五年级立体几何拓展三视图专属奥数讲义.docx

1、五年级立体几何拓展三视图专属奥数讲义立体几何拓展 -三视图 (教师版 )学科教师辅导讲义班级： 年 级： 五年级辅导科目：小学思维 学科教师：上课时间授课主题 立体几何拓展 - 三视图知识图谱错题回顾三视图知识精讲一三视图在观察物体的时候， 我们往往可以从不同的角度进行观察 角度不同， 看到的风景就会不同比如：我们可以从正面看，上面看，左面看，看到的图形分别称为正视图，俯视图和左视图并且容易发现： 正面看和后面看，上面看和下面看， 左面看和右面看得到的图形是1 / 17立体几何拓展 -三视图 (教师版 )相同的对于较复杂的立体图形，通过三视图法往往可以很方便地计算出表面积二正方体的展开图上后左

2、 下 右前我们采用不同的剪开方法，共可以得到下面展开后由上、下、左、右、前、后六个正方形面组成，这六个正方形面的面积都相等11 种展开图三长方体的展开图高长宽后面左面 下面 右面前面上面观察上图可以发现，长方体的展开图由 6 个长方形组成，相对面的面积相等，即上面 =下面 =长 宽，左面 =右面 =宽 高，前面 =后面 =长 高四判断图形折叠后能否围成长方体或正方体的方法判断一个图形折叠后能否围成正方体或长方体， 首先，要依据它们各自展开图的特点判断；其次，可以运用空间想象或实际操作进一步判断三点剖析重难点 ：展开图、三视图及三视图求个数和表面积题模精选2 / 17立体几何拓展 -三视图 (教

3、师版 )题模一：展开图与对立面例 1.1.1 一个正方体的六个面上分别写着A，B，C， D， E， F 六个字母请你根据图中的三种摆放情况，判断每个字母的对面是_， _， _A C DB F E B F E【答案】 B 与 D 相对， E 与 A 相对， C 与 F 相对【解析】 由于正方体的 6 个面上写了 6 个不同的字母， 那么每个字母在正方体的面上只能出现 1 次，如果 2 个字母在相邻的面上出现，那么它们一定不能相对第一步，先看前 2 种摆放情况：在这2 种摆放情况中，只有字母B 出现了2 次，那么由第一种摆放可知， B 不与 A 相对，也不与 F 相对；由第二种摆放可知，B 不与

4、C 相对，也不与 E 相对那么在所有的字母中，B 只能与 D 相对第二步，再看后 2 种摆放情况：在这2 种摆放情况中，只有字母E 出现了2 次，那么由第二种摆放可知， E 不与 B 相对，也不与 C 相对；由第三种摆放可知，E 不与 D 相对，也不与 F 相对那么在所有的字母中，E 只能与 A 相对正方体有三个对面，因B 与 D 相对， E 与 A 相对，那么第三组对面上一定是C 与 F 相对例 1.1.2 图中的四个正方体标字母的方式是完全相同的，请你利用图中已知的信息， 判断 A、C的对面分别标的是哪个字母？BEFA DDB C C C E A【答案】A 的对面标有 D， B 的对面标有

5、 F ， C 的对面标有 E【解析】由已知条件，标有 C， D 的两个面不能相对，那么或A 的对面标有 D，或 B 的对面标有 D 如果标有 D ，A 的两个面相对，那么 “标有 C，D 的两个面不能相对”，“标有 E，A 的两个面也不能相对 ”这两个条件都可以满足注意到当D 在朝右的面， E 在朝上的面时， F 在朝前的面上，那么只能是标有E， C 的两个面相对，而标有F ， B 的两个面相对经检验，这种情况满足题目要求如果标有 D ，B 的两个面相对，那么由于标有E， A 的两个面也不能相对，于是标有A 的对面就是标有 F 的面，而标有 C 的对面就是标有E 的面此时 D 在朝后的面上，

6、E 在朝左的面上， F 在朝下的面上我们把六面体旋转，把D 转到朝右的面，并把 E 转到朝上的面，3 / 17立体几何拓展 -三视图 (教师版 )此时朝前的面上标的是 A，而朝后的面上标的是 F ，与题意不符综上所述， 满足题意的答案只有一个： A 的对面标有 D，B 的对面标有 F ，C 的对面标有 E例 1.1.3 如图，第 1 个方格内放着一个正方体木块，木块六个面上分别写着 ABCDEF六个字母其中 A 与 D相对， B与 E 相对， C与 F 相对现在将木块标有字母 A 的那个面朝上，标有字母 D的那个面朝下放在第 1 个方格内，然后让木块按照箭头指向，沿着图中方格滚动，当木块滚到

