(3):61 68.【2】尚松蒲，林诒勋.平面上的min-max型点一线选址问题J.运筹学学 报,2003,7(3):83 91.要求和给分标准：选择问题A和B(或者C和D)进行研究：根据文献重述模型(10分)，提出 自己的算法(30分

5、)，计算机仿真验证算法的正确性(40分，含如何在平面上随 机产生n个点，对每个点随机赋权，按照算法编程实现求干线的程序，并将寻得 的干线和点在平面上图示，建议用 MATLA编程)。将问题引申：如果同时确定两条、三条干线，应该如何讨论？其他情形的讨论？对引申问题给出给出模型和讨论 20分一一30分。抄袭者零分；无模型者不及格；无程序和运行结果扣 20-30分；无模型优缺点讨论扣10分。2 Hsieh模型的参数估计方法研究（本题目可三人共同完成，但工作量要基本相同，每个人的工作要写清楚 ）Hsieh模型为由（1）和（2）构成的如下非线性方程组：A = E2 F2(2)-tan，F E其中，2 2

6、1/2E=1- co rcKei（ a ）/（2 T）, F= r c Ker（ a ）/（2 T）, a 二 S/T）A为井水位与不排水条件下含水层孔压的潮汐响应振幅比， 称为相对振幅。井水位与孔压之间的相位差，取决于含水层的导水（渗透）性能； Ker和Kei分 别为开尔文函数（在Matlab中用besselk（）来表示）的实部和虚部；S为储水系 数，无量纲；T为导水系数；o为井水位某潮汐分波频率；rw=0.028m为揭露含 水层处井孔半径，或滤水管半径；rc= 0.0445 m为井水位波动范围处的井孔套管 半径。A和n对S不敏感，但是对T在一定取值区域内敏感。值（角度值，计算时要转化成弧度

7、值）是通过实际数据 它们的值及误差见如下数据。误差0.014问题：已知A和n反推S和T及其两者的误差，即求解二元非线性方程组 并由A和n的误差估计S和T的误差。振幅比A和相位差n 求算出来的，存在一定的误差，相位移n-6.485 0.201误差 振幅比A0.964629451-7.746 0.20.9730510110.014-8.702 0.180.9692011550.013-8.24 0.1920.9696823870.013-8.606 0.2080.9788257940.015-7.011 0.2190.9672762270.015-6.66 0.1580.9906159770.01

8、1-4.945 0.1440.9865255050.01-6.047 0.1580.9836381140.011-4.503 0.1530.9872473530.011-5.603 0.2150.9855630410.015-5.925 0.1610.9689605390.011-4.702 0.2060.9817131860.015-4.37 0.1860.98147257 0.013要求和给分标准:根据文献重述模型(10分)，女口：由于A和耳可以实验测得，为了便于计算机求解，将Hsieh模型进行等价变形,E2 F，其中1- CD rc2Kei( a )/(2 T),F d r c2Ker(

9、 a )/(2 T),F / E - -tana =rw( d S/ T)1/2其中rw=0.028 , 5= 0.0445m, d为井水位某潮汐分波频率;提出自己的求解非线性方程组算法(30分)，如：(1)这是一个非线性方程组求 根问题，可以用Newton-Raphson方法求解，求解算法如下： (2)这是一个 非线性方程组求根问题，可以用推广的多元二分法求解，求解算法如下：(3) 等等这是一个非线性方程组求根问题， 可以等价转化为求最小值问题，求解算法如下：。按照算法的求解S和T及其两者的误差。(40分)，注意：求非线性方程组的根 和估计根的误差需要提出两种算法和分别变成求出，建议用 MA

10、TLABS程。将问题引申：对如何保证算法的收敛性，如何估计误差，给出误差公式讨论？ 20分 30分。抄袭者零分；无算法者不及格；无程序和运行结果扣 20-30分；无算法优缺点讨论扣10分。提示：(1)由A和n的误差理论上导出S和T的误差界由高等数学下册P86-87隐函数存在定理求出S，T关于A, n的偏导数， 再利用P75公式(10)和(11)即可估计绝对和相对误差界。(2)用BootStrap方法估计误差界。用概率论与数理统计中 BootStrap方法估计误差界。(3)二者进行比较。参考文献：廖欣，刘春平等.响应是否满足不排水条件的检验J 地震学报，2011, 33(2):234-242.4

