第五章杆系结构的有限元法.docx

1、第五章杆系结构的有限元法第五章 杆系结构的有限元法5.1引言 杆系结构是工程中应用较为广泛的结构体系，包括平面或空间形式的梁、桁架、刚架、拱等。其 组成形式虽然复杂多样， 但用计算机进行分析时却较为简单。 杆系结构中的每个杆件都是一个明显的 单元。杆件的两个端点自然形成有限元法的节点，杆件与杆件之间则用节点相连接。显然，只要建立 起杆件两端位移与杆端力之间的关系，则整体平衡方程的建立与前几章完全相同。杆端位移与杆端力之间的关系，可用多种方法建立，包括前面几章一直采用的虚功原理，但是采 用材料力学、结构力学的某些结论，不仅物理概念清晰、直观，而且推导过程简单明了。因此，本章 将采用这种方法进行单

2、元分析。至于整体平衡方程的建立，则和前面几章所讲的方法一样，即借助于 单位定位向量，利用单元集成法进行。5.2平面桁架的有限元分析 平面桁架在计算上有以下几个特点：1 杆件的每个节点仅有两个线位移；2 杆件之间的连接为理想铰，即在节点处各杆件可相对自由转动，且杆件轴线交于一点。3 外载荷均为作用于节点的集中力。 由于以上特点，所以在理论上各杆件只产生轴向拉、压力，截面应力分布均匀，材料可得到充分 利用，因此桁架结构往往用于大跨结构。5.2.1局部坐标系下的单元刚度矩阵 从平面桁架中任取一根杆件作为单元，称作桁架单元，单元长为 L，横截面面积为 A ，图 5.1。两端节点分别用 i 和 j 表示

3、，规定从 i 到 j 的连线方向为局部坐标 x 轴，垂直于 x 的方向为 y 轴。图 5.1由于桁架中各杆只产生轴向力和轴向变形， 所以节点 i 和 j 只发生沿 x方向的位移， 用 ui 和uj 表示，相应的杆端轴力分别用 Fxi 和 Fxj 表示。由虎克定律可推得将这两个式子写成矩阵形式，就是Fyi Fyj 0 。因此，可以把( 5.1)扩大为下面的四阶的形式称作桁架的单元刚度矩阵，式 (5.2)或式 (5.3)就是桁架的单元刚度方程，它反映了单元杆端力与杆 端位移之间的关系。5.2.2整体坐标系下的单元刚度矩阵在一个复杂的结构中，各个杆件的杆轴方向不尽相同，因而各自的局部坐标系也不尽相同

4、。为了 建立结构的整体平衡方程，必须选用一个统一的公共坐标系，称为整体坐标系，用 x,y 表示。首先分析单元杆端力在不同坐标系中的关系。 图 5.2 所示任一单元 e，其局部坐标系为 0xy ，整ee体坐标系为 oxy，由 x 轴到 x轴的夹角 以顺时针转向为正。 局部坐标系中的杆端力用 Fx 、Fy 表 示。整体坐标系中的杆端力则用 Fxe、 Fye表示，如图 5.2 所示，显然。二者有下列关系。图 5.2将式 (5.7)写成矩阵：式简写为式中 T 称为单元坐标转换矩阵式中 I 为与 T 同阶的单位阵。结合式 (5.12) ，由式 (5.9)得(5.7)设局部坐标中单元杆端位移向量为同理，可

5、以求出单元杆端位移在两种坐标系中的转换关系。 e ，整体坐标系中单元杆端位移向量为 e，则 e T e (5.14) e TT e (5.15)式中 e ui vi uj vjT , e ui vi uj vj T现在来推导单元刚度矩阵在两种坐标系中的转换关系。单元杆端力与杆端位移在整体坐标系中的关系式可写为Fe ke e (5.16)式中 k e称为在整体坐标系中的单元刚度矩阵。将式中 (5.9)和(5.14)代入 (5.3)，得T Fe keT e将此式两边各前乘 TT ，并利用式 (5.12)得Fe TTkeT e再将上式与式 (5.16)比较，可知ke TT keT (5.17)这就是

