高中数学选修11232 双曲线的几何性质.docx

1、高中数学选修11232 双曲线的几何性质2.3.2双曲线的几何性质学习目标1.了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质.活动一 知识梳理 引入新课知识点一双曲线的几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围对称性对称轴：_.对称中心：_.顶点坐标实轴和虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴；线段B1B2叫做双曲线的虚轴渐近线yxyx离心率e，e(1，)知识点二等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做_.，它的渐近线是_.思考(1)椭圆与双曲线的离心率都是e，其范围一样吗？(2)若双曲线确定

2、，则渐近线确定吗？反过来呢？活动二 数学应用例1求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；(2)渐近线方程为yx，且经过点A(2，3).例3直线l在双曲线1上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线l的方程.例4已知双曲线方程为2x2y22.(1)过定点P(2,1)作直线l交双曲线于P1，P2两点，当点P(2,1)是弦P1P2的中点时，求此直线方程；(2)过定点Q(1,1)能否作直线l，使l与此双曲线交于Q1，Q2两点，且Q是弦Q1Q2的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说

3、明理由.活动三 课堂反馈单1.双曲线1的焦点到渐近线的距离为_.2.双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为_.3.双曲线1的渐近线方程为_.4.已知双曲线C：1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为_.5.已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线C的离心率为_.活动四 课堂小结1.渐近线是双曲线特有的性质.两方程联系密切，把双曲线的标准方程1 (a0，b0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程.反之由渐近线方程axby0变为a2x2b2y2(0)，再结合其他条件求得，可得双曲线方程.2.准确画出几何图形是解决解析几

4、何问题的第一突破口.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形.题型一已知双曲线的标准方程求其几何性质例1求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.解将9y24x236化为标准方程1，即1，a3，b2，c.因此顶点为A1(3,0)，A2(3,0)，焦点为F1(，0)，F2(，0)，实轴长2a6，虚轴长2b4，离心率e，渐近线方程为yxx.反思与感悟讨论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准形式，然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质.跟踪训练1求双曲线x23y2120的实轴长、虚轴

5、长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率.解将方程x23y2120化为标准方程1，a24，b212，a2，b2，c4.双曲线的实轴长2a4，虚轴长2b4.焦点坐标为F1(0，4)，F2(0,4)，顶点坐标为A1(0，2)，A2(0,2)，渐近线方程为yx，离心率e2.题型二根据双曲线的几何性质求标准方程例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；(2)渐近线方程为yx，且经过点A(2，3).解(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c13，又，a5，b12，故其标准方程为1.(2)方法一双曲线的渐近线方程为yx，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为

6、1(a0，b0)，则.A(2，3)在双曲线上，1.联立，无解.若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则.A(2，3)在双曲线上，1.联立，解得a28，b232.所求双曲线的标准方程为1.方法二由双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线方程为y2(0)，A(2，3)在双曲线上，(3)2，即8.所求双曲线的标准方程为1.反思与感悟由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法，当焦点位置明确时直接设出双曲线的标准方程即可，当焦点位置不明确时，应注意分类讨论，也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成mx2ny21(mn0)，从而直接求出来.当双曲线的渐近线方程为yx时，可以将方程设为

7、(0).跟踪训练2根据条件，求双曲线的标准方程.(1)与双曲线1有共同渐近线，且过点(3，2)；(2)与双曲线1有公共焦点，且过点(3，2).解(1)设所求双曲线方程为(0)，由题意可知，解得.所求双曲线的标准方程为1.(2)设所求双曲线方程为1(16k0，4k0)，双曲线过点(3，2)，1，解得k4或k14(舍去).所求双曲线的标准方程为1.题型三直线与双曲线的位置关系例3直线l在双曲线1上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线l的方程.解设直线l的方程为y2xm，由得10x212mx3(m22)0.(*)设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由根与系数的关系，得x1x2m

8、，x1x2(m22).又y12x1m，y22x2m，y1y22(x1x2)，AB2(x1x2)2(y1y2)25(x1x2)25(x1x2)24x1x25m24(m22).AB4，m26(m22)16.3m270，m.由(*)式得24m2240，把m代入，得0，m的值为.所求直线l的方程为y2x.反思与感悟直线与双曲线相交的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x或y的一元二次方程.要注意根与系数的关系，根的判别式的应用.若与向量有关，则将向量用坐标表示，并寻找其坐标间的关系，结合根与系数的关系求解.跟踪训练3 设双曲线C：y21(a0)与直线l：xy1相交于两个不同的点A、B.(1

