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1、傅里叶光学教程黄婉云课后习题解答傅里叶光学教程（黄婉云）课后习题解答第一章 数学基础知识 在信息光学中，有一些广泛使用的函数，包括脉冲函数、梳状函数等，用于描述各种物理量。另外还有一些重要的数学运算，如卷积、相关、傅里叶变换等，用于讨论和分析各种物理过程。本章主要介绍这些函数及计算方法。 1.1 常用函数 1. 阶跃函数(Step function) x,00,a,xx1,一维: step()0,aa2,x,10,a,a的正负决定阶跃函数的取向，阶跃函数作用如同一个开关，可在某点开启或关闭一个函数。 2. 符号函数(Sign function) x,10,a,xx, sgn()00,aa,x,

2、10,a,a的正负决定符号函数的取向，符号函数用来改变一个变量或函数的正负。xxx,sgn11阶跃函数与符号函数的关系: stepxx()sgn(),，223. 矩形函数(Rectangle function) a,1x,x,rect(),一维: 2,a,0others,表示函数以0为中心，宽度为a(a0)，高度为1的矩形。在时间域，矩形函数可以描写照相机快门;在空间域，矩形函数可以描写无限大不透明屏上单缝的透过率，故被称为门函数。并且矩形函数可以作为截取函数。 2 xyxy二维: rectrectrect(,)()(),ababab,1,xy, 22,0,others,二维矩形函数可以描写无

3、限大不透明屏上矩形孔的透过率。 矩形函数可以移位和改变比例以及高度: a,hxx,xx,00 hrect(),2,a,0,others,4. 三角函数(Triangle function) ,xx1,xa,一维: tri(),a,a,0others,xyxx二维: ,(,)()()abab,xxxy(1)(1),1, ,abab,0,others,可用来表示一个光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数。 5. Sinc 函数(Sinc function) xxasin(),sin(),0ca一维: axa,xxc,0sin()1时， axxnac,时，sin()0 axyxy二维: sin(,

4、)sin()sin()ccc, abab3 可用来描述单缝和矩孔的夫琅和费衍射振幅分布，其平方表示衍射图样 6. 高斯函数(Gaussian function) x2一维: Gausxa()exp/,，a高斯函数也称为正态分布函数。 高斯函数具有下列重要性质: (1)它是光滑函数，且其各阶导数都是连续的; (2)高斯函数的福利叶变换也是高斯函数。 二维: xyxy22 Gaussab(,)exp()(),0,，,abab二维高斯函数常用来描述激光器发出的高 斯光束。有时也用于光学星系处理中的“切趾术”。 7. 圆域函数(Circle function) 2222,xy，1xyr，,0circ(

5、), ,r0others0,圆域函数可用来描述无限大不透明屏上圆孔 的透过率。 8. ,函数 1) 所谓,函数是指具有以下性质的函数: 0,时x0,定义: (I) ,()xdx,时x0,()1xdx,(II) ,fxxdxf()()(0),或者: ,()()1xdxxdx,证: ？,根据积分中值定理有: ,fxxdxfxxdxfxdx()()()()()(),ff()(0), ,4 其中:是内的某个数，在上式中令，从而 ,0,0，,定义式得证: fxxdxf()()(0),乘以任何一个连续函数后，沿这就是说:如果某个函数 如,()xfx()积分，其积分值为，则该函数就叫做函数。 (,),f(0

6、),函数的物理意义:有了函数，对于点源和脉冲量的研究就能够象处理连,续分布的量那样，以统一的方式来对待。函数常用来代表物理学中的基本质点: ,点光源，点电荷，点脉冲等。例如， 透镜用平行光照射时焦点处的照度; ,(,)xxyy,(,)xy表示在平面的点光源; 0000,()xx,x,0表示在平面的线光源。 00函数应用在线性系统中时，线性系统的性质 ,可由其对脉冲输入的响应来决定。任意复杂的输入函数可分解为许多适当分布合加权的函数，把它们分别作用于系统，各脉冲产生的响应的线性叠加就给出系,统的总的响应。 2) 函数的性质 ,fxxxdxfx()()(),(1) 筛选性质 00,xxx,xxx,