6、单元刚度矩阵在两种坐标系中的转换关系。5.2.3整体平衡方程和单元杆端力的计算整体平衡方程由单元集成法建立，引入约束条件后，求解该方程可得结构的节点位移向量 ， 由式(5.14)可求得单元在局部坐标系下的杆端位移 ，再利用式 (5.1)或式 (5.2)就可求得单元在局部坐 标系下的杆端力(轴力) 。5.3空间桁架的有限元分析 从物理概念和计算特点上讲，空间桁架与平面桁架同属一类结构，各节点均为理想铰，外载荷 均为作用于节点的集中力，各杆件只产生轴向变形，因此，有关平面桁架的基本理论和概念完全适用 于空间桁架。只是对于空间桁架单元，每个节点有三个自由度，因此，单元刚度矩阵由 4 阶方阵变为 6

7、阶方阵。5.3.1局部坐标系下的单元刚度矩阵用Fe和 e 分别表示空间桁架单元在局部坐标系下的杆端力向量和杆端位移向量：Fe Fxi Fyi Fzi Fxj Fyj Fzj T , e xi yi zi xj yj zj Txi yi zi xj yj zj xi yi zi xj yj zj按照与平面桁架单元同样的分析可得到两者之间的关系，即空间桁架单元的刚度方程xi yi zi xj yj zj0 0 0 0 000 0 0 0 00EL0 0EAL0E0 0 0 0 0A ALEAL0 0ELxi yi ziFFFFyjFF亦可简写为(5.19)Fe ke e5.3.2i 的杆端力在局整

8、体坐标系下的单元刚度矩阵 按照平行桁架局部坐标节点力与整体坐标节点力的转换关系，空间桁架单元端点 部坐标与整体坐标之间有如下的转换关系或简写为(5.21)Fi e t Fi e式中标系之间的转换关系与式 (5.21)完全相同，即(5.23)Fje tFje式中Fj e Fxj FyjTeFzjT ,Fj e FxjFyj Fzj T由式 (5.21)、 (5.23) 得单元杆端力在两种坐标系之间的转换关系FiFFiFjt 0 Fi 0 t F j(5.24)或简写为F e TF e(5.25)式中eTFe Fi Fj T是单元在局部坐标系下的杆端力向量；FxiFyiFziFxjFyjFzjFe

9、 Fi Fj T Fxi Fyi Fzi FxjFyjFzj T是单元在整体坐标系下的杆端力向量。T0t0t(5.26)是坐标转换矩阵。容易验证 T 是个正交矩阵。由式( 5.25)得(5.27)Fe TT F e同理， 可以求出空间桁架的杆端位移在两种坐标系中的转换关系。 如用 和 e分别表示局部 坐标系和整体坐标系中单元杆端位移向量，则得到与式 (5.14) 、 (5.15)相同的式子：T e (5.28)e TT e (5.29)式中ui vi wi uj vj wj T e ui vi wi uj vj wj T仍然将整体坐标系中杆端力与杆端位移的关系写作Fe ke e (5.30)

10、按平面桁架单元同样的推导过程，得ke TT keT (5.31)可见，所有的转换关系式与平面桁架单元在形式上完全相同，只是阶数不同而已。整体平衡方程的建立及杆端轴力的计算与平面桁架相同，不再赘述。5.4平面刚架的有限元分析5.4.1概述平面刚架是是指杆件的连接点均为刚性节点的平面杆系结构， 在建筑工程中通常将立柱 (坚直杆) 和横梁(水平杆)组成的刚架结构称作框架。在实际的框架结构中，有可能部分连接梁和柱的节点为 铰节点。但从受力特点考虑，仍然把它看作刚架类型。作用于平面刚架的载荷， 不仅有直接作用在节点上的集中力或集中力矩， 而且也可能有沿着杆件 的分布力。由于各杆件用刚性节点连接， 因此，