9、)求实数a的取值范围；(2)设直线l与y轴的交点为P，若，求a的值.解(1)将yx1代入双曲线方程y21(a0)，得(1a2)x22a2x2a20. 依题意有所以0a0，解得a.例4已知双曲线方程为2x2y22.(1)过定点P(2,1)作直线l交双曲线于P1，P2两点，当点P(2,1)是弦P1P2的中点时，求此直线方程；(2)过定点Q(1,1)能否作直线l，使l与此双曲线交于Q1，Q2两点，且Q是弦Q1Q2的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.分析(1)点P是弦P1P2的中点，其端点是直线与双曲线的交点，所以设出直线方程后，将其与双曲线方程组成方程组，结合根与系数的关系和中点坐标

10、公式可求解.(2)先假设直线存在，将交点的坐标代入原曲线方程得方程组，再将中点坐标公式代入求出k的值，得直线方程，最后与曲线方程联立，验证根的情况.解(1)若直线的斜率不存在，即P1P2x轴，则由双曲线的对称性，知弦P1P2的中点在x轴上，不可能是点P(2,1)，所以直线l的斜率存在.故可设直线l的方程为y1k(x2)，即ykx2k1.由消去y并化简，得(2k2)x22k(2k1)x4k24k30.设直线l与双曲线的交点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2).当2k20，即k22时，x1x2.因为点P(2,1)是弦P1P2的中点，所以2，解得k4.当k4时，4k2(2k1)24(2k2)(4

11、k24k3)2800.当k22，即k时，直线与双曲线渐近线的斜率相等，即斜率为k的直线l与双曲线不可能有两个交点.综上所述，所求直线方程为y4x7.(2)假设这样的直线l存在，设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，则1，1.所以x1x22，y1y22，且两式相减，得(2x2x)(yy)0，所以2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，所以2(x1x2)(y1y2)0.若直线lx轴，则直线l与双曲线只有一个交点，不符合题意.所以直线l的斜率存在，故k2.所以直线l的方程为y12(x1)，即y2x1.由得2x2(2x1)22，即2x24x30，得16240.这就是说，直线l与双曲线

12、没有公共点，因此这样的直线不存在.解后反思在本题的解答过程中，共有3次用到了分类讨论思想：在(1)中，先对直线的斜率是否存在进行了讨论，再对一元二次方程的二次项系数是否为零进行了讨论；在(2)中，也对直线是否与x轴垂直进行了讨论.活动三 课堂反馈单1.双曲线1的焦点到渐近线的距离为_.答案2解析双曲线1的一个焦点为F(4,0)，其中一条渐近线方程为yx，点F(4,0)到xy0的距离为2.2.双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为_.答案解析由双曲线方程mx2y21，知mb，只有B1F1B260，tan 30，cb，又a2c2b22b2，e.活动四 课堂小结1.渐近线是双曲线特有的

13、性质.两方程联系密切，把双曲线的标准方程1 (a0，b0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程.反之由渐近线方程axby0变为a2x2b2y2(0)，再结合其他条件求得，可得双曲线方程.2.准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形.你曾落过的泪，最终都会变成阳光，照亮脚下的路。 （舞低杨柳楼心月 歌尽桃花扇底风）我不去想悠悠别后的相逢是否在梦中，我只求此刻铭记那杨柳低舞月下重阁，你翩若惊鸿的身影，和那桃花扇底悄悄探出的半面妆容与盈盈水眸。用宁静的童心来看，这条路是这样的：它在两条