7、，证: 令，则，代入上式得: dxdx,00,x，x,xfxxxdxfxxxdx()()()()，,，, (，中值) ,00000,fxxdxfx()()(),由积分中值定理 00,fxxdxfxxdxf()()()(0)(0),与定义式相比: ,()(),xx(2)函数是偶函数，即 ,gx()fx()证: 设是一个广义函数，如果对于一个奇(偶)检验函数，有 ,fxgxdx()()0, ,gx()则称是偶(或奇)广义函数 ,fxxdxf()()(0),? ,fx()f(0)0,而只有奇函数才有可能当x = 0 时 5 ,使得 fxxdxf()()(0)0,故函数是偶函数，即 ，得证。 ,()(

8、),xx,1,()()axx(3)比例变换性质 a,x1,证: 令， 则， dxdx,x,axx,aa设，根据筛选性质，有: a,0d,x11, ,fxaxdxfxdxfx()()()()()0,aaa,11又有: ,fxxdxfx()()()0,aa1比较两式得: ,()()axxa1,()()()()axaxaxx,设a,0，则 a1,()()axx综合aa,0,0两种情况，得: ahxxxhxxx()()()(),(4)与普通函数乘积的性质 0009. 梳状函数(Comb function) ,xx,xxnx,()combn()(),一维: ,00xx,nn,00xyxycombcomb

9、comb(,)()(),xyxmxyny,(,)二维: ,0000xyxy,mn0000梳状函数与普通函数的乘积: xy(,)(,)(,)(,),fxycombxyfmxmyxmxyny ,000000xymn,006 可以利用梳状函数对普通函数作等间隔抽样,所以又被称为抽样函数(Sample Function)。 1.2 卷积(Convolution) 1. 卷积的定义: 和为两个实值函数，则其卷积为: 设fx()hx(), fxhxfhxd()()()(),x可认为:卷积是当变化时，寻求和的乘积的面积的运算。 f(),hx(),2. 卷积的几何意义 虽然卷积仍然表示两个函数乘积的积分，但是

10、它和通常的两个函数乘积的积分不同，在积分式中出现了。因此只要理解的意义之后，卷积计hx(),hx(),算的几何意义就清楚了。以一例题具体分析。，gxfxhx()()(),1,101,x01,x,hx(),， fx(),2,0otherwise,0otherwise,x,步骤:(1)将自变量名称由改为; 0h(),h(),(2)翻转:将曲线绕轴翻转180得到曲线; yxxxh(),hx(),(3)平移:对于一个值，只要将曲线沿轴平移得到曲线; hx(),f(),(4)相乘:将函数与函数相乘; fxhx()(),f(),hx(),(5)积分:就是计算被积函数所对应的曲线与横坐x标所围成的面积。对于

11、不同的参量，相应的面就不同。 fxhx()(),可见， 求两函数的卷积运算是通过函数的相对移动(卷)并相乘(积)而得到的。 7 xx,rectrect,例1:计算 ,aa,解:分析，从几何图形上看，就是将其中一个矩形函数绕纵轴翻转，然后再对另一个作平移，并不断计算两矩形函数的重叠面积，从而得到卷积的运算结果。 当时， ,ax0a，x,xxx,2 ,1rectrectdaxa,，,a,aaa,2,当时， 0,xaa,xxx,2 ,1rectrectdaxa,a,xaaa,2,综合， xxx,rectrecta, ,aaa,1xx例2:计算 gxcombrect()()(),442,11xxx,g

