第2讲 空间中的平行与垂直.docx

1、第2讲 空间中的平行与垂直第2讲 空间中的平行与垂直高考定位1.以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断，主要以选择题、填空题的形式出现，题目难度较小；2.以解答题的形式考查空间平行、垂直的证明，并常与几何体的表面积、体积相渗透.真 题 感 悟 1.(2019全国卷)设，为两个平面，则的充要条件是()A.内有无数条直线与平行B.内有两条相交直线与平行C.，平行于同一条直线D.，垂直于同一平面解析若，则内有无数条直线与平行，当无数条直线互相平行时，与可能相交；若，平行于同一条直线，则与可以平行也可以相交；若，垂直于同一个平面，则与可以平行也可以相交，故A，C，D中条件均不是的充要条件.根据

2、两平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立.因此B中条件是的充要条件.答案B2.(2019全国卷)如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A.BMEN，且直线BM，EN是相交直线B.BMEN，且直线BM，EN是相交直线C.BMEN，且直线BM，EN是异面直线D.BMEN，且直线BM，EN是异面直线解析连接BD，BE，点N是正方形ABCD的中心，点N在BD上，且BNDN，BM，EN是DBE的中线，BM，EN必相交.连接CM，设DEa，则ECDCa，MCa，平面ECD平面ABCD，且BC

3、DC，BC平面EDC，则BDa，BEa，BMa，又ENa，故BMEN.答案B3.(2018全国卷)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为()A. B. C. D.解析如图，依题意，平面与棱BA，BC，BB1所在直线所成角都相等，容易得到平面AB1C符合题意，进而所有平行于平面AB1C的平面均符合题意.由对称性，知过正方体ABCDA1B1C1D1中心的平面面积应取最大值，此时截面为正六边形EFGHIJ.正六边形EFGHIJ的边长为，将该正六边形分成6个边长为的正三角形.故其面积为6.答案A4.(2019全国卷)如图，直四棱柱ABCDA1B1C

4、1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.(1)证明：MN平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离.(1)证明连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以MEB1C，且MEB1C.又因为N为A1D的中点，所以NDA1D.由题设知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME綊ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MNED.又MN平面C1DE，ED平面C1DE，所以MN平面C1DE.(2)解过点C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DEBC，DEC1C，又BCC1CC，BC，C1C平面C1CE，所以DE平面C1CE，故DEC

5、H.所以CH平面C1DE，故CH的长即为点C到平面C1DE的距离.由已知可得CE1，C1C4，所以C1E，故CH.从而点C到平面C1DE的距离为.考 点 整 合 1.直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a，b，aba.(2)线面平行的性质定理：a，a，bab.(3)面面平行的判定定理：a，b，abP，a，b.(4)面面平行的性质定理：，a，bab.2.直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m，n，mnP，lm，lnl.(2)线面垂直的性质定理：a，bab.(3)面面垂直的判定定理：a，a.(4)面面垂直的性质定理：，l，a，ala.热点一空间点、线、面位置关系

6、【例1】(1)(多选题)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是()(2)已知m，n为异面直线，m平面，n平面.直线l满足lm，ln，l，l，则()A.且lB.且lC.与相交，且交线垂直于lD.与相交，且交线平行于l解析(1)法一对于选项B，如图(1)所示，连接CD，因为ABCD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQCD，所以ABMQ，又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB平面MNQ.A项中直线AB与平面MNQ不平行.图(1)图(2)法二对于选项A，其中O为BC的中点

7、(如图(2)所示)，连接OQ，则OQAB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行.即A项中直线AB与平面MNQ不平行，其余选项中都平行.(2)由于m，n为异面直线，m平面，n平面，则平面与平面必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足lm，ln，则交线平行于l，故选D.答案(1)BCD(2)D探究提高1.判断空间位置关系命题的真假(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断.(2)借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定.2.两点注意：(1)平面几何中的

