1、立方和与立方差公式精编版第一阶梯 例1我们来计算(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2,这就是说,两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,这个公式就叫做乘法的平方差公式,利用这个公式计算: (1)(2x+3y)(2x-3y) (2)(1+2a)(1-2a) (3)(2x3+5y2)(2x3-5y2) (4)(-a2-b2)(b2-a2) 提示: 刚开始使用公式,运算格式可分两步走,第一步先按公式特征写出一个框架,如(1)(2x+3y)(2x-3y) =( )2-( )2,第二步分析哪项相当于公式中的a,哪项相当于公式中的b,并在框架中填数计算。 参考答案: (1)(
2、2x+3y)(2x-3y)=(2x)2-(3y)2=4x2-9y2 (2)(1+2a)(1-2a) =12-(2a)2=1-4a2 (3)(2x3+5y2)(2x3-5y2)=(2x3)2-(5y2)2=4x6-25y4 (4)(-a2-b2)(b2-a2)=(-a2-b2)(-a2+b2)=(-a2)2-(b2)2=a4-b4 说明: 平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的特征是: (1)左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数。 (2)右边是乘式中两项的平方差:即用相同项的平方减去相反项的平方,在学习平方差公式时还应注意: 公式中的a和b可以是具体数,
3、也可以是单项式或多项式 一定要认真仔细地对题目进行观察研究,把不符合公式标准形式的题目加以调整,使它变化为符合公式标准的形式,如第(4)小题。 例2计算(a+b)2和(a-b)2,可知(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2,即(ab)2=a22ab+b2,这就是说,两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或者减去)它们积的2倍,这两个公式叫做乘法的完全平方公式。利用这两个公式计算(1)(x+5)2 (2)(2-y)2 (3)(3a+2b)2 (5) (-a+2b)2 提示
4、: 在套用完全平方公式进行计算时,一定要先弄清题目中的哪个数或式是a,哪个数或式是b。 参考答案: (1)(x+5)2=x2+2x5+52=x2+10x+25 (2)(2-y)2=22-22y+y2=4-4y+y2 (3)(3a+2b)2=(3a)2+23a2b+(2b)2=9a2+12ab+4b2 (5)(-a+2b)2=(-a)2+2(-a)2b+(2b)2=a2-4ab+4b2 说明: 1、(a+b)2=a2+2ab+b2与(a-b)2=a2-2ab+b2都叫做完全平方公式,为了区别,我们把前者叫做两数和的完全平方公式,后者叫做两数差的完全平方公式。 2、这两个公式的结构特征是:左边是两
5、个相同的二项式相乘,(即二项式的平方形式),右边是三项式,是左边二项式中两项的平方和,加上(这两项相加时)或减去(这两项相减时)这两项乘积的2倍。 3、公式中的字母a、b既可以表示具体的数,也可以表示单项式或多项式等代数式。 4、只要符合这一公式的结构特征,就可以运用这一公式,在运用公式时,注意防止发生(ab)2=a2b2这样的错误。 例3计算(a+b)(a2-ab+b2)和(a-b)(a2+ab+b2),可知(a+b)(a2-ab+b2)=a2-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3,(a-b)(a2+ab+b2)=a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3=a3-b3,即(ab)
6、(a2ab+b2)=a3b3,这就是说,两数和(或差)乘以它们的平方和与它们的积的差(或和),等于这两个数的立方和(或差),这两个公式叫做乘法的立方和公式与立方差公式,利用这两个公式计算: (1)(x+2)(x2-2x+4); (2)(3-y)(9+3y+y2) ; (3)(3x-4y)(9x2+12xy+16y2); (5)(3x2-2y2)(9x4+6x2y2+4y4) 提示: 先弄清题目是用立方和公式还是用立方差公式计算,再弄清题目中哪个数或式是a,哪个数或式是b,最后再代入公式计算。 参考答案: (1)(x+2)(x2-2x+4)=(x+2)(x2-x2+22)=x3+23=x3+8
