完全平方公式的几何背景专题训练试题精选附答案.docx

1、完全平方公式的几何背景专题训练试题精选附答案完全平方公式的几何背景专题训练试题精选一选择题（共6小题）1（2010丹东）图是一个边长为（m+n）的正方形，小颖将图中的阴影部分拼成图的形状，由图和图能验证的式子是（）A（m+n）2（mn）2=4mnB（m+n）2（m2+n2）=2mnC（mn）2+2mn=m2+n2D（m+n）（mn）=m2n22利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2你根据图乙能得到的数学公式是（）A（a+b）（ab）=a2b2B（ab）2=a22ab+b2Ca（a+b）=a2+abDa（ab）=

2、a2ab3如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（）Aa2b2=（a+b）（ab）B（a+b）2=a2+2ab+b2C（ab）2=a22ab+b2Da（a+b）=a2+ab4如图（1），是一个长为2a宽为2b（ab）的矩形，用剪刀沿矩形的两条对角轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积是（）AabB（a+b）2C（ab）2Da2b25如图的图形面积由以下哪个公式表示（）Aa2b2=a（ab）+b（ab）B（ab）2=a22ab+b2C（a+b）2=a2+2ab+b2Da2b2=（a+b）（ab）6如果关于x的二次三项式x2mx+16是一个完全平方

3、式，那么m的值是（）A8或8B8C8D无法确定二填空题（共7小题）7（2014玄武区二模）如图，在一个矩形中，有两个面积分别为a2、b2（a0，b0）的正方形这个矩形的面积为_（用含a、b的代数式表示）8如图，边长为（m+2）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为2，则另一边长是_（用含m的代数式表示）9有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为_10如图1和图2，有多个长方形和正方形的卡片，图1是选取了2块不同的卡片

4、，拼成的一个图形，借助图中阴影部分面积的不同表示可以用来验证等式a（a+b）=a2+ab成立根据图2，利用面积的不同表示方法，写出一个代数恒等式_11如图，正方形广场的边长为a米，中央有一个正方形的水池，水池四周有一条宽度为的环形小路，那么水池的面积用含a、b的代数式可表示为_平方米12如图，请写出三个代数式（a+b）2、（ab）2、ab之间的等量关系是_13如图，长为a，宽为b的四个小长方形拼成一个大正方形，且大正方形的面积为64，中间小正方形的面积为16，则a=_，b=_三解答题（共10小题）14阅读学习：数学中有很多等式可以用图形的面积来表示如图1，它表示（m+2n）（m+n）=m2+3

5、mn+2n2，（1）观察图2，请你写出（a+b）2，（ab）2，ab之间的关系_（2）小明用8个一样大的长方形，（长为a，宽为b），拼成了如图甲乙两种图案，图案甲是一个正方形，图案甲中间留下了一个边长为2的正方形；图形乙是一个长方形a24ab+4b2=_ ab=_15【学习回顾】我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，说明如下：如图1，正方形ABCD的面积=正方形EBNH的面积+（长方形AEHM的面积+长方形HNCF的面积）+正方形MHFD的面积即：（a+b）2=a2+2ab+b2【思考问题】还有一些等式也可以用上述方式加以说明，请你尝试完成如图2，长方形ABNM的面积=长方

6、形EBCF的面积+长方形AEFD的面积长方形HNCF的面积_的面积，即：（2ab）（a+b）=_【尝试实践】计算（2a+b）（a+b）=_仿照上述方法，画图并说明16阅读下列文字，我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式_；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片若干个长为a和宽为b的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几

7、何图形，使得计算它的面积能得到数学公式：2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）17如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形（1）图2的空白部分的边长是多少（用含ab的式子表示）（2）若2a+b=7，且ab=3，求图2中的空白正方形的面积（3）观察图2，用等式表示出（2ab）2，ab和（2a+b）2的数量关系18动手操作：如图是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形，然后按照图所示拼成一个正方形提出问题：（1）观察图，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积；（2）请写出三个代数式（a+b）2，