14、竹篱笆之中。篱笆上开满了紫色的牵牛花，在每个花蕊上，都落了一只蓝蜻蜓。 你必得一个人和日月星辰对话，和江河湖海晤谈，和每一棵树握手，和每一株草耳鬓厮磨，你才会顿悟宇宙之大、生命之微、时间之贵我一直以来都弄不明白，为什么不管做了多么明智合理的选择，在结果出来之前，谁都无法知道它的对错。到头来我们被允许做的，只是坚信那个选择，尽量不留下后悔而已。看不见的，是不是就等于不存在？记住的，是不是永远不会消失？每一个黄昏过后，大家焦虑地等待，却再也没有等到月亮升起。潮水慢慢平静下来，海洋凝固成一面漆黑的水镜，没有月亮的夜晚，世界变得清冷幽寂但是，最深的黑夜即将过去，月亮出来了记忆的冰川在岁月的侵蚀下，渐渐

15、崩塌消融。保持着最初的晶莹的往事，已经越来越稀少。 灼灼其华，非我桃花。苍苍蒹葭，覆我其霜。芦荻不美，桃花艳妖。知我怜我，始觉爱呵。只要春天还在我就不会悲哀纵使黑夜吞噬了一切太阳还可以重新回来只要生命还在我就不会悲哀纵使陷身茫茫沙漠还有希望的绿洲存只要明天还在我就不会悲哀冬雪终会悄悄融化春雷定将滚滚而来孤独，寂静，在两条竹篱笆之中，篱笆上开满了紫色的牵牛花，在每个花蕊上，都落了一只蓝蜻蜓。 一袭粉色拖地蝶园纱裙，长发垂至脚踝，青丝随风舞动。眸若点漆，水灵动人，冰肤莹彻，气质脱俗，眼波转动间却暗藏睿智锋芒。淡雅如仙，迎风而立的她，宛若来自天堂的。暖有时候猛烈地指责别人说谎，其实是太渴望那消息真实

16、。 原来时间也会失误和出现意外，并因此迸裂，在某个房间里留下永恒的片段。尘世里，总有些什么，让我们不自觉地微笑，使我们的坚硬，在一瞬间变得柔软。婴儿的梦呓，幼童的稚语，夕阳下相互搀扶的老人.那天黄昏，紫岚在栖身的石洞口默黩地注视着落日。余晖变幻着色调，嫣红、水红、玫瑰红，转瞬便消失在天涯尽头；草原被铅灰色的暮霭垄断了，苍茫沉静。 孔明灯真的很漂亮，就像是星星流过天河的声音。你既然已经做出了选择，又何必去问为什么选择。 原来岁月太长，可以丰富，可以荒凉。能忘掉结果，未能忘掉遇上。我不可抑制地在脑海勾勒这样的景象：黄昏。风。无垠的旷野。一棵树。-就那么一棵树，孤零零的。风吹动它的每一片叶子，每一片

17、叶子，都在骨头里作响。天高路远，是永不能抵达的摸样. 孤单时，仍要守护心中的思念，有阴影的地方，必定有光 最好的时光，是经由记忆粉饰的过往。我们会不由自主地忘记伤痛，欢天喜地地投向下一个天国。过往的人事，在前行的途中偶尔显身于记忆，又不可挽留地悄然远去。谁也阻止不了忘记的步伐每一次的离别都在夏天，明明是最火热的季节，却承载着最盛大的离别。睡着你的秘密，醒着你的自由。它的篱笆结实而疏朗，有清风徐徐穿过。人生有很多选择，一个选择又决定下个选择，所以，选择的时候只要是自己内心所想的，也值了，怕的就是，明明不愿意，又不得不选择。人生最遗憾的，莫过于轻易地放弃了不该放弃的，固执地坚持了不该坚持的 早春二

18、月，乍暖还寒的时候，鹅黄隐约，新绿悄绽，昭示着生命的勃勃，那是旭日般的青春；阳春三月，杏花春雨时节，桃红柳绿，柔风扶雨，飘扬着自然的伟力，那是如火的中年；晚春四月，芳菲渐尽之际，远山幽径，柳暗花明，辉煌着黄昏的执著，这是晚晴的暮年人都说顺其自然，其实一点都不是，而是实在别无选择的选择。 有个地方，名为汴梁，那年桃花肆意，旧年，桃花消散在汴梁。桃花十八年，繁华再现，桃花盛开三千夜，只需花颜亦墨离。那个汴梁有个童谣：桃花屋外飞满天，桃花谷里醉缠绵。桃花屋内冷桃茶，夭夭桃花葬桃恋。问桃花十八为几年，不谈墨离负花颜，江河暗流痴情魂，温柔十里桃花人。竹马青梅，亦是无猜，满眼繁花，只为那十八年的傻傻等候，

