1、最新乘法原理与加法原理教案第十一讲 乘法原理与加法原理知识提要理解和初步掌握:加法原理、乘法原理、排列和组合的概念及计算方法。加法原理:N= m1m2mn。乘法原理: N= m1m2mn。经典例题例1 小刚从家到学校要经过一座桥,从家到桥时有3条路可以走,过了桥再到学校时有4条路可以走(如下图)。小刚从家到学校一共可以有多少种不同的走法?分析与解:把从小刚家到学校的路分为两步。第一步从家到桥,第二步从桥到学校。这两步中每一步都不能单独走完从家到学校的路,只有两步合在一起,才能完成。从图中看出从家到学校共有12种不同的走法:AD AE AF AG BD BE BF BG CD CE CF CG根
2、据此题,得出如下结论:乘法原理 要完成一项任务,由几个步骤实现,第一步有m1种不同的方法;第二步有m2种不同的方法;第n步有mn种不同的方法;那么要完成任务共有:N= m1m2mn。例2 有四张数字卡片, 用这四张数字卡片组成三位数,可以组成多少个?分析与解:用卡片组成三位数要分成三步,第一步选取百位上的数字,可以有4种选择;第二步选取十位上的数字,可以有3种选择;第三步选取个位上的数字,可以有2种选择。所以可以组成不同的三位数共有:432=24(个)例3:由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的四位奇数? 分析与解:要求奇数,所以个位数字只能取1、3、5中的一个,有3种取法;
3、十位数字可以从余下的五个数字中任取一个,有5种不同取法;百位数字还有4种取法;千位数字只有3种取法。由乘法原理,共可组成: 3543180(个)没有重复数字的四位奇数。例4:下图为44的棋盘,要把A、B、C、D四个不同的棋子放在棋盘的方格中,并使每行每列只能出现一个棋子。问:共有多少种不同的放法? 分析与解:四个棋子要一个一个地放,故可看做分四步完成任务,第一步放棋子A,A可以放在16个方格中的任意一个中,故有16种不同方法;第二步放棋子B,放A棋子的一行和一列都不能放B,还剩下9个方格可以放B,所以B有9种方法;第三步放C,再去掉放B的行和列,还有4个方格可以放C,故C有4种放法;最后放D,
4、再去掉C所在的行和列,只剩下一个方格放D了,D只有一种方法,由乘法原理,共有 16941576(种)不同放法。 在解题时应注意加法原理和乘法原理的区别,往往是要综合使用的。例5 从北京到郑州可以坐飞机,乘火车,还可以乘汽车。一天中有飞机2班,火车有3趟,汽车有5趟。同一天中从北京到郑州乘坐以上三种交通工具,共有几种不同的走法?分析与解:三种交通工具中的任何一种都可以到达目的地,那么每类交通工具中有几中不同的方法。(飞机2班,火车3趟,汽车5趟)因此,要到达目的地应有235=10不同的方法。根据此题,得出如下结论:加法原理 要完成一种任务有几类办法,在第一类办法中有m1中不同方法;在第二类办法中
5、有m2中不同方法;在第n类办法中有mn中不同方法。在这些不同的方法中,每一种方法都能独立完成任务,那么完成这一任务共有:N= m1m2mn。例6:如图:从甲地到乙地有4条路可走,从乙地到丙地有2条路可走,从甲地到丙地有3条路可走。那么,从甲地到丙地共有多少种不同走法? 解:从甲地到丙地共有两类不同走法。 第一类:由甲地途径乙地到丙地。这时要分二步走。第一步,从甲地到乙地有4种走法;第二步从乙地到丙地有2种走法。据乘法原理,从甲地经乙地到丙地共有: 428种不同走法。 第二类:从甲地直接到丙地,有3种走法。由加法原理,从甲地到丙地若有 8311 种不同的走法。例7:有两个相同的正方体,每个正方体
6、的六个面上标有数字1、2、3、4、5、6,将两个正方体任意放到桌面上,向上一面的两个数字之和为偶数的有多少种情形? 解:两个数字之和为偶数,这两个数字的奇偶性必相同,所以分两大类。 第一类:两个数字同奇,第一个正方体有3种可能,第二个正方体也有3种可能,由乘法原理,共有339种不同的情形。 第二类:是两个数字同偶。也有9种不同的情况。 据加法原理:两个正方体向上一面数字之和为偶数。共有: 9918种不同的情况。基本训练1.某校六一班有35人,六二班有40人,六三班有37人。从中选1人去人民大会堂开会,有多少种选法? 2.某校六一班第一小队有12人,第二小队有11人,第三小队有13人。从每个小队