8、（ab）2，ab之间的一个等量关系问题解决：根据上述（2）中得到的等量关系，解决下列问题：已知：x+y=6，xy=3求：（xy）2的值19图是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方形（1）将图中所得的四块长为a，宽为b的小长方形拼成一个正方形（如图）请利用图中阴影部分面积的不同表示方法，直接写出代数式（a+b）2、（ab）2、ab之间的等量关系是_；（2）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知m+n=8，mn=7，则mn=_；（3）将如图所得的四块长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在长方形ABCD的内部（如图），未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示若左下角与右

9、上角的阴影部分的周长之差为4，且小长方形的周长为8，则每一个小长方形的面积为_20把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积（1）如图1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么结论，请写出来（2）如图2，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，你能求出阴影部分的面积吗21阅读材料并填空：我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式

10、样也可以用这种形式表示，如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用图（1），或图（2）等图形的面积表示请你写出图（3）所表示的代数恒等式_请你写出图（4）所表示的代数恒等式_22图1是一个长为2x、宽为2y的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四个完全相同的小长方形，然后按图2所示拼成一个正方形（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于_ （2）试用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积方法1：_；方法2：_（3）根据图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗代数式：（x+y）2，（xy）2，4xy_（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若x+y=4，xy=3，则（xy）2=

11、_23已知图甲是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四小块长方形，然后按图乙的形状拼成一个正方形（1）你认为图乙中阴影部分的正方形的边长等于多少_（2）请用两种不同的方法求图乙中阴影部分的面积方法一：_；方法二：_（3）观察图乙，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗（m+n）2；（mn）2； mm（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=8，ab=5，求（ab）2的值完全平方公式的几何背景专题训练试题精选参考答案与试题解析一选择题（共6小题）1（2010丹东）图是一个边长为（m+n）的正方形，小颖将图中的阴影部分拼成图的形状，由图和图能验证的式子是（）A（m

12、+n）2（mn）2=4mnB（m+n）2（m2+n2）=2mnC（mn）2+2mn=m2+n2D（m+n）（mn）=m2n2考点：完全平方公式的几何背景专题：计算题；压轴题分析：根据图示可知，阴影部分的面积是边长为m+n的正方形减去中间白色的正方形的面积m2+n2，即为对角线分别是2m，2n的菱形的面积据此即可解答解答：解：（m+n）2（m2+n2）=2mn故选B点评：本题是利用几何图形的面积来验证（m+n）2（m2+n2）=2mn，解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式2利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab

13、+b2你根据图乙能得到的数学公式是（）A（a+b）（ab）=a2b2B（ab）2=a22ab+b2Ca（a+b）=a2+abDa（ab）=a2ab考点：完全平方公式的几何背景分析：根据图形，左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积，然后加上多减去的右下角的小正方形的面积解答：解：大正方形的面积=（ab）2，还可以表示为a22ab+b2，（ab）2=a22ab+b2故选B点评：正确列出正方形面积的两种表示是得出公式的关键，也考查了对完全平方公式的理解能力3如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（）Aa2b2=（a+b）（ab）B（a+b）2=a2+2ab+b2C（ab）2=a22a

14、b+b2Da（a+b）=a2+ab考点：完全平方公式的几何背景分析：根据图形得出阴影部分的面积是（ab）2和b2，剩余的矩形面积是（ab）b和（ab）b，即大阴影部分的面积是（ab）2，即可得出选项解答：解：从图中可知：阴影部分的面积是（ab）2和b2，剩余的矩形面积是（ab）b和（ab）b，即大阴影部分的面积是（ab）2，（ab）2=a22ab+b2，故选C点评：本题考查了完全平方公式的应用，主要考查学生的阅读能力和转化能力，题目比较好，有一定的难度4如图（1），是一个长为2a宽为2b（ab）的矩形，用剪刀沿矩形的两条对角轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则