19、公子俊秀，书画幔纱，唯有流逝一瞬，继过千年。1、起地你出小起时，我们手牵手，看过声地你一棵树的叶子，闻过声地你一朵花香。夏日如格成我实每我们一实每吃孩把发一冰激凌一实每在绿茵道上玩会也嬉闹。我们不实把发一零食和啤酒，坐在广时说的大草作把上看电影。冬日午实每好如我躺在在作腿上晒把发一太阳的慵懒时光我躺在在作怀如格成我实每，风着一格光透格成我就为吃孩风着一格玻璃窗，温暖一格那他的开清亮。实每好如来作把图上几公分的距离，成了我们那他也也天过却法跨越的海角开天觉涯。 小小的白纸上记录着我们的曾经虽然有的时候真的相信的未必开花结果可是那本子里记录的快乐与我们的青春与泪水与那时的我们，还谈论着自己的青春、

20、年少与梦想记得那一年你的离开我在夜里痛哭了一场那天，你的作文被贴在最显眼的地方当我们蜂拥来到你的作文旁却只得到你要走了的消息可你却不彻底磨灭我们的希望你说过你会回来我相信你所以我就傻傻的等着一年又一年，就这样两年时光飞逝正当我要忘记你时，你回来了那时我真的很高兴好像冲上讲台，拥抱一下你问问你，这几年过得好吗本上的荷花提醒着我们要出淤泥而不染更要濯清涟而不妖是你让我懂得了友情的可贵我们一定会再见的“你想要我追那只风筝给你吗?”他的喉结吞咽着上下蠕动。风掠起他的头发。我想我看到他点头“为你，千千万万遍。”我听见自己说。然后我转过身，我追。它只是一个微笑，没有别的了。它没有让所有事情恢复正常。它没有

21、让任何事情恢复正常。只是一个微笑，一件小小的事情，像是树林中的一片叶子，在惊鸟的飞起中晃动着。但我会迎接它，张开双臂。因为每逢春天到来，它总是每次融化一片雪花；而也许我刚刚看到的，正是第一片雪花的融化。我追。一个成年人在一群尖叫的孩子中奔跑。但我不在乎。我追。风拂过我的脸庞，我唇上挂着一个像潘杰希尔峡谷那样大大的微笑。我追。 一个安静的夜晚，我独自一人，有些空虚，有些凄凉。坐在星空下，抬头仰望美丽天空，感觉真实却又虚幻，闪闪烁烁，似乎看来还有些跳动。美的一切总在瞬间，如同“海市蜃楼”般，也只是刹那间的一闪而过，当天空变得明亮，而这星星也早已一同退去夕阳已去，皎月方来。 -朱自清月光如流水一般，

22、静静地泻在这一片叶子和花上。薄薄的青雾浮起在荷塘里。叶子和花仿佛在牛乳中洗过一样；又像笼着轻纱的梦。虽然是满月，天上却有一层淡淡的云，所以不能朗照；但我以为这恰是到了好处酣眠固不可少，小睡也别有风味的。月光是隔了树照过来的，高处丛生的灌木，落下参差的斑驳的黑影，峭愣愣如鬼一般；变变的杨柳的稀疏的倩影，却又像是画在荷叶上。塘中的月色并不均匀；但光与影有着和谐的旋律，如梵婀玲上奏着的名曲。东风里， 掠过我脸边， 星呀星的细雨， 是春天的绒毛呢。好久不见，你们还好吗？一直觉得学校最神圣的能力，就是把一些原本毫无瓜葛的人聚在了一间教室里，并在他们最美好的年纪，留下了一生中最珍贵的记忆。然后不经意间，也决定了很多人这一生中最好的朋友是谁。许多年过去，我们已经渐渐长大，也渐渐散落在天涯。那些白衣飘飘的年代仿佛还在昨天，那些风华正茂的人呐，仿佛还是少年将清晨化成钥匙，扔到水井去。慢慢走，我心爱的月亮，慢慢走，让朝阳忘记从东方升起，慢慢走，我心爱的月亮