7、中各选1人去人民大会堂开会,有多少种选法? 3. 某人在小学、初中、高中时分别有两个学校可以选择,那么他共有几种不同的由小学读完高中的不同选择方式?4如图所示,三条平行线上分别有两个点、四个点、三个点,且不在同一直线上的三个点一定不共线,在每条直线上各取一点可以画一个三角形,如三角形BEH,问可以画多少个不同的三角形?5. 由数字1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个(1)三位数?(2)三位偶数?(3)没有重复数字的三位偶数?(4)百位有8的没有重复数字的三位数?(5)百位为8的没有重复数字的三位偶数?拓展提高 1某个地区的电话号码是八位数,如果首位不是0,其余各位上可以是09这十个数字
8、中的任意一个,不同数位上的数字可以重复,那么,这个地区可以有多少个电话号码?2两位数中个位数字加十位数字的和是双数,这样的两位数一共有多少个?3某公司买了8辆汽车,这8辆汽车的钥匙混装在一个纸袋里,要想把每辆汽车的钥匙挑出来,最多要试多少次?奥赛训练1 超市的一个货架上摆放着10种不同的蔬菜,另一个货架上摆放着8种不同的水果。如果妈妈从这两个货架中至少选购一种,最多选购两种,一共有多少种不同的选购方法?2 从130这三十个自然数中,选出两个数,使它们的和大于30,一共有多少中不同的选法?3自然数11000中,“0”这个数字一共出现了多少次? 第十二讲 简单的排列与组合知识提要1、理解和初步掌握
9、:加法原理、乘法原理、排列和组合的概念及计算方法。加法原理:N= m1m2mn。乘法原理: N= m1m2mn。排列:= n(n-1)(n-2)(n-m+1)(mn)组合:=2、能够应用加法原理、乘法原理、排列和组合的概念及计算方法解决一些简单的实际问题。经典例题例1 有四张数字卡片, 用这四张数字卡片组成三位数,可以组成多少个?分析与解:用卡片组成三位数要分成三步,第一步选取百位上的数字,可以有4种选择;第二步选取十位上的数字,可以有3种选择;第三步选取个位上的数字,可以有2种选择。所以可以组成不同的三位数共有:432=24(个)排列的公式: = n(n-1)(n-2)(n-m+1)(mn)
10、例如用5、6、7、8、9组成没有重复数字的四位数,可以组成多少个? = n(n-1)(n-2)(n-m+1)(mn)=5(51)(52)(54+1)= 5432=120例2有红、黄、粉、紫和蓝色的花各有很多支,现在用三种颜色的花各一支扎成一束,可以扎成多少不同的束?分析与解:从n个不同元素中,任意取出m个元素(mn),组成一组,叫做从n个不同元素取m个元素的一个组合,所组合的个数,叫做组合数。用符号表示。组合的公式:=排列与组合的区别:排列与元素的顺序有关: 例如从7个人中选出正副组长,两个人有正、副之分。组合与元素的顺序无关:例如从7个人中选出两个人去开会,没有正、副之分。因为所扎成的每一束
11、花,与颜色的排列顺序无关,所以是组合问题。=(543)(321)= 606= 10 答:一共可以扎成10种不同的花束。例3 从甲地到乙地的铁路沿线连同甲、乙两站共有10个车站,那么,火车票应有多少种不同票价?分析与解: 因为从A到B和从B到A火车的票价是相同的,所以是组合问题。 =(109)(21) = 902 = 45答:火车票应有45种不同票价。例4 平面上共有7个点(没有3个点在同一条直线上),通过这些点可以画出多少个三角形或四边形?分析与解:通过这些点画三角形和四边形时,这些点没有顺序关系,所以先根据组合公式分别求出三角形和四边形的个数,再根据加法原理把两种的个数相加。+= (765)
12、(321) + (7654)(4321)= 35+35= 70 答: 可以画出70个三角形或四边形。例5 如图。共有多少个平行四边形?分析与解: 根据数长方形个数的方法,“长边”上8个点中选两个点的组合乘以宽边上6个点中两个点的组合。= (87)(21)(65)(21)=2815=420答:共有420个平行四边形。基本训练1.一次乒乓球比赛,最后有6名选手进入决赛,如果赛前写出冠、亚军名单,可以写出多少种?2.在一张纸上有9个点,没有三个点在一条直线上。通过这些点一共可以画出多少条线段?3.第三小队共有队员12人,要选出正、副小队长各一人,选出的结果可以有多少种不同的情况? 4.六一班有40名
13、同学,现在要选派2名同学参加国庆活动,共有多少种不同的选法? 5.小红有4件不同花色的衬衫,有3条不同样式的裙子,如果用一件衬衫和一条裙子搭配成一套,一共可以搭配成多少套?6.学校食堂今天中午的主食有:米饭、馒头、花卷和烙饼,炒菜有:炒芹菜、炒肉片、炒三丁、炒豆角和红烧肉。张老师要买一种主食和一种炒菜作为中午饭,张老师可以有多少种不同的买法?拓展提高 1. 用0、1、2、3、4、5、6写出没有重复数字的四位数,可以写出多少个? 2.用0、1、2、3、4写出没有重复数字的两位数、三位数和四位数,一共可以写出多少个?3. 六一班的图书角现在有6本科技书,有8本故事书,有3本词典,小刚想借其中的一本