11、题：写字楼电梯系统的模拟系统城市繁华地区有一座12层的写字楼，在高峰时间7： 50-9 : 10,人们进入 一楼大厅并乘电梯到所在的楼层，有4部电梯为大楼服务，乘客到达大楼的时间 间隔在 0-30 秒内随机变化，达到后每个乘客第一部可乘的电梯（ 1-4 号），当某 人进入电梯后并选择达到楼层后，电梯在关门前等待 15 秒，如果另一个人在 15 秒内到达来，这种等待将重新开始，如果 15 秒内无人到达，电梯就把全体乘客 送上去。假定中途没有其他乘客要上电梯。 送完最后一个乘客后， 电梯回到大厅， 途中也不上客人。一部电梯的最大容量为 12 人，当一位乘客来到大厅，没有电梯可乘，就开 始大厅排队等

12、待。写字楼的管理者希望提高优质服务，但目前有些乘客抱怨在电梯回来之前， 他们在大厅等待的时间太长， 也有人抱怨他们在电梯呆的时间太长， 还有人说高 峰时间大厅太挤， 实际情况如何呢？首先对该写字楼电梯系统做理论分析， 然后 用计算机模拟电梯系统，回答下列问题， ：（ 1） 在一个典型的早上高峰时间，电梯实际上为多少乘客提供服务？（ 2） 如果一个人的等待时间是他在队伍中的时间，即从到达大厅到进入一 部可乘电梯的时间，问一个人在队中等待的平均时间和最长时间是多 少？（ 3） 最长的队长是多少？（这个问题的回答将向管理者提供大厅拥挤程度 的信息。）（ 4） 如果运送时间是一位乘客从到达大厅到他或她

13、到达要去的楼层的时 间，包括等电梯的时间平均运送时间和最长的运送时间是多少？（ 5） 一位乘客实际上呆在电梯中的平均时间和最长时间是多少？（ 6） 每部电梯停多少次？早高峰时间每部电梯实际上使用时间的百分比是 多少？5、送货路线设计问题现今社会网络越来越普及，网购已成为一种常见的消费方式，随之物流行业 也渐渐兴盛， 每个送货员需要以最快的速度及时将货物送达， 而且他们往往一人 送多个地方，请设计方案使其耗时最少。现有一快递公司，库房在图1中的0点，一送货员需将货物送至城市内多处， 请设计送货方案，使所用时间最少。该地形图的示意图见图 1，各点连通信息见 表 3，假定送货员只能沿这些连通线路行走

14、，而不能走其它任何路线。各件货物 的相关信息见表 1， 50 个位置点的坐标见表 2。假定送货员最大载重 50 公斤，所带货物最大体积 1 立方米。送货员的平均 速度为 24公里/ 小时。假定每件货物交接花费 3分钟，为简化起见， 同一地点有 多件货物也简单按照每件 3 分钟交接计算。现在送货员要将 100件货物送到 50个地点。请完成以下问题。1. 若将 1 30号货物送到指定地点并返回。 设计最快完成路线与方式。 给出结果。 要求标出送货线路。2假定该送货员从早上8点上班开始送货，要将130号货物的送达时间不能超 过指定时间，请设计最快完成路线与方式。要求标出送货线路。3.若不需要考虑所有

15、货物送达时间限制（包括前30件货物），现在要将100件货 物全部送到指定地点并返回。设计最快完成路线与方式。要求标出送货线路，给 出送完所有快件的时间。由于受重量和体积限制，送货员可中途返回取货。可不 考虑中午休息时间。以上各问尽可能给出模型与算法。图1快递公司送货地点示意图O点为快递公司地点，O点坐标（11000,8250）,单位：米表1各货物号信息表货物号送达地点重量（公斤）体积（立方米）不超过时间1132.500.03169： 002180.500.03549： 003311.180.02409: 304261.560.035012: 005212.150.030512: 006141.