12、xcombrectnrectd()()(),442442,n,x, ,4nrectd，,2,xn,4,，rectnxn4141，,2,该结果可用来表示罗奇(Ronchi)光栅的强度透过率。其中为缝宽，a,2为光栅常数。 d,43. 卷积的效应 (1)展宽效应:卷积的宽度等于被卷积函数的宽度之和。 (2)平滑效应:卷积运算使物的细微结构在一定程度上被消除，函数本身的起伏振荡变得平缓圆滑。 hxrectxa()(/),实例:用矩形函数表示狭缝的透过率。对光强的空间分布8 扫描，在狭缝后面用光电探测器记录光强分布。这一扫描记录的过程fx()gx()包含了平移、相乘、积分几个环节，若是一个偶函数，那么

13、这个过程就是一hx()个卷积运算过程。可用以下数学式子表达这一物理过程: a，,，xxx,2 ()()()()()()gxfxrectfrectdfd,a,xaa2fxfx()2cos(2),，,a例3:用宽度为的狭缝，对平面光强分布扫描，在狭缝后0用光电探测器记录。求输出强度分布。 xfxfx()2cos(2),，,解: hxrect()(),0a，,x,gxfxhxfrectd()()()2cos(2)(),，,0,aa，x2,，2cos(2)fd,a0,x2a，x 2，1,，2sin(2)f0,2fa0，,x,2,1，aa,，,2sin2sin2afxfx,00,222f,，0,4. 卷

14、积的运算性质 (1)卷积满足线性运算 ab,设为任意常数，则 afxbfhxafxhxbfxhx()()()()()()，,，,1212(2)可分离变量 对于直角坐标系下的两个可分离变量的二元函数，它的二维卷积是可分fxyfxfy(,)()(),hxyhxhy(,)()(),离变量的函数。若，则 xyxy,gxyfxyhxyfyhxydd(,)(,)(,)(,)(,),fhxdfhyd()()()() ,xxyy,gxgy()()xy(3)卷积符合交换律 fxyhxyhxyfxy(,)(,)(,)(,),即: (4)卷积具有平移不变性 9 若 则 fxyhxygxy(,)(,)(,),fxxy

15、yhxyfxyhxxyygxxyy(,)(,)(,)(,)(,), 000000卷积的位移不变性表明，当和中任一函数在方向上分别fxy(,)hxy(,)xy平移了和后，其卷积所产生的函数图像的形状和大小不变，只是在 00xy方向上同样分别平移了距离。 00)卷积的结合律 (5fxyhxyhxyfxyhxyhxy(,)(,)(,)(,)(,)(,),1212(6)卷积的坐标缩放性 1faxbyhaxbygaxby(,)(,)(,),设 fxyhxygxy(,)(,)(,),，则 ab(7)函数与函数的卷积 fxy(,),fxyxyfxyddfxy(,)(,)(,)(,)(,), ,(根据函数的筛

16、选性和偶函数性质) ,fxyxxyyfxxyy(,)(,)(,), 0000卷积的结果是把函数平移到脉冲所在的空间位置。从物理过程来看，这一卷积结果是，当点源平移时，成像系统所得到的像斑分布不发生变化，只是位置发生变化。这一性质可以用来描述各种重复性的结构，如双缝、多缝以及光栅的透过率函数。 (8)复函数的卷积 fxfxjfxhxhxjhx()()(),()()(),，,，设 ，则 RR11gxfxjfxhxjhx()()()()(),，,，RR11,，,，,()()()()()()()()fxhxfxhxjfxhxfxhxRRRR1111,，gxjgx()()R11.3 互相关和相关(Cor

17、relation and Autocorrelation) 1. 互相关的定义 *rxyfgxyddfxygxy(,)(,)(,)(,)(,),，, fg,setxyso，,，, 10 * rxyfxygddfxygxy(,)(,)(,)(,)(,),fg,互相关是两信号间存在多少相似性或关联性的量度。两个完全不同、毫无关系的信号，对所有的位置，它们互相关的值为零。如果两个信号由于某种物理上的联系在一些部位存在相似性，则在相应的位置上就存在非零的互相关值。 2. 互相关的运算性质 (1)互相关与卷积的关系 , rxfxgxfxgx()()()()(),fg*gxyhxyghxydd(,)(,)