14、,一共可以有多少种不同的借法? 4.有6名学生和班主任老师照相留念,分成两排,前排3人,后排4人,班主任要站在前排中间。他们一共有多少种不同的排法? 5.有7名学生毕业前照相留念,分成两排,前排3人,后排4人,张刚说:“我不站在后排的边上。”。他们一共有多少种不同的排法?6.有1克、2克、4克、8克、16克的砝码各一个,只选用其中的两个砝码,在天平上能称出多少种不同重量的物体?奥赛训练1.一张纸上共画有10个点,其中有3个点在一条直线上,以这些点为三角形的顶点,一共可以画出多少个三角形? 2.有1分、2分、5分、1角、5角和1元的硬币各一枚,共可以组成多少种不同币值?第十三讲 巧求面积知识提要
15、1、掌握正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形这些直线形图形的特征:2、理解和掌握正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形面积公式的推导过程: 正方形面积=边长边长=a2, 长方形面积=长宽=ab, 平行四边形面积=底高=ah, 三角形面积=底高2=梯形面积=(上底下底)高2=经典例题例1算出下面每个图形中阴影部分的面积.(已知大正方形边长10厘米,小正方形边长6厘米) 分析与解:(610)62 662 (106)102=48(平方厘米) =18(平方厘米) =80(平方厘米) 例2 小两个正方形组成下图所示的组合图形。已知大正方形的边长10厘米,小正方形的边长6厘米,求阴影部分的面积。分析
16、与解:方法1:两个正方形的面积之和减去三角形ABD与三角形BEF的面积,就得到阴影部分的面积。102+62(10102)(10+6)62=38(平方厘米)。方法2:添加辅助线GB,三角形BDG与三角形GBF的面积之和就等于阴影部分的面积。 (10-6)102662=38(厘米2) 答:阴影部分的面积是38平方厘米。例3 用四种不同的方法,把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形分析与解: 方法1:如下图1,先将BC四等分,即BD=DE=EF=EC,连结AD、AE、AF得到四个等积三角形,即ABD、ADE、AEF、AFC。 方法2:如下图2,先将BC二等分,分点D、连结AD,得到两个等积三角形,
17、即ABD与ADC等积然后取AC、AB中点E、F,并连结DE、DF以而得到四个等积三角形,即ADF、BDF、DCE、ADE等积方法3:如下图3,先将BC四等分,即BD等于四分之一BC,连结AD,再将AD三等分,即AE=EF=FD,连结CE、CF,从而得到四个等积三角形,即ABD、CDF、CEF、ACE等积图1 图2 图3想一想:你还有其他方法吗?从上面例题得到下面结论:等底等高的两个三角形面积相等底在同一条直线上并且相等,该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上,这两个三角形面积相等若两个三角形的高(或底)相等,其中一个三角形的底(或高)是另一个三角形的几倍,那么这个三角形的面积也是另一
18、个三角形面积的几倍例4 如右图,在梯形ABCD中,AC与BD是对角线,其交点O,求证:AOB与COD面积相等分析与解:证明:ABC与DBC等底等高,SABC=SDBC又 SAOB=SABCSBOC SDOC=SDBCSBOCSAOB=SCOD 等量减等量所得的差相等。例5一个三角形的底长5米,如果底延长1米,那么面积就增加1.5平方米,(如图),那么原来三角形的面积是多少平方米?分析与解:方法1:已知阴影三角形的面积和底,根据三角形面积公式就能求出三角形的高,也就是原三角形的高,又知道原三角形的底,从而求出原三角形的面积。1521=3(米) 532=7.5(平方米) 答:原来三角形的面积是7.
19、5平方米。方法2:已知原三角形的底是阴影三角形的底的5倍,所以原三角形的面积就是阴影三角形面积的5倍。 155=7.5(平方米)例6如右图,已知在ABC中,BE=3AE,CD=2AD若ADE的面积为1平方厘米求三角形ABC的面积分析与解:方法1:连结BD,在ABD中 BE=3AE, SABD=4SADE=4(平方厘米)在ABC中,CD=2AD, SABC=3SABD=34=12(平方厘米)方法2:连结CE,如右图所示,在ACE中, CD=2AD, SACE=3SADE=3(平方厘米)在ABC中,BE=3AE SABC=4SACE =43=12(平方厘米)例7 如右图,ABCD为平行四边形,EF