7、(2)(3-y)(9+3y+y2)=(3-y)(32+3y+y2)=33-y3=27-y3 (3)(3x-4y)(9x2+12xy+16y2)=(3x-4y)(3x)2+3x4y+(4y2)=(3x)3-(4y)3=27x3-64y3 (5)(3x2-2y2)(9x4+6x2y2+4y4)=(3x2-2y2)(3x2)2+3x22y2+(2y2)2=(3x2)3-(2y2)3=27x6-8y6 说明: 1、注意对公式的理解和记忆(1)项数特征:两项乘三项积为二项,(2)符号特征:二项的因式若两项都为+,则三项的因式符号为+,-,+,积的符号与二项因式的符号相同,二项的因式符号若为+,-,则三项
8、的因式符号为+,+,+,积的符号与二项因式的符号相同,即是说公式在各种条件都相符的情况下,所得的积是两数的立方和还是两数的立方差,主要看乘积中第一个乘式是两数和,还是两数差。 2、公式中的字母a、b仍代表任意数或代数式。 第二阶梯 例1利用乘法公式计算: (1)(x+3)(x-3)(x2+9) (2) (a+b)(a-b)(a2-b2) (3) (x-2)(x+2)(x4+4x2+16) (4) (a-b)(a2+ab+b2)(a6+a3b3+b6) 提示: (1)小题可两次使用平方差公式; (2)小题先使用平方差公式,再使用完全平方公式; (3)小题先使用平方差公式,再使用立方差公式 (4)
9、小题两次使用立方差公式。 参考答案: (1)(x+3)(x-3)(x2+9)=(x2-9)(x2+9)=(x2)2-92=x4-81 (2)(a+b)(a-b)(a2-b2)=(a2-b2)(a2-b2)=(a2-b2)2=(a2)2-2a2b2+(b2)2=a4-2a2b2+b4 (3)(x-2)(x+2)(x4+4x2+16)=(x2-4)(x4+4x2+16)=(x2)3-43=x6-64 (4)(a-b)(a2+ab+b2)(a6+a3b3+b6)=(a3-b3)(a6+a3b3+b6)=(a3)3-(b3)3=a9-b9 说明: 遇到多项式的乘法问题,首先应看看是否符合某个乘法公式,
10、若有恰当的公式使用可大大简化运算过程。 例2运用乘法公式计算: (1) (a+b+c)(a-b-c) (2) (a-2b+3c)(a+2b-3c) (3) (x+2y+z)2 (4) (2x-3y-4z)2 提示: (1)(2)小题可利用平方差公式进行计算;(3)(4)小题可利用完全平方公式进行计算。 参考答案: (1)(a+b+c)(a-b-c)=a+(b+c)a-(b+c)=a2-(b+c)2=a2-(b2+2bc+c2)=a2-b2-2bc-c2 (2) (a-2b+3c)(a+2b-3c)=a-(2b-3c)a+(2b-3c)=a2-(2b-3c)2=a2-(4b2-12bc+9c2)
11、=a2-4b2-12bc-9c2 (3)(x+2y+z)2=x+(2y+z)2=x2+2x(2y+z)+(2y+z)2=x2+4xy+2xz+4y2+4yz+z2 (4) (2x-3y-4z)2=2x-(3y+4z)2=(2x)2-22x(3y+4z)+(13y+4z)2=4x2-4x(3y+4z)+(19y2+24yz+16z2)=4x2-12xy-16xz+9y2+24yz+16z2 说明: 进行多项式乘法运算时,一定要认真仔细地对题目进行观察研究,把不符合公式标准形式的题目加以调整。适当地添加括号,将有利于应用乘法公式,添加括号方式的不同,可一题多解,如(4)小题还可添加括号为(2x-3
12、y)-4z2,但得出的结果均相同。 例3利用乘法公式计算: (1)(x+1)(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1) (2)(a+b)(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2) 提示: (1)小题前两个因式可利用平方差公式计算,后两个因式也可利用平方差公式计算,也可以将第一个因式与第四个因式结合利用立方和公式,第二个因式与第三个因式结合利用立方差公式(2)小题类似。 参考答案: (1) 解法一: (x+1)(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1) = (x2-1)(x2+1)2-x2 = (x2-1)(x4+2x2+1-x2) = (x2-1)(x4+x2+1) = (x2-1)(
13、x2)2+x2-1+12 = (x2)3-13= x6-1 解法二: (x+1)(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1) = (x+1)(x2-x+1)(x-1)(x2+x+1) =(x3+1)(x3-1) = (x3)2-12 = x6-1 (2) 解法一: (a+b)(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2) = (a2-b2)(a2+b2)2-(ab)2 = (a2-b2)(a4+2a2b2+b4-a2b2) = (a2-b2)(a4+a2b2+b4) = (a2)3-(b2)3 = a6-b6 解法二: (a+b)(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2) = (a+