18、(,)(,),，,*,ghxydd(,)(,)证: ,*,gxyhxy(,)(,)若fx()为实值偶函数，则fxgxfxgx()()()(), (2)互相关不满足交换定律fxgxgxfx()()()(),， ,fxgxgxfx()()()(),但满足 3. 自相关的定义 *rxyfxyfxyffxydd(,)(,)(,)(,)(,),，,ff, *,fxyfdd(,)(,),自相关是两个相同函数图像重叠程度的量度。当两个相同函数完全重合时，自相关有一极大峰值，称为自相关峰。 物理意义:函数的自相关相当于一个亮点，或一个光脉冲 4. 自相关的运算性质 (1)自相关函数具有厄米对称性 *, rxy

19、fxyfxyfxyfxyrxy(,)(,)(,)(,)(,)(,),ffff(2)自相关函数的模在原点出有最大值 fxyfxyff(,)(,)(0,0)(0,0),例4:计算下列相关运算 (1)()()()gxrectxrectx,xx，,11(2)()()()gxrectrect,22解:(1) 11 ,gxrectxrectxrectrectxd()()()()(),，,1x，,2dxx,，,1(10),1,2 ,1,2dxx,1(01)1,x,2,()x(2) ,xxx，,，,1111,gxrectrectrectrectd()()()()(),2222,0x，2, dxx,2(1)(2

20、0),x,2,x，2x，2,dxx,，,，,42(1)(42),2,21.4 傅里叶分析(Fourier analysis) 1. 傅里叶级数(Fourier series) gx()一个以为周期的函数，满足狄利克雷条件，即函数在一个周期内有有T限个极值点和第一类间断点(所谓第一类间断点是函数的不连续点，在该点附近函数的值有限，其左右极限存在)，则可展成傅里叶级数 ,a22,nn,0gxaxbx()cossin,， ,nn,2TT,n1,T222,n,agxxdx()cos其系数为 : n,TTT212 T222,n, bgxxdx()sinn,TTT2n分别表示相应频率的余弦波分量和正弦波分

21、量的振幅大小。 ,nf0T利用尤拉公式，并令 ajb,ajb，annnn0， ， ,C,C,CC,n,nn00222式可写为: gx()1,jnx,21,Tjnx2,a0T(),，gxCeCe ,nn,2nn,111,jnx211,1Tjnxjnx22,TT,，,CCeCeCe ,0nnn,nn1C表示gx()为无线多不同频率的复指数函数的线性组合。式中傅里叶系数是频nT12,2,jnx1nTCgxedx,率的函数，。 (),nf0n,TTT2,以一个周期为的矩形波为例，进行傅里叶级数展开。 ,Ax,4,gx() ,0x,42其三角函数傅里叶展开为: AA211，,gxfxfxfx()cos2

22、cos2(3)cos(2(5),，,， 000,235,，A其中，:(0)n,零频项; 2fn:(1),基频项; 0nf:谐频项。 0可用图表示其三角函数傅里叶展开。 右图表示当仅仅截取有限项数的余弦波 gx()分量来近似表示，项数越多，综合 出来的波形越接近原函数。 另外，矩形波也可以展开为指数傅里叶级数， 13 ,nfAjnfx2,00gxce()sin(),22n, AAAAifxifxjfxjfxjfxjfx2223232525,000000,，,，()()()eeeeee,235其频谱分布为离散谱，代表各频率成 f分的谱线仅出现在基频的整数倍频 0率上，即谐频上。 2. 傅里叶变换(