8、结论不能完全引用到立体几何中；(2)当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断.【训练1】 已知直线m，l，平面，且m，l，给出下列命题：若，则ml；若，则ml；若ml，则；若ml，则.其中正确的命题是()A. B. C. D.解析对于，若，m，则m，又l，所以ml，故正确，排除B.对于，若ml，m，则l，又l，所以.正确.故选A.答案A热点二空间平行、垂直关系的证明【例2】 如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3

9、)平面BEF平面PCD.证明(1)平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA平面PAD，PA底面ABCD.(2)ABCD，CD2AB，E为CD的中点，ABDE，且ABDE.四边形ABED为平行四边形.BEAD.又BE平面PAD，AD平面PAD，BE平面PAD.(3)ABAD，而且ABED为平行四边形.BECD，ADCD，由(1)知PA底面ABCD，且CD平面ABCD，PACD，且PAADA，PA，AD平面PAD，CD平面PAD，又PD平面PAD，CDPD.E和F分别是CD和PC的中点，PDEF.CDEF，又BECD且EFBEE，EF，BE平面BEF，CD平面BEF，又CD平

10、面PCD，平面BEF平面PCD.【迁移1】在本例条件下，证明平面BEF平面ABCD.证明如图，连接AC，设ACBEO，连接FO，AE.ABCD，CD2AB，CECD，AB綉CE.四边形ABCE为平行四边形.O为AC的中点，又F为PC的中点，则FOPA，又PA平面ABCD，FO平面ABCD.又FO平面BEF，平面BEF平面ABCD.【迁移2】在本例条件下，若ABBC，求证：BE平面PAC.证明连接AC，设ACBEO.ABCD，CD2AB，且E为CD的中点.AB綉CE.四边形ABCE为平行四边形，又ABBC，四边形ABCE为菱形，BEAC.又PA平面ABCD，又BE平面ABCD，PABE，又PAA

11、CA，PA，AC平面PAC，BE平面PAC.探究提高垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.【训练2】 (2019江苏卷)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，ABBC.求证：(1)A1B1平面DEC1；(2)BEC1E.证明(1)因为D，E分别为BC，AC的中点，所以EDAB.在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABA1B1，所以A1B1ED.又因为ED平面DE

12、C1，A1B1平面DEC1，所以A1B1平面DEC1.(2)因为ABBC，E为AC的中点，所以BEAC.因为三棱柱ABCA1B1C1是直棱柱，所以C1C平面ABC.又因为BE平面ABC，所以C1CBE.又C1C平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，且C1CACC，所以BE平面A1ACC1.因为C1E平面A1ACC1，所以BEC1E.热点三平面图形中的折叠问题【例3】 (2019全国卷)图是由矩形ADEB，RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB1，BEBF2，FBC60.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图.(1)证明：图中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC

13、平面BCGE；(2)求图中的四边形ACGD的面积.(1)证明由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，所以AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面.由已知得ABBE，ABBC，且BEBCB，BE，BC平面BCGE，所以AB平面BCGE.又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE.(2)解如图，取CG的中点M，连接EM，DM.因为ABDE，AB平面BCGE，所以DE平面BCGE，又CG、EM平面BCGE，故DECG，DEEM.由已知，四边形BCGE是菱形，且EBC60，得EMCG，又DEEME，DE，EM平面DEM，故CG平面DEM.又DM平面DEM，因此DMCG.在RtDEM中

14、，DE1，EM，故DM2.又CGBF2，所以四边形ACGD的面积为S224.探究提高1.解决与折叠有关的问题的关键是找出折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同一侧的线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口.2.在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形，善于将折叠后的量放在原平面图形中进行分析求解.【训练3】 (2019济南模拟)如图1，在直角梯形 ABCD中，ADBC，BAD，ABBCADa，E是AD的中点，O是AC与BE的交点.将ABE沿BE折起到图2中A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE. (1)证明：CD