15、中间空白部分的面积是（）AabB（a+b）2C（ab）2Da2b2考点：完全平方公式的几何背景分析：先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积矩形的面积即可得出答案解答：解：由题意可得，正方形的边长为（a+b），故正方形的面积为（a+b）2，又原矩形的面积为4ab，中间空的部分的面积=（a+b）24ab=（ab）2故选C点评：此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键，难度一般5如图的图形面积由以下哪个公式表示（）Aa2b2=a（ab）+b（ab）B（ab）2=a22ab+b2C（a+b）2=a2+2ab+b2Da2b2=（a+b）（ab）考

16、点：完全平方公式的几何背景分析：通过图中几个图形的面积的关系来进行推导解答：解：根据图形可得出：大正方形面积为：（a+b）2，大正方形面积=4个小图形的面积和=a2+b2+ab+ab，可以得到公式：（a+b）2=a2+2ab+b2故选：C点评：本题考查了完全平方公式的推导过程，运用图形的面积表示是解题的关键6如果关于x的二次三项式x2mx+16是一个完全平方式，那么m的值是（）A8或8B8C8D无法确定考点：完全平方公式的几何背景分析：根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项列式求解即可解答：解：x2mx+16是一个完全平方式，mx=24x，解得m=8故选A点评：本题是完全平方公式的考查，

17、两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式注意积的2倍的符号，避免漏解二填空题（共7小题）7（2014玄武区二模）如图，在一个矩形中，有两个面积分别为a2、b2（a0，b0）的正方形这个矩形的面积为（a+b）2（用含a、b的代数式表示）考点：完全平方公式的几何背景分析：求出大正方形的边长为a+b，再利用正方形的面积公式求解解答：解；两个小矩形的长为a，宽为b，正方形的边长为：a+b它的面积为：（a+b）2故答案为：（a+b）2点评：本题主要考查完全平方公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键8如图，边长为（m+2）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩

18、余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为2，则另一边长是2m+2（用含m的代数式表示）考点：完全平方公式的几何背景专题：几何图形问题分析：由于边长为（m+2）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为2，利用矩形的面积公式即可求出另一边长解答：解：依题意得剩余部分为（m+2）2m2=m2+4m+4m2=4m+4，而拼成的矩形一边长为2，另一边长是（4m+4）2=2m+2故答案为：2m+2点评：本题主要考查了多项式除以单项式，解题关键是熟悉除法法则9有两个正方形A，B，现

19、将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为13考点：完全平方公式的几何背景分析：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图形得出关系式求解即可解答：解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图甲得a2b22（ab）=1即a2+b22ab=1，由图乙得（a+b）2a2b2=12，2ab=12，所以a2+b2=13，故答案为：13点评：本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系10如图1和图2，有多个长方形和正方形的卡片，图1是选取了2块不同的卡片，拼成的一个图形，借助图

20、中阴影部分面积的不同表示可以用来验证等式a（a+b）=a2+ab成立根据图2，利用面积的不同表示方法，写出一个代数恒等式（a+b）（a+2b）=a2+2b2+3ab考点：完全平方公式的几何背景专题：计算题分析：表示阴影部分的面积有两种方法：大长方形的面积=（a+b）（a+2b），3个正方形的面积加上3个矩形的面积a2+ab+ab+ab+b2+b2，推出即可解答：解：由图2可知：阴影部分的面积是：（a+b）（a+2b），a2+ab+ab+ab+b2+b2=a2+2b2+3ab，（a+b）（a+2b）=a2+2b2+3ab，故答案为：（a+b）（a+2b）=a2+2b2+3ab点评：本题考查了完全