7、21 格时，木块向上的面上写的是哪个字母？5921 20 19【答案】字母 A【解析】发现木块向左滚4 格后，各个面上标的字母与初始时的情况完全一致那么木块朝其它方向滚时也有类似的情况， 即木块向任意方向连滚4 格，它的各个面上标的字母不变所以木块向左滚 4 格到第 5 格时，各个面上标的字母与在第1 格时的情况完全一致 再向下滚 4 格到第 9 格，再向右滚4 格到第 13 格，再向下滚 4 格到第 17 格，最后向左滚 4 格到第21 格，每次都是朝同一方向滚4 格，因此在第 5 格，第 9 格，第 13 格，第 17 格，第 21 格木块向上的面上总是写的字母A例 1.1.4如图，在一个

8、正方体的表面上写着16 这 6 个自然数，并且 1 对着 4，2 对着 5，3对着 6现在将正方体的一些棱剪开，使它的表面展开图如图所示如果只知道1 和 2 所在的面，那么6 应该在哪个面上（写出字母代号）？31 A12B C2D【答案】A【解析】对于立方体展开图，我们可以把任一个面当作底面，把它还原成立方体的表面1 A 1 AB C 2 B C 2D D1 与 C 相对，C 面上写的是 4图 1 图 2如图 1，观察虚线圈住的部分，可以发现写有 1，A，B 的三个面两两相邻；再观察图 2 的虚线圈住的部分，发现写有 A， B，C 的三个面也两两相邻此时，写有 1 的面与 A 面， B 面都相

9、邻， C 面也与 A 面， B 面都相邻，因此写有 1 的面与 C 面相对，即 C 面上写的是 44 / 171 AB 4 2D立体几何拓展 -三视图 (教师版 )2 与 B 相对，1AB 面上写的是 554 2D图 3图 4观察图 3 中的虚线圈住的部分，容易看出写有 2 的面与 B 面相对， 因此 B 面上写的是 5则立方体展开图就如图 4 所示还剩下 A 面与 D 面上的数字没有确定，这两个面上分别写有3 和 6由于写有 1 的面，写有 5 的面与 A 面两两相邻，把这三个面还原到立方体中在图2 所示的立方体中， 5 与 2 相对，在立方体朝左的侧面上；1 在朝前的侧面上在展开图中以写有

10、1 的面为朝前的侧面，A 面为下底面， 则写有 5 的面恰好在朝左的侧面上 此时写有 1 的面，写有 5 的面都对齐了，而原立方体中下底面写有数字6，因此 A 面上就是 6例 1.1.5 下图是正方体，四边形 APQC是表示用平面截正方体的截面，截面的线表现在展开图的哪里呢？把大致的图形在右面展开图里画出来D CA D C G HBBA B F EHGQE P F【答案】 见解析【解析】 截线在展开图中如图所示：例 1.1.6 右图是一个立体图形的平面展开图， 图中的每个小方格都是边长为 1 的正方形 现在将其沿实线 折叠，还原成原来的立体图形，那么立体图形的体积等于 _5 / 17立体几何拓

11、展 -三视图 (教师版 )A 3 B 4 C 5 D 6【答案】 B【解析】 根据实线还原，体积为 4题模二：三视图求表面积例 1.2.1下图是由5 个相同的正方体木块搭成的，从上面看到的图形是（）A BCDA A 图 B B图 C C 图 D D图【答案】 C【解析】 5 个在原图均已看到，易知 C 符合要求例 1.2.2 右图是由 18 个棱长为 1 cm 的小正方形拼成的立体图形，它的表面积是（ ）平方厘米A 44B 46C 48D50【答案】 C【解析】从正面、左面、上面分别可看见8、7、9 块，故表面积为 18 79 2 48cm2 例 1.2.3 右图中的一些积木是由 16 块棱长

12、为 2 cm 的正方体堆成的， 它的表面积是 _cm2 【答案】 2006 / 17立体几何拓展 -三视图 (教师版 )【解析】从前到后的3 面依次有2 块、 5 块、 7 块，因此还剩 16 2572 块，为可看见的 1 块与其下方的1 块由此易知正视图、 俯视图、 左视图分别能看到7 块、9 块、 8 块，此外离我们最近的2 块有两个面从6 个方向均无法看到， 综上共可看到798 2 2 50个面，表面积为2250200cm2 例 1.2.4 图中的立体是由大小相同的若干单位正方体积木搭成的这样的积木一共有多少块？画出它的三视图，表面积是多少？【答案】 37；三视图如下图所示； 102正视

