用最小二乘法求线性回归方程讲解学习.docx

1、用最小二乘法求线性回归方程讲解学习最小二乘法主要用来求解两个具有线性相关关系的变量的回归方程，该方法适用于求 解与线性回归方程相关的问题，如求解回归直线方程，并应用其分析预报变量的取值 等破解此类问题的关键点如下：1析数据，分析相关数据，求得相关系数 r，或利用散点图判断两变量之间是 否存在线性相关关系，若呈非线性相关关系，则需要通过变量的变换转化构造 线性相关关系.2建模型根据题意确定两个变量，结合数据分析的结果建立回归模型.3求参数利用回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计公式，求出 b，a，的值.从而确定线性回归方程.4求估值将已知的解释变量的值代入线性回归方程 y=bx+a中，

2、即可求得y的预测值.注意:回归直线方程的求解与应用中要注意两个方面：一是求解回归直线方程 时，利用样本点的中心（x，y）必在回归直线上求解相关参数的值；二是回归 直线方程的应用，利用回归直线方程求出的数值应是一个估计值，不是真实 值.经典例题：下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线 图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为1,2.,17）建立模型:y=-30.4+13.5t ;根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型：y=99+17.5t .（

3、1） 分别利用这两个模型，求该地区 2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2） 你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.思路分析：（1）两个回归直线方程中无参数，所以分别求自变量为 2018时所对应的函数值，就得结果，（2）根据折线图知2000到2009，与2010至V 2016是两个有明显区别的直线，且 2010到2016的增幅明显高于2000至U 2009，也高于模型1的增幅，因此所以用模型2更能较好得到2018的预测.解析：（1）利用模型，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=0.4+13.5 X19=226.1 （亿元）.利用模型，该地区2018年的环境基础设施投

4、资额的预测值为=99+17.5 X9=256.5 （亿元）.（2）利用模型得到的预测值更可靠.理由如下：（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在 直线y= -30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性 模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势. 2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一 条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性 增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较 好地描述2010年以后的环境

5、基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得 到的预测值更可靠.(ii)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模 型得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的 增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值更可靠.以上给出了 2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.总结：若已知回归直线方程，则可以直接将数值代入求得特定要求下的预测 值；若回归直线方程有待定参数，则根据回归直线方程恒过中心点求参数 .题目某地区2007年至2013年农村居民家庭人旳纯收入单位tF元)的数据如下农辛年份2007200820092010201120122013年份代

6、 号F12| 34567人均纯 收入yN93 33.644.85.25,9(I )求y关于f的线性回归方程帘 (II)利用(I )中的回归方程,分析2007年至2013饪该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地X 2015年农村居民家庭人均纯收入.Pfh M归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为；nA工厲-加耳-丫)亠_ _8 二 ，ay-bl tl-L线性回归方程是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相 互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一，线性回归也是回归分析中第一种 经过严格研究并在实际应用中广泛使用的类型。按自变量个数可分为一元线性 回归分析方程和多元线

7、性回归分析方程。线性方程不难，公式会直接给出，有时会出现在选择题，这部分难度同样是在于计算，刚开始学这部分知识的时候 很多同学没有耐心计算，其实很简单的列个表格算就行了解法一(1 )由题意得二/=4t一 2.9十3.3 + 3.6 + 4.44 8 + 5.2 + 5.9 .,y = 二 437得：-0 = 28,却-如力=14；ft = 0.5 /* a-y-bt = 43-0.5x4= 23所求线性回归方程为：=0仓+ 23(II)由I )中的回归方程的斜率A=0,50可知，2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐 渐增加.令f = 9得:y 0.5x 9 + 23 6*8 *

8、预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6. 8 千元。某公司要推出一种新产品，分6个相等时长的时段进行试销，并对卖出的产品 进行跟踪以及收集顾客的评价情况(包括产品评价和服务评价)，在试销阶段共卖出了 480件，通过对所卖出产品的评价情况和销量情况进行统计，一方面 发现对该产品的好评率为5/6，对服务的好评率为0.75，对产品和服务两项都 没有好评有30件，另一方面发现销量和单价有一定的线性相关关系，具体数 据如下表：时段 134S6 1单价洗（元）80084086080P00销量丫（件）908483B07568（D肓鉛在犯错误的概率不超过6Q01的前提下，认为产品好评和服务好评有 关？

9、该产品的成本是 顶元件 预计在今后的销售中，销篁和单价仍然服从这 样的线性相关关系缶仓）,该公司如果扭获得最犬利润，此产品的定价应为 多少元？c参老公式；线性回归方程辜中系数计算公式分别为 口 C-bu： (a+b) (c+dj (a+c) Cb+d)苴中 ni+b+c+d) - - .（参考数据P (1?k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.&415.G2+6.6357.S7910.8280 0E ;=406600, E x.342000) n=l il-l解： 由题意可得产品好评和服务女子评的21列联表眾务好评服务没有好评总计产品好评

10、31090400产品段有好评503080总计360120480其中 1=310, b=90, c=50s. d=30, ad-l3c=4800,2代入 K 严、,得 K2=8 10.828”(a+b) (c+d) Ca+c) Cb+di二不能在犯错误的概率不超过0皿1的前提下，认为产品好评和J务好评有昊(2)设获得的刑润为诃元，根据计算可彳昇，匚=S5O, y=30，代入人回归方程得，2-0跻25Q-二w= ( - O2x+25O)U- 500)=- 0.2x2+350x- 125000.此函數图象为开向下，对称轴方程为X-S75.二当x=8巧时！ w(X)取的最大值.即该公司如果想获得最大利

11、润 3.841，且 P(K2 ko = 3.841) = 0.05,根据独立性检验思想“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过5%.答案 B_ _ 7 7解 t x = 8, y = 42,召xiyi= 2 794,召x?= 708.分儿一2 794-7X8X42-M = = =1因此 a= y bx = 42 - 1.7X 8 = 28.4.所以，y关于x的线性回归方程是y = 1.7x+ 28.4. t 0.750.97,对数回归模型更合适.当 x= 8 时，y= 12ln 8 + 22= 36ln 2+ 22= 36X 0.7+ 22 = 47.2 万元.广告费支出8万元时，预测A超市销售额为47.2万元.