21、平方公式的几何背景的应用，关键是检查学生能否正确表示图形中阴影部分的面积，题目具有一定的代表性，考查了学生的理解能力、观察图形的能力等11如图，正方形广场的边长为a米，中央有一个正方形的水池，水池四周有一条宽度为的环形小路，那么水池的面积用含a、b的代数式可表示为a24ab+4b2或（a2b）2平方米考点：完全平方公式的几何背景专题：几何图形问题分析：根据图示计算出中央正方形的水池的边长，然后根据正方形的面积公式来计算水池的面积解答：解：水池的边长是：a2b，所以，正方形水池的面积是（a2b）（a2b）=a24ab+4b2或（a2b）（a2b）=（a2b）2故答案是：a24ab+4b2或（a2

22、b）2点评：本题考查对完全平方公式几何意义的理解解题时，主要围绕图形面积展开分析12如图，请写出三个代数式（a+b）2、（ab）2、ab之间的等量关系是a+b）2=（ab）2+4ab考点：完全平方公式的几何背景分析：通过观察图形知：（a+b）2，（ab）2，ab分别表示的是大正方形、空白部分的正方形及小长方形的面积解答：解：由图可以看出，大正方形面积=阴影部分的正方形的面积+四个小长方形的面积，即：（a+b）2=（ab）2+4ab，故答案为：（a+b）2=（ab）2+4ab点评：此题考查了学生观察、分析图形解答问题的综合能力，关键是通过观察图形找出各图形之间的关系13如图，长为a，宽为b的四个

23、小长方形拼成一个大正方形，且大正方形的面积为64，中间小正方形的面积为16，则a=6，b=2考点：完全平方公式的几何背景分析：先求出大正方形的边长为：a+b，小正方形的边长为：ab，再列出方程组求解解答：解：大正方形的边长为：a+b，小正方形的边长为：ab即：解得故答案为：6，2点评：本题的关键是求出大正方形的边长和小正方形的边长列出方程组三解答题（共10小题）14阅读学习：数学中有很多等式可以用图形的面积来表示如图1，它表示（m+2n）（m+n）=m2+3mn+2n2，（1）观察图2，请你写出（a+b）2，（ab）2，ab之间的关系（a+b）2（ab）2=4ab（2）小明用8个一样大的长方形

24、，（长为a，宽为b），拼成了如图甲乙两种图案，图案甲是一个正方形，图案甲中间留下了一个边长为2的正方形；图形乙是一个长方形a24ab+4b2=4 ab=60考点：完全平方公式的几何背景专题：数形结合分析：根据图形的面积公式来进行分析即可得到解答：解：（1）（a+b）2（ab）2=4ab；（2）4 ab=60点评：该题目考查了利用图形的面积来得到数学公式，关键是灵活进行数学结合来分析15【学习回顾】我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，说明如下：如图1，正方形ABCD的面积=正方形EBNH的面积+（长方形AEHM的面积+长方形HNCF的面积）+正方形MHFD的面积即：（a+b

25、）2=a2+2ab+b2【思考问题】还有一些等式也可以用上述方式加以说明，请你尝试完成如图2，长方形ABNM的面积=长方形EBCF的面积+长方形AEFD的面积长方形HNCF的面积正方形MHFD的面积，即：（2ab）（a+b）=2a2abb2【尝试实践】计算（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2仿照上述方法，画图并说明考点：完全平方公式的几何背景分析：（1）利用长方形ABNM的面积=长方形EBCF的面积+长方形AEFD的面积长方形HNCF的面积正方形MHFD的面积计算（2）利用长方形ABCD的面积=正方形GBHF的面积+正方形FHQN的面积+长方形AGFE的面积+长方形EFNM的面积+长方

26、形NQCO的面积+正方形MNOD的面积计算解答：解：（1）长方形ABNM的面积=长方形EBCF的面积+长方形AEFD的面积长方形HNCF的面积正方形MHFD的面积，即：（2ab）（a+b）=2a2abb2故答案为：正方形MHFD，2a2abb2（2）（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2如图，故答案为：2a2abb2点评：本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是通过几何图形之间的数量关系对公式做出几何解释16阅读下列文字，我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片若干个长为a和宽为b的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数