15、平面A1OC；(2)当平面A1BE平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值.(1)证明在图1中，因为ABBCADa，E是AD的中点，BAD，所以BEAC，即在图2中，BEA1O，BEOC，从而BE平面A1OC.又CDBE，所以CD平面A1OC.(2)解由已知，平面A1BE平面BCDE，又由(1)知，OA1BE，所以A1O平面BCDE，即A1O是四棱锥A1BCDE的高，由图1可知，A1OABa，平行四边形BCDE的面积SBCABa2，从而四棱锥A1BCDE的体积为VSA1Oa2aa3，由a336，得a6.热点四空间线面关系的开放性问题【例4】 (2019北京卷)如图，在四棱锥PA

16、BCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.(1)求证：BD平面PAC；(2)若ABC60，求证：平面PAB平面PAE；(3)棱PB上是否存在点F，使得CF平面PAE？说明理由.(1)证明因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD.因为底面ABCD为菱形，所以BDAC.又PAACA，所以BD平面PAC.(2)证明因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE.因为底面ABCD为菱形，ABC60，且E为CD的中点，所以AECD.又因为ABCD，所以ABAE.又ABPAA，所以AE平面PAB.因为AE平面PAE，所以平面PAB平面PAE.(3)解棱PB上存在点F

17、，使得CF平面PAE.理由如下：取PB的中点F，PA的中点G，连接CF，FG，EG，则FGAB，且FGAB.因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CEAB，且CEAB.所以FGCE，且FGCE.所以四边形CEGF为平行四边形.所以CFEG.因为CF平面PAE，EG平面PAE，所以CF平面PAE.探究提高1.求解探究性问题常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，并可进一步证明；若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说明假设不成立.2.探索线段上是否存在满足题意的点时，注意三点共线条件的应用.【训练4】 (20

18、19海南模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，DAB30，PD平面ABCD，AD2，点E为AB上一点，且m，点F为PD中点.(1)若m，证明：直线AF平面PEC；(2)是否存在一个常数m，使得平面PED平面PAB？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.(1)证明如图作FMCD，交PC于点M，连接EM，因为点F为PD的中点，所以FMCD.因为m，所以AEABFM，又FMCDAE，所以四边形AEMF为平行四边形，所以AFEM，因为AF平面PEC，EM平面PEC，所以直线AF平面PEC.(2)解存在一个常数m，使得平面PED平面PAB，理由如下：要使平面PED平面PAB，只需ABD

19、E，因为ABAD2，DAB30，所以AEADcos 30，又因为PD平面ABCD，PDAB，PDDED，所以AB平面PDE，因为AB平面PAB，所以平面PDE平面PAB，所以m.1.空间中点、线、面的位置关系的判定(1)可以从线、面的概念、定理出发，学会找特例、反例.(2)可以借助长方体，在理解空间点、线、面位置关系的基础上，抽象出空间线、面的位置关系的定义.2.垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换：三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的

20、性质定理进行平行转换.(2)证明线线垂直常用的方法：一是利用等腰三角形底边中线即高线的性质；二是利用勾股定理；三是利用线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l，ala.3.解决平面图形的翻折问题，关键是抓住平面图形翻折前后的不变“性”与“量”，即两条直线的平行与垂直关系以及相关线段的长度、角度等.巩固提升一、选择题1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()A.A1EDC1 B.A1EBDC.A1EBC1 D.A1EAC解析如图，由题设知，A1B1平面BCC1B1，从而A1B1BC1.又B1CBC1，且A1B1B1CB1，所以BC1平面A1

21、B1CD，又A1E平面A1B1CD，所以A1EBC1.答案C2.(多选题)已知，是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题中正确的是()A.如果mn，m，n，那么B.如果m，那么mC.如果l，m，m，那么mlD.如果mn，m，n，那么解析对于A，如果mn，m，则n或n，因为n，则，故正确；对于B，如果m，那么m与无公共点，则m，故正确；对于C，如果l，m，m，则ml，故正确；对于D，如果mn，m，n，那么的关系不正确，故错误.答案ABC3.(2018全国卷)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30，则该长方体的体积为()A.8 B.6 C.8 D.8