11、在外力作用下各杆件一般会产生轴力、 剪力和弯矩三种内力， 以及相应的三种变形，即沿着轴线方向的轴向变形，垂直于轴线的剪切变形，以及杆件截面发生转动 的弯曲变形。5.4.2L，横截面面积为 A ，绕 z局部坐标系下的单元刚度矩阵 从平面刚架中任取一根杆件作为单元，称作平面刚架单元，单元长为轴的惯性矩为 I z 。两端节点分别用 i和 j表示，局部坐标系的确定和桁架单元相同，规定从 i到 j的x y 平面的方连线方向为局部坐标轴 x 轴，垂直于 x 的方向为 y 轴，为描述截面转动方便，取垂直于 向为 z轴方向，且 x、 y、 z 形成右手系。根据刚架受力变形的特点，平面刚架单元的杆端位移向量和杆

12、端力向量可表示如下e(5.32)ui vi zi uj vj zj TF e Fxi Fyi M zi Fxj Fyj M zjT 现在来推导杆端力和杆端位移之间的关系， 由小位移假定， 我们可以忽略轴向受力状态和弯曲受 力状态之间的相互影响，分别推导轴向变形和弯曲变形的刚度方程。首先，由杆端轴向位移 ui 、uj ，可推算出相应的杆端轴向力 Fxi、Fxj ：(5.33)EAFxi (ui u j )xi L i jEAFxj L (ui uj )此式与平面桁架单元的刚度方程 (5.1)完全相同。其次，由杆端横向的位移 vi 、 vj 和转角 i 、 j 可推算出相应的杆端横向力 Fyi 、

13、 Fyj 和杆端力矩M zi 、 Mzj 。由等截面直杆的转角位移方程，得将式 (5.33)、 (5.34) 两式合在一起，写成矩阵形式，就得到平面刚架单元的刚度方程：式简写为式中称作平面刚架单元在局部坐标系中的单元刚度矩阵。5.4.3整体坐标系下的单元刚度矩阵为了建立平面刚架的整体平衡方程， 必须把局部坐标系下单元刚度矩阵和单元节点力向量转换到 整体坐标系下， 而为了计算单元在局部坐标系下的杆端力， 又必须把单元在整体坐标系下的位移转换 到局部坐标系下，下面推导这些转换关系。杆端轴向力和横向力的转换关系与平面桁架单元的转换关系式 (5.7)完全相同， 由于局部坐标系 z轴和整体坐标系的 z

14、轴方向相同，因此，杆端力矩 M z 不会发生改变，即有(5.38)M zi M ziM zj M zj 将式(5.7)和(5.38)合在一起，写成矩阵形式，得到平面刚架单元杆端力的坐标转换关系：或简写为显然 T 是一个正交矩阵。依照平面桁架单元的推导过程，可以得到其余几个转换关系，这些公式，在形式上与平面桁架单元的相应式子完全相同，只是坐标转换矩阵采用式 (5.41) 此处就不再一一列出。5.4.4利用固端反力求等效节点载荷作用在刚架上的载荷按其作用位置不同， 可分为节点载荷和非节点载荷两种。 由于用有限元法分 析结构时， 整体平衡方程本质上是各节点的平衡方程， 因此必须把非节点载荷按静力等效

15、的原则移置 到节点上，形成等效节点载荷。这在一般情况下，需要利用形函数如前面几章那样去进行。但是对于 刚性连接的杆单元不必进行这种计算， 可以采用固端反力推得等效节点力， 因为一般载荷作用下的固 端反力，在结构计算手册中都可以查到，因此要比利用形函数的方法简便些。(c)q 和 Fp ，显然，图 5.3a 所示刚架的内力(a) (b)图 5.3图 5.3a 所示刚架，在横梁和右柱上作用有非结点载荷和变形，等于 5.3b 和图 5.3c 两部分的内力和变形的叠加。图 5.3b 表示用附加约束控制原结构的独立节点位移，其各杆的杆端内力(即固端力)可由一般的结构力学教科书或结构计算手册查得，从而确 定