13、图 俯视图 左视图【解析】 将此图分为从左到右的 5 层，分别有 16、9、5、6、1 块，故共有 16 9 5 6 1 37块三视图见答案，分别可看见 17、15、 16 块，其中左视图有 3 块 “被遮挡 ”，因此表面积为 17 15 16 3 2 102 例 1.2.5 图中的立体图形由 11 个棱长为 1 的立方块搭成， 这个立体图形的表面积为 _【答案】34【解析】 按一定的顺序，从不同的角度来看这个立体图形的表面的面积题模三：已知三视图反推个数例 1.3.1 这个图形最少是由（ ）个正方体整齐堆放而成的7 / 17立体几何拓展 -三视图 (教师版 )A 12B 13C14D 15【

14、答案】 B【解析】从上面看下去，最少需要：1 2 24 12 1 13 2 12 21 4 1例 1.3.2 此图是某几何体从正面和左面看到的图形若该几何体是由若干个棱长为 1 的正方体垒成的，则这个几何体的体积最小是 _从正面看 从左面看【答案】 6【解析】 根据正视图，理论上最少需要 6 块而 6 块可以构造出来，例如，其俯视图如下图所示因此，体积最小为 13 6 6 例 1.3.3 一个立体图形，从前面，上面，右边三个方向看到的图形都如图所示，是一个样的，那么该立体图形最多由 _ 块小立方体组成【答案】 23【解析】 按由上到下逐层分析， 各层的小立方体数目分别不超过 1 个、4 个、8

15、 个、10 个，所以该立体图形最多由 23 个小立方体组成例 1.3.4 有一些大小相同的正方形木块堆成一堆，从上往下看是图 3-1 ，从前往后看是图3-2 ，从左往右看是图 3-3 ，那么这堆木块最多有多少块？最少有多少块？8 / 17立体几何拓展 -三视图 (教师版 )【答案】16， 13块这堆木块最多有 16 块，最少有 13 块【解析】434块，4241131 6例 1.3.5地上有一堆小立方体，从上面看时如图1 所示，从前面看时如图2 所示，从左边看时如图3 所示这一堆立方体一共有几个？如果每个小立方体的棱长为1 厘米，那么这堆立方体所堆成的立体图形表面积为多少平方厘米？图 1 图

16、2 图 3【答案】 10 个； 42 平方厘米【解析】 采用在俯视图上标数的方法来求解，只要知道俯视图上的每格有几块小立方体，就可以很轻松的得到这堆立方体所形成的立体图形的样子首先从俯视图很容易看出， 有 3 个格子里是没有小立方体的， 而其他 6 个格子里至少有一个小立方体如下图，将所得信息填入俯视图中000结合俯视图和主视图，不难看出，有两格只有 1 块小立方体将所得信息填入俯视图中1 000 1从前面看同样的， 结合俯视图和左视图， 又可以知道有一格只有 1 块小立方体 将所得信息填入俯视图中9 / 17立体几何拓展 -三视图 (教师版 )从10左0边看01我们来继续考虑， 左视图中最左

17、边一排有2 块小立方体， 所以俯视图左上角处有2 块小立方体将所得信息填入俯视图中210001同理， 主视图最右边一排有 2 块小立方体， 所以俯视图最右边中间处有 2 块小立方体 将所得信息填入俯视图中2 1 00 20 1 1不难看出，俯视图中最后剩下的那块有 3 个小立方体， 所以俯视图中每格的小立方体数如下：2 1 03 0 20 1 1于是这一堆立方体一共有21321110 个接着很容易得到这个立体图形的样子，如下图上下各能看到 6 个面， 前后各能看到 6 个面，左右各能看到 6 个面，同时注意到立体图形的中间共有 6 个会互相遮挡的面，所以表面积是 2 6 6 6 6 42平方厘

18、米10 / 17立体几何拓展 -三视图 (教师版 )随堂练习随练 1.1 将一正方体纸盒沿右图所示的粗实线剪开， 展开成平面图， 其展开图的形状为 （ ）A A 图 B B图 C C 图 D D图【答案】 B【解析】 竖向只剪了 1 刀，故前、后、左、右四个面应在一条线上， 排除 A 、D易知上、下两面不在一条线上，排除 C，故选 B 随练 1.2 水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示如下图，是一个正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面， “锦”表示右面，“程”表示下面 则“祝”、“你”、“前” 分别表示正方体的 _ 【答案】 后面、上面、左面【