22、解析连接BC1，因为AB平面BB1C1C，所以AC1B30，ABBC1，所以ABC1为直角三角形.又AB2，所以BC12.又B1C12，所以BB12，故该长方体的体积V2228.故选C.答案C4.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则点E到平面ABC1D1的距离为()A. B. C. D.解析A1B1AB，点E在A1B1上，因此点E到平面ABC1D1的距离转化为点B1到此平面的距离，取BC1的中点O，则OB1BC1，OB1AB，B1O平面ABC1D1，则B1O为所求的距离，因此B1O是点E到平面ABC1D1的距离.答案B5.对于四面体ABCD，有以下命题：若ABACA

23、D，则AB，AC，AD与底面所成的角相等；若ABCD，ACBD，则点A在底面BCD内的射影是BCD的内心；四面体ABCD的四个面中最多有四个直角三角形；若四面体ABCD的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为.其中正确的命题是()A. B. C. D.解析正确，若ABACAD，则AB，AC，AD在底面的射影相等，即与底面所成角相等；图(1)不正确，如图(1)，点A在平面BCD的射影为点O，连接BO，CO，可得BOCD，COBD，所以点O是BCD的垂心；图(2)正确，如图(2)，若AB平面BCD，BCD90，则四面体ABCD的四个面均为直角三角形；正确，正四面体的内切球的半径为r，棱长为1，高为

24、，根据等体积公式S4Sr，解得r，那么内切球的表面积S4r2.故正确的命题是.答案D二、填空题6.如图，在空间四边形ABCD中，点MAB，点NAD，若，则直线MN与平面BDC的位置关系是_.解析由，得MNBD.而BD平面BDC，MN平面BDC，所以MN平面BDC.答案平行7.在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB平面BCD，且ABBCCD，则异面直线AC与BD所成角的大小为_.解析如图，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，EG，OG，FO，FG，则EFBD，EGAC，所以FEG为异面直线AC与BD所成的角.易知

25、FOAB，且AB平面BCD.所以FOOG.设AB2a，则EGEFa，FGa，所以FEG60，所以异面直线AC与BD所成的角为60.答案608.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，点D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF_时，CF平面B1DF.解析由题意易知，B1D平面ACC1A1，所以B1DCF.要使CF平面B1DF，只需CFDF即可.令CFDF，设AFx，则A1F3ax.易知RtCAFRtFA1D，得，即，整理得x23ax2a20，解得xa或x2a.答案a或2a三、解答题9.(2019潍坊模拟)如图，已

26、知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA底面ABCD，EDPA，且PA2ED2.(1)证明：平面PAC平面PCE；(2)若ABC60，求三棱锥PACE的体积.(1)证明如图，连接BD，交AC于点O，设PC的中点为F，连接OF，EF.易知O为AC的中点，所以OFPA，且OFPA.因为DEPA，且DEPA，所以OFDE，且OFDE，所以四边形OFED为平行四边形，所以ODEF，即BDEF.因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD.因为四边形ABCD是菱形，所以BDAC.因为PAACA，PA，AC平面PAC，所以BD平面PAC.因为BDEF，所以EF平面PAC.因为EF平

27、面PCE，所以平面PAC平面PCE.(2)解因为ABC60，ABCD是菱形，所以ABC是等边三角形，所以AC2.又PA平面ABCD，AC平面ABCD，所以PAAC.所以SPACPAAC2.因为EF平面PAC，所以EF是三棱锥EPAC的高.易知EFDOBO，所以三棱锥PACE的体积V三棱锥PACEV三棱锥EPACSPACEF2.10.(2018北京卷)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F分别为AD，PB的中点.(1)求证：PEBC；(2)求证：平面PAB平面PCD；(3)求证：EF平面PCD.证明(1)因为PAPD，E为AD的中点，所以PEAD.因为底面ABCD为矩形，所以BCAD.所以