23、Fourier transform) (1)傅里叶变换的定义 从傅里叶级数，我们可以推广至傅里叶积分，由此得到在光学中，常用二维的傅里叶变换对为: ,Gffgxygxyifxfydxdy(,)(,)(,)exp2(),，,xyxy,1, gxyGffGffifxfydfdf(,)(,)(,)exp2(),，,xyxyxyxy,根据尤拉公式exp()cossinjttjt,，式中 ， exp2cos2sin2jfxfyfxfyjfxfy,，,，xyxyxy，ff,是各种频率为gxy(,)的的余弦、正弦函数。因此傅里叶变换表示函数xy,xyff,Gff(,)是各种平率的余(正)弦函数的叠加，叠加的

24、权重因子是，而xyxyGff(,)gxy(,)成为函数的频谱。 xyGff(,)其中，可表示为: xyGffGffjff(,)(,)exp(,), ，xyxyxy2,(,)ffGff(,)Gff(,)为傅里叶变换振幅谱;为位相谱;为功率谱。 xyxyxy(2)傅里叶变换存在的条件 ,gxydxdy(,),gxy(,)i. 在整个平面绝对可积，即; xy,gxy(,)ii. 在任一有限区域内，必须只有有限个间断点和有限个极大、极小值点; gxy(,)iii. 必须没有无穷大间断点。 14 但是，在分析光学系统时，为了描述方便，又往往用一些理想化的数学函数来表示实际的物理图像，而对于这些有用的函数

25、，上述的三个存在条件中的某一个或多个可能都不成立。例如，函数又一个无穷大间断点;sign函数、sin函,数、cos函数和step函数都不满足条件1。因此，为了能利用傅里叶分析方法来讨论大量有用的函数，并利用它们来描述实际的物理图像，就必须定义广义傅里叶变换。 (3)广义傅里叶变换 gxy(,)定义:虽然函数不存在傅里叶变换，但是却存在一个函数序列Gff(,)gxy(,)gxy(,)，它存在傅里叶变换，对应的频谱函数为函数序列。而nxynGff(,)n,g(x,y)g(x,y)却是当时的极限。则定义的极限为函数的广义傅nxyn里叶变换。Sgnx()1,如:符号函数。因不能绝对可积，所以不存在普通

26、的傅里叶变换。但可表示为某一序列函数的极限，如指数函数，,x,nex,0,gxn()0, 即:,nxx,0n,e,x111,求极限ne,lim1 xx0n,nneee10x,Sgnxgx()lim(), 故可用其来表示符号函数:,n,n,10x,g(x) 而序列函数的傅里叶变换存在，为n,jfx2,gxgxedx()(),nn,xx,0,jfxjfx22nn,，,eedxeedx,0 114,jf,，,Gf()n21112,jfjf22,，,，2f，,nnn,n,G(f) 根据广义积分的意义:可把的极限(当时)定义为nSgnx() 的傅里叶变换，即,441jfjfj,SgnxGx()lim()

27、lim,n222,nn4ffjf, 21,，2f，,n,15 (4)傅里叶变换的性质 i. 线性定理(Linearity theorem) ,，,，agxbhxaGfbHf()()()(),即两个或多个函数值加权和的傅里叶变换就是各自的傅里叶变换的相同的加权和。 ii. 相似定理(Similarity theorem) 1f,x,gaxG(),gaGaf ，,aaa,xf 即空域中坐标的扩展，导致频域中坐标的压缩以及频谱幅度的变化。iii. Shift theorem 位移定理(),jfx2,0,gxxeGf()(),0即空域中的平移引起频域中的相移。iv. Parsaval theorem 帕色伐定理()22,gxydxdyGffdfdf(,)(,),xyxy,表明信号在空域中的能量与其在频域的能量守恒。v. Convolution theorem 卷积定理(),gxGfhxHf()(),()(), 若，则有,gxhxGfHf()()()(),gxhxGfHf()()()(), ，vi. Fourier integral theorem 傅里叶积分定理(),11,gxygxygxy(,)(,)(,), (5) 常用傅里叶变换对i. 函数的变换 ,jfxjfx22,()()1xxedxe ,x0,若 ,()()xx,ii. 常数的变换 ,AFAxAxfff,()()()()