16、720.010012: 007171.380.010912: 008231.400.042612: 009320.700.048112: 0010381.330.021910: 1511451.100.02879: 3012430.950.022810: 1513392.560.059512: 0014452.280.03019: 3015422.850.019010: 1516431.700.078210: 1517320.250.041212: 0018361.790.018412: 0019272.450.044512: 0020242.930.04209: 0021310.800.01

17、089: 3022272.250.001812: 0023261.570.021012: 0024342.800.01039: 3025401.140.01559: 3026450.680.03829: 3027491.350.014410: 1528320.520.002012: 0029232.910.048712: 0030161.200.042912: 003111.260.02503221.150.05013331.630.04833441.230.00063551.410.03873660.540.00673770.700.01293880.760.03463992.140.008

18、740101.070.012441111.370.051042122.390.042843130.990.004844141.660.049145150.450.020946162.040.009847171.950.032448182.120.055449193.870.026250202.010.032451211.380.041952220.390.000153231.660.050254241.240.053455252.410.001256261.260.005957270.420.022458281.720.058059291.340.037260300.060.040261310

19、.600.027462322.190.050363331.890.049464341.810.032565351.000.005566361.240.017767372.510.036168382.040.011069391.070.044070400.490.032971410.510.009472421.380.045573431.310.012174441.260.000575450.980.041376461.350.024177472.120.023078480.540.054279491.010.056680501.120.028481250.790.001182462.120.0

20、49283322.770.003484232.290.005485200.210.049086251.290.008887191.120.024988410.900.003889462.380.043490371.420.002091321.010.030092332.510.013393361.170.002094381.820.030895170.330.034596110.300.017297154.430.053698120.240.005699101.380.017510071.980.0493表2 50个位置点的坐标位置点X坐标（米）丫坐标（米）191855002144556037

21、270570437356705262099561008014357100252280871602525913845268010119353050117850354512658541851376305200141340553251521255975161536570451714165738518882580751958558165207808355211277085602222008835231476590552477909330254435952526108609635271038510500285659765292580986530156599553193951010032148351036

22、5331250109003472801106535153051137536123901141537641011510381391511610399510120504083451230041493013650421326514145431418014215443030150604510915142354623301450047773514550488851488049115751516050801015325表3 相互到达信息序号位置点1位置点21132183220424538634742851595210611171812711381214914159101610181710718111219

23、121320122521121522131823131924131125141826141627141728142129152230152531162332172333183134192435202236212637213638211739223040231741243142254143251944252945273146283347292248302849304150312651313452323553322354334655332856344057353858364559362760374061383662392763403464404565414466413767414668424369

24、424970433871444872445073455074454275464876474077484478495079494280504081O1882O2183O26数学建模选题（二）第一题：水灾评估问题给定某地区的水灾灾度标准分级的选取如下表:等级巨灾（I）大灾（U）中灾（川）小灾（W）农田受灾面积4 2/（ 10km） 20020010010050 2000200010001000500 1500150010001000500 1051055*1045*104104 104现有此地区某3年的受灾损失情况如下表:195919821994农田受灾面积/（ 10tm）20560149受灾人口 /（104 人）12351551726死亡人口/（人）164015180直接经济损失/ （104 元）12852973077493861、给出水灾灾害损失评估的具体模型2、 按模型给出给定年份的灾害损失的具体评估步骤和实施过程：（1）如何给定出评价因素的权重。（2）评价因素的评价程度如何定量描述（隶属函数如何确定）。（3）如何确定评价矩阵。3、 定出年分的灾害等级。第二题随着全国各高校招生规模的扩大，学生综合素质出现参差不齐的现象，为了 确保大学生质量，更好的促进大学生教育的发展，构建一套科学合理的大学生综 合素质评价体系已成为