20、平行AC,如果ADE的面积为4平方厘米求三角形CDF的面积分析与解:解:连结AF、CE,SADE=SACE;SCDF=SACF;又AC与EF平行,SACE=SACF; SADE=SCDF=4(平方厘米)例8 如右图,在平行四边形ABCD中,直线CF交AB于E,交DA延长线于F,若SADE=1,求BEF的面积分析与解:解:连结AC,AB/CD,SADE=SACE又AD/BC,SACF=SABF而 SACF=SACE+SAEF,SABF=SBEF+SAEF SACE=SBEF SBEF=SADE=1基本训练1选择题(有且只有一个正确答案):(1)如下左图,在ABC中,D是BC中点,E是AD中点,连
21、结BE、CE,那么与ABE等积的三角形一共有_个 (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 (2)如上右图,在平行四边形ABCD中,EF平行AC,连结BE、AE、CF、BF那么与BEC等积的三角形一共有_个(A)0个 (B)1个(C)2个 (D)3个(3)如下左图,在梯形ABCD中,共有八个三角形,其中面积相等的三角形共有_对(A)0对 (B)1对(C)2对 (D)3对(4)如上右图,是一个长方形花坛,阴影部分是草地,空地是四块同样的菱形,那么草地与空地面积之比是_(A)11 (B)11.1(C)11.2 (D)11.42填空题:(1)如下左图,A、B两点是长方形长和宽的中点,那么阴影部
22、分面积占长方形面积的_(2)如上右图,平行四边形ABCD的面积是40平方厘米,图中阴影部分的面积是_(3)如下左图,正方形ABCD的面积为1平方厘米,SBEGSCEG=21,SCFGSDFG=11,那么这四个小三角形面积之和_(4)如上右图,在ABC中,EF平行BC,AB=3AE,那么三角形甲、乙、丙面积的连比是_拓展提高1.如图1,在边长为6厘米的正方形内有一个三角形BEF,已知线段AE=3厘米,DF=2厘米,求阴影部分的面积是多少? 2.左下图是一块长方形草地,长方形的长是160米,宽是102米。中间有两条道路,一条是长方形,一条是平行四边形,那么有草部分的面积等于多少平方米?3.如图,梯
23、形的下底为8厘米,高为4厘米。阴影部分面积是多少平方厘米?4.如图,四边形ABCD是长方形,A、D、E、F在同一条直线上。AB7,BC5,DG3。求DE的长。5.如图,正方形ABCD与长方形AEFG重叠放在一起,已知AB=4厘米,BE=3厘米,AE=5厘米。请你计算出长方形AEFG的面积。 6.如图,三角形ABC的面积是144平方厘米,BD18厘米,DC6厘米,AE10厘米,EC5厘米。求三角形ADE的面积。奥赛训练1.如右图,把四边形ABCD改成一个等积的三角形。 第十四讲 用等量代换求面积知识提要一个量可以用它的等量来代替;被减数和减数都增加(或减少)同一个数,它们的差不变。前者是等量公理
24、,后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用,它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积,或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差,从而使隐蔽的关系明朗化,找到解题思路。经典例题例1两个相同的直角三角形如下图所示(单位:厘米)重叠在一起,求阴影部分的面积。分析与解:阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形,然而它的上底与下底都不知道,因而不能直接求出它的面积。因为三角形ABC与三角形DEF完全相同,都减去三角形DOC后,根据差不变性质,差应相等,即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等,所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。直角梯形OEFC的下底和高已知,所以求
25、出上底即可。上底OC:10-3=7(厘米),面积:(7+10)22=17(平方厘米)。 答:阴影部分的面积是17平方厘米。例2在右图中,平行四边形ABCD的边BC长10厘米,直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2,求平行四边形ABCD的面积。分析与解:因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2,都加上梯形FGCB后,根据差不变性质,所得的两个新图形的面积差不变,即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2,所以平行四边形ABCD的面积等于:1082+10=50(平方厘米)。答: 平行四边形ABCD的面积是50平方厘米。例3在下图