16、各附加约束中的反力。 再将各附加约束中反力反向， 加到原结构上， 便得到图 5.3c 所示的等效节点载荷 ，而图 5.3c 正是对刚架进行有限元分析时，建立结点平衡方程的模型，通过求解这组平衡方程 式，可求得刚架的节点位移。在图 5.3b 所示结构中节点不能产生位移，所以图 5.3a所示原结构的节点位移，就等于图 5.3c 所示结构的相应节点位移。从产生相同的节点位移这一点来说，图 5.3c 所示的节点载荷与图 5.3a 所示 的非节点载荷是等效的。可以证明，对于两端为刚性连接的刚架单元来说，此处的等效概念与前面所 讲的静力等效本质上是相同的，因此与用形函数求出的结果也是相同的。综上所述， 由

17、非节点载荷所产生的等效节点载荷， 在数值上等于由该非节点载荷所产生的固端力 取反。用式子表示如下(5.42)Re Fpe式中 R e为局部坐标系下刚架单元的等效节点力向量， Fp 为局部坐标系下由非节点载荷产生的固端力向量。5.4.5整体平衡方程和单元杆端力 结构的整体平衡方程仍然用单元集成法形成。不过事先需要利用式 (5.31) 把单元刚度矩阵由局部坐标系转换到整体坐标系中。 注意式中 T 应采用式 (5.41)的形式。 由局部坐标系所表示的节点载荷向 量，即式 (5.42)也要转换到整体坐标系中，这可使用式 (5.13) 进行，即R e TTR e TTFpe (5.43)结构整体平衡方程

18、中的总载荷向量， 一般由两部分组成， 一部分是单元等效节点载荷按单元集成 法组集而得，另一部分是直接作用于节点上载荷(用整体坐标表示) 。因此整体平衡方程写成下式K F Fd (5.44)式中 K 为结构的总刚度矩阵， 为结构的节点位移向量， F 是由单元等效节点载荷向量组集而来， Fd 为直接作用于结构节点上的节点力向量。组成：杆端位移产生的杆端力和非节点载荷产生的固端力。用式子表示，即F e ke e Fp(5.45)式中 e可由整体坐标系的 e利用式 (5.14)转换得来，而 Fp 则可通过查表得到。5.5空间刚架的有限元分析5.5.1概述 在工程结构实践中，绝大多数刚架属于空间刚架，例

19、如水塔塔架、刚架基础等都属于空间刚架结 构。一般骨架式房屋实际上也是空间刚架结构。当采用位移法对空间刚架进行分析时， 由于每一个刚性节点具有六个未知的位移分量， 即三个沿 x、y、z坐标方向的线位移 u，v，w 及三个转动位移 x ， y， z ，即使很简单的空间刚架也会有许 多未知数，给计算工作带来很多困难。因此，手算时为了克服计算上的困难，人们不得不将空间刚架 简化为平面刚架来计算。在某些情况下，这样的简化处理也可以得到相当精确的结果，是工程上所允 许的，例如，如果组成建筑物骨架的空间框架是由若干榀平面框架组成，而作用在结构上的载荷又基 本上是均匀分布在各榀上的，取出典型的一榀来分析是有足