14、b)(a2-ab+b2)(a-b)(a2+ab+b2) = (a3+b3)(a3-b3) = (a3)2-(b3)2 =a6-b6 说明: 进行整式乘法运算时,要注意观察题目的特点,统观全局,恰当地选用所学的乘法公式或用乘法法则进行计算,以上两道小题的解法中,显然解法二先运用立方和,立方差公式,再运用平方差公式,这样做既简便又不易出错。第三阶梯 例1 (1)化简化求值:(x+2)(x2-2x+4)+(x-1)(x2+x+1),其中 (2)解方程:(2x+1)2-(x+1)(x-1)-3x(x-1)=0 提示: 用乘法公式进行化简 参考答案: (1) (x+2)(x2-2x+4)+(x-1)(x
15、2+x+1) = x3+8+x3-1 = 2x3+7 当时, (2)(2x+1)2-(x+1)(x-1)-3x(x-1)=0 解: (4x2+4x+1)-(x2-1)-3x2+3x=0 4x2+4+1-x2+1-3x2+3x=0 7x=-2 说明: 在化简求值和解方程的过程中,如果遇到多项式的乘法,应先观察能否运用乘法公式,如果能运用,很多乘法就可直接应用公式写出结果,这充分简化了计算过程。 例2已知a+b=3,ab=-8,求下列各式的值。 (1)a2+b2 (2) a2-ab+b2 (3) (a-b)2 (4) a3+b3 提示: 由完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2,可知a2+b
16、2=(a+b)2-2ab,利用已知条件可求出a2+b2的值,再分别代入(2),(3),(4),可求出(2),(3),(4)式的值。注意,第(4)小题应逆用立方和公式。 参考答案: (1) a2+b2=(a+b2)-2ab=32-2(-8)=9+16=25 (2) a2-ab+b2=a2+b2-ab=25-(-8)=25+8=33 (3) (a-b)2=a2-2ab+b2=a2+b2-2ab=25-2(-8)=25+16=41 (4) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)(a2+b2-ab)=325-(-8)=333=99 说明: 灵活运用公式变形和逆用公式,这些都是常用的解题
17、技巧。 例3若两个连续自然数的平方差是17,求这两个自然数的和? 提示: 设一个自然数为x,另一个自然数为x+1,根据题意,列出方程,求出这两个自然数,进而求出它们的和 参考答案: 解:设这两个连续自然数是x,x+1 根据题意得, (x+1)2 -x2 =17 x2+2x+1-x2=17 2x+1=17 2x=16 x=8 x+1=8+1=9 x+(x+1)=8+9=17 答:这两个自然数的和是17。 说明: 解方程时还可逆用平方差公式(x+1)2-x2 =(x+1+x)(x+1-x)=2x+1 四、检测题A组 选择题 1下列各式能用平方差公式进行计算的是( ) A.(a+2)(-a-2) B
18、.(-x-y)(y-x) C. D.(2x+y)(x-2y) 2若16x2+mxy+81y2是一个完全平方式,则m的值为( ) A.36 B.72 C.-72 D.72 3a3-27b3的一个因式是 ( ) A.a2+3ab+9b2 B.a2+3ab+9b2 C.a2-3ab+b2 D.a2-3ab+b2 4若x+y=9,xy=16,则 x2+y2=( ) A.81 B.17 C.49 D.145 填空题 1、(3x+2y)=( ) = 9x2-4y2 2、(-1+2a)(-1-2a) =( ) 3、(0.3x+y)2=( ) 4、x2+x+( )= 5、9x2-( )+49y2=(3x-7y
19、)2 6、(2a+3b)(4a2-6ab+9b2) =( ) 7、( )(m4-m2+1)=m6+1 8、a2+b2=(a+b)2- ( ) 9、(a+b)2=(a-b)2+ ( ) 10、(p2-q) ( )=p6-q3B组 1、计算: (1)(x+2)(x-2)(x2+4) (2)(x-y+1)(x+y-1) (3)(a+b+c)2 (4)(x+3)(x-3)(x2-3x+9)(x2+3x+9) (5) (6)2022 2、化简求值: 3、解方程:4(x-3)2-(2x+1)2=(3x+1)(1-3x)+9x2 答案: A组答案: 选择题 1、B 2、D 3、A 4、C 填空题 1、3x-2y 2、1-4a2 3、0.09x2+0.6xy+y2 4、 5、42xy 6、8a3+27b3 7、m2+1 8、2ab 9、4ab 10、p4+p2q+q2 B组答案: 1、(1)x4-16 (2)x2-y2+2y-1 (3) a2+2ab+b2+c2+2ac+2bc (4)x6-729 (6)40804 2、-39 3、 4、
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