26、中,AB=8厘米,CD=4厘米,BC=6厘米,三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。求ED的长。分析与解: 求ED的长,需求出EC的长;求EC的长,需求出直角三角形ECB的面积。因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2,这两个三角形都加上四边形FDCB后,其差不变,所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。也就是说,只要求出梯形ABCD的面积,就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长,从而求出ED的长。梯形ABCD面积:(8+4)62=36(厘米2) 三角形ECB面积:36-18=18(厘米2) EC:1826=6(厘米) ED:6-4=2(厘米) 答:ED长2厘米。例
27、4如下图,ABCD是74的长方形,DEFG是102的长方形,求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。分析与解:直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差,不太容易做到。如果利用差不变性质,将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差,而这两个图形的面积之差容易求出,那么问题就解决了。方法1:连结B,E(见下左图)。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO,则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。SBEC:4(107)2=6SBEF:2(107)2=3 差:63=3 图1 图2 图3 图4 方法2:连结C,F(见上右图)。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO,则原来
28、的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。SBCF:4(107)2=6 SECF:2(107)2=3 差:63=3方法3:延长BC交GF于H(见左下图)。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形COFH,则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。SBHF:(4+2)(107)2=9矩形:2(107)=6 差:96=3方法4:延长AB,FE交于H(见上右图)。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形BHEO,则原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差。 矩形:4(107)=12SBHF:(107)(4+2)2=9 差:129=3例6左下图是由大、小两个正方形组成的,小正方形的边长是4厘米,求三角形ABC的面积。分析与解:这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件,实际上本题的结果与大正方形的边长没关系。连结AD(见上右图),可以看出,三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长,高都等于大正方形的边长,所以面积相等。因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分,所以去掉这个公共部分,根据差不变性质,剩下的两个部分,即三角形ABF与三角形FCD面积仍然相等。根据等量代换,求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积。442=8(厘米2)答:三角形ABC的面积是8平方厘米。基本训练
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