19、解析】 易知你、程相对，前、锦相对，祝、似相对，因此 “祝 ”、 “你 ”、“前 ”分别表示正方体的后面、上面、左面随练 1.3 小明把五颗完全相同的骰子拼摆成一排 （如图），那么这五颗骰子底面上的点数之和是 _【答案】16【解析】根据已知推出(4,5)(1,3)(2,6) 互为对立面，所以这五颗骰子底面上的点数之和是6152216 随练 1.4右图是由八个相同的小正方体组成而成的几何体，则从正面观察，得到的平面图11 / 17立体几何拓展 -三视图 (教师版 )形是 _序号） 【答案】 【解析】 从正面看到图，从上面看到图，从右面看到图所以正确答案是图随练 1.5 由棱长为 1 的正方体搭成

20、如图所示的图形，共有 _个正方体，它的表面积是 _【答案】10； 34【解析】第一层有8 个，第二层有2 个，共 10 个其三视图分别能看到4、 5、 8 个，故表面积为 11458234 随练 1.6 如图，有 9 个边长为 1 米的正方体，如图所示堆成一个立体图形该立体图形的表面积等于 _ 平方米【答案】38【解析】利用三视图从前面、右面、上面看依次如图所示所以该立体图形的表面积是6672238 平方米1随练 1.7 如图 6，用若干个棱长为 1 的小正方体堆成一个大的几何体，这个几何体的表面积（含底面积）是 _12 / 17立体几何拓展 -三视图 (教师版 )图 6【答案】90【解析】根

21、据三视图， 大的几何体的表面积等于正视图面积+俯视图面积 +右视图面积的 2倍，所以是14151621290 随练 1.8 用棱长是 1 厘米的小立方体拼成如图所示的立体图形，这个图形的表面积是_平方厘米【答案】 46 平方厘米【解析】 如图 1，从立体图形上方和下方看去，看到的都是 9 块小正方形面积是 9 平方厘米图 1图 2从四个侧面看去，看到的是图2 形式的 7 块小正方形，面积是 7 平方厘米所以立体图形的表面积为927446 平方厘米随练 1.9 把若干个棱长为1 厘米的小正方体木块搭成一个图形，从上面和前面看到的都是如图所示的情形，这个图形最多需要_ 个这样的小正方体，最少需要_

22、个这样的小正方体【答案】 9； 7【解析】 由从上方看到的结果可知第一层必有 5 个，且第二层至多 5 个；由从前面看到的结果可知共有 2 层，且第二层至少 2 个再结合两个视图可知第二层至多 4 个综上， 最多13 / 17立体几何拓展 -三视图 (教师版 )9 个，最少 7 个自我总结课后作业作业 1 一个数学玩具的包装盒是正方体，其表面展开图如下现在每方格内都填上相应的数字已知将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面的两数之和为“ 3”，则填在 A、B、 C内的三个数字依次是 _ C 2B 0A 1【答案】3， 1， 2【解析】正方体的平面展开图中， 相对面之间一定隔着一个正方形，所以

23、在此正方体上与“A”相对的面上的数是“ 0”与“ B” 相对的面上的数是“ 2”与“ C”相对的面上的数是“ 1”所以 A、B、 C 内的三个数字依次是 3， 1，2作业 2把 1 至 6 各一个分别写在正方形的六个面上， 每个面只写一个数字， 且 1 与 4 相对，2 与 5 相对， 3 与 6 相对，从某个角度看到的三个面上的数字如图（a）所示，从另一个角度看到的三个面如图（）所示，那么图（b）中的“？”代表的数字是_bA 2 B 3 C 4 D 5【答案】 A【解析】 如图， 4 对面是 1 ，所以在图 a 中把 4 翻到底面，顶部变成了 1，如图 b，而 514 / 17立体几何拓展

24、-三视图 (教师版 )对面是 2,所以当 6 转到正面时， 5 在左侧，右侧自然是 2 了，故答案是 2作业 3 下图由一个正五边形，五个长方形，五个等边三角形组成，它是一个立体图形的平面展开图，那么这个立体图形有 _ 条棱【答案】 20【解析】 此立体图形，示意图如上：共 20 条棱作业 4 用若干个棱长为 1cm 的小正方体码放成如图所示的立体，则这个立体的表面积（含下底面面积）等于 _ cm2 【答案】 60【解析】 根据三视图，我们可知，此立体图形的前面与后面，左面与右面，上面与下面的表面积分别相等 所以我们只要知道前面有 11 个正方形， 右面有 8 个正方形， 上面有 11 个面，就可求出它露在外面的面共计 11 8 11 2 60个正方形，所以它的表面积是60 12 60cm2 15 / 17立体几何拓展 -三视图 (教师版 )作业 5 如图，把 19 个边长