20、够精确度的。但是，在很多情况下，这样 的简化将会导致很大的误差。例如，如果组成空间刚架的各榀刚度并不均匀，或作用在结构上的载荷10很不均匀时，取出其中的一榀按平面刚架分析是不许可的。这时，我们必须按空间刚架来分析才能正 确地了解结构的真实工作状况。虽然空间刚架比平面刚架的结构形式复杂一些， 但利用计算机对空间刚架进行分析， 原则上是毫 无困难的，且基本方法与平面刚架所采用的方法完全相同。只不过空间刚架需用三维坐标来描述，而 且单元在产生弯曲变形的同时还将产生扭转变形。5.5.2局部坐标系下的单元刚度矩阵 从空间刚架中任取一根杆件作为单元，称作空间刚架单元，两端节点分别用 i 和 j 表示， 仍

21、规定从 i 到 j 的轴线方向为局部坐标系的在局部坐标系中，单元的节点位移向量可表示为单元的杆端力向量可表示为(5.47)由材料力学容易写出单元两端截面绕 x 轴的转角和扭矩之间的关系：11EAL2(5.49) 需要注意的是，式 (5.49)并未考虑剪切变形的影响。这对于一般的细长梁，即所谓浅梁的影响是很小的。因此，式 (5.49) 对一1 般的浅梁是足够准确的。但对于深梁，即梁截面高度大于长度 1 的梁，剪切变形的影响必须考虑。在薄壁截面杆件中，剪切5 变形对梁的挠度的影响将是巨大的。当需要考虑剪切变形的影响时梁的单元刚度矩阵可修改如下12k(5.50)EAL012EIzL3(1 y)003

22、L3(1 z )12EI y00EA6EIL2(1 z)6EIL2(1 y)12EIL3(1 y )12EIL3(1 z)6EI yL2(1 z)6EI zL2(1 y)L0(4 z)EI y L00(4 y)EI zL(1 y )000EAL006EI z0L2(1 y )06EI y00L2(1 z)GI x000L0(2 z)EI y00L(1 z )00(2 y)EI z0L(1 y )GI z12EI012EI yL3(1 y )00GI xL06EI y0(4 z)EI yL2(1 y )L(1 z )6EI z000L2(1 y)L3(1 y )(4 y)EI z L(1 y)式

23、中12EI zGAyL212EIyGAzL2Ay 杆截面沿 y 轴方向有效抗剪面积Az 杆截面沿 z 轴方向有效抗剪面积。y、 z分别称作对 y 轴和 z 轴方向剪切影响系数。显然，当不考虑剪切的影响时，即当y = z=0 时，式 (5.50) 就成为式 (5.49)中的单元刚度矩阵。5.5.3 整体坐标系下的单元刚度矩阵图 5.4图 5.5空间梁单元局部坐标系确定按 5.5.2 节规定：以单元轴线、即两端节点 ij 的连线为 x 轴，节点 不为坐标原点， y 和 z轴的方向与单元截面的两个主惯性轴平行，形成右手坐标系，见图 5.5 。为了13xy 内的一个任意参考点 k 的确定单元截面的主惯

24、性轴方向，在输入数据中还必须给出在主惯性轴面 坐标位置 xk, yk,zk 。当然这个 k点不能与 ij 轴线共线。若空间任一向量 ( 节点的力向量或位移向量 )A 在总体坐标系 x、y、z 轴上的投影分别是 Ax、 Ay、Az ，而在局部坐标系 x 、 y 、 z轴上的投影分别是 Ax、 Ay 、 Az 。由图 5.5 可以看出，这两组分量之间的几何关系是Ax Ax cos(x, x) Ay cos(x, y) Az cos(x, z)Ay Ax cos(y, x) Ay cos(y, y) Az cos(y, z)Az Ax cos(z, x) Ay cos(z, y) Az cos(z,

25、 z)式中 cos(x,x)是 x 轴与 x轴夹角的方向余弦， cos( x, y)是 x 轴与 y 轴夹角的方向余弦，其余类推用矩阵形式表达为(5.51)式中， t 称为向量的变换矩阵。现在需要知道，如何根据空间梁单元局部坐标系的规定，由给出的 i 、j 、 k 三个节点坐标值 xi,yi,zi 、 xj, yj,zj 、 xk, yk,zk 来算出向量的变换矩阵 t 。比较方便的办法是采用向量算法。设e1、e2、e3分别是沿总体坐标轴 x 、 y、 z方向的单位向量， t1 、t2、 t3分别是沿局部坐标轴 x 、 y、 z方向的单位向量，见图 5.4。向量 ij 的坐标表示为ij a1e

26、1 a2e2 a3e3 (5.53)式中 a1、a2、 a3分别是向量 ij 在总体坐标轴 x、y、z方向的投影，因此它们等于a1 xj xi a2 yj yi a3 zj zi沿局部坐标 x 轴( 即单元轴线 ij) 的单位向量 t1为14ij(5.54)t1 t(1,1)e1 t(1,2)e2 t(1,3)e3ij式中向量 ij 的模是梁单元 ij 的长度。222ij L a1 a2 a3t (1,1) a1 L t (1,2) a2 Lt (1,3) a2 L由于 t(1,1) 、t(1,2) 、 t(1,3)是沿 x 轴的单位向量 t1在 x、y、z 上的投影，它们分别等于 x 轴与

27、x、y、z夹角的方向余弦 cos(x, x) 、 cos(x, y)、cos(x,z)。向量 ik 的坐标表示为ik b1e1 b2e2 b3e3 (5.55)式中b1、 b2 、 b3分别是向量 ik 在总体坐标轴 x、y、z方向的投影值，它们等于b1 xk xi b2 yk yi b3 zk zi (5.56)由于向量 ij 和 ik 都位于主平面 xy 内，其向量积 s ij ik 也是一个向量，并且它的方向垂直于 主轴面 xy ，即沿 z 轴方向，见图 5.4。s ij ik s1e1 s2e2 s3e3 (5.57)式中 s1 a2b3 a3b2 s2 a3b1 a1b3 s3 a1

28、b2 a2b1向量积 s ij 是一个沿 y 轴方向的向量，可由下式算出s ij u1e1 u2e2 u3e3式中 u1 s2a3 s2a3 u2 s3a1 s1a3 u3 s1a2 s2a1因此沿 y 轴方向的单位向量 t2等于s ijt2 t(2,1)e1 t(2,2)e2 t(2,3)e3s ij式中 s ij u12 u22 u32 u15t (2,1) u1 u t (2,2) u2 u t (2,3) u3 ut(2,1)、 t(2,2) 、t(2,3)分别是沿 y轴的单位向量 t2在x、y、z上的投影值，它们等于 y轴与 x、y、z轴 夹角的方向余弦 cos(y, x) 、 co

29、s(y,y)、cos(y,z)。最后，沿 z 轴方向的单位向量 t 3等于单位向量 t1与单位向量 t2的向量积，即t3 t1 t2 t(3,1)e1 t(3,2)e2 t(3,3)e3 (5.58)式中 t(3,1)=t(1,2)t(2,3)-t(1,3)t(2,2) t(3,2)=t(1,3)t(2,1)-t(1,1)t(2,3) t(3,3)=t(1,1)t(2,2)-t(1,2)t(2,1)t(3,1)、 t(3,2) 、t(3,3)分别等于 z轴与 x、y、z轴夹角的方向余弦 cos(z,x)、 cos(z,y)、 cos(z,z)。 向量的变换矩阵 t 是一个正交矩阵。根据以上向量变换公式，将空间刚架单元每一端的杆端力和杆端力矩分别看作两个合向量，杆 端线位移和转角也可以分别看作两个合向量， 则对杆端力或杆端位移的合向量而言， 每个空间刚架单 元应有合向量形式的杆端力或杆端位移。从而可由式 (5.52) 表示的向量的坐标变换式得到单元杆端力或杆端位移的坐标变换式如下：t 0 0 00 t 0 0T (5.5