粒计算下的粗糙集模型对照.docx

1、粒计算下的粗糙集模型对照粒计算下的粗糙集模型对照摘 要:提出了几种组合粒下的粗糙集模型,并将其与单一粒下的粗糙集进行了对照,同时又与粒逻辑运算下的粗糙集模型进行比对,制造性地取得了组合粒、单一粒和粒逻辑运算下的粗糙集模型之间的关系。结果说明,组合粒与粒逻辑运算组成了一个链结构,这为探讨基于信息粒的知识获取和动态粒的推理奠定了基础。关键词:组合粒;粒逻辑运算;单一粒;粗糙集;近似 Comparison of rough set model under granular computing ZHANG Xiao-feng, ZOU Hai-lin, JIA Shi-xiang (School of

2、 Information Science & Engineering, Ludong University, Yantai Shandong 264025, China) Abstract:This paper proposed the rough set model under combination granule, and compared it with that under single granular, also with rough set model under logical computing of granule, which contributed to th

3、e relationship between rough set models under combination granule, singular granules and logical computing of granules. Results show that combination granule and logical computing of granule construct a chain, which will lay a foundation for knowledge acquisition based on information granule and ind

4、uction based on dynamic granule. Key words:combination granule; logical computing of granule; single granular; rough set; approximation 0 引言 粒度计算是由Zadeh1于1996年提出,他以为,人类熟悉要紧基于三个要紧概念,即粒度、组织和因果。其中粒度计算是一把伞,涵盖了有关粒度计算的理论、方式论、技术和工具的研究,在粗糙集理论、概念格、知识工程、数据挖掘、人工智能、机械学习等领域有潜在的应用,已成为信息科学的研究热点之一2职称论文。 粗糙集3概念为给定关系

5、上集合的上近似与下近似组成的有序对,已被成功地应用于机械学习、决策分析、进程操纵、模式识别和数据挖掘等领域4。传统的粗糙集理论是基于单一粒概念的,即静态粒。文献57提出了多粒运算下的粗糙集理论模型,即MGRS(multi-granulations rough set,MGRS),并讨论了相关的数学性质。考虑到文献57中要紧讨论了集合在粒度P和Q的P+Q、PQ运算下的上下近似集合,本文对多粒运算下的粗糙集模型进行了进一步的讨论,并将其与单一粒度下的粗糙集模型进行了比较;同时,将多粒运算下的粗糙集模型与组合粒度下的粗糙集模型进行了?比较。 1 相关概念 本章给出的相关概念关于后续部份给出的讨论是必

6、要的。 概念1 命题逻辑中,命题P和Q的合取记为PQ。PQ为真当且仅当P和Q同时为真;命题P和Q的析取记为PQ,PQ为假当且仅当P和Q同时为假。 概念2 信息系统是一个四元组(U,A,V,f)。其中,U是对象的集合,称为域(universe);A是用来描述对象的属性的集合;V是属性集A的值域; f:UAV反映的是某个对象在某个属性上的取值,信息系统通常略写为(U,A)。 概念3 给定一个非空的域U,UU的子集EUU表示域U上的一个关系。有序对(U,E)称为一个近似空间8(approximation space)。 若是关系E知足自反性、对称性和传递性,那么E称为一个等价关系9。等价关系E对域U

7、能够形成一个划分,记为U/E。能够证明,等价关系和划分是等价的,即给定一个等价关系,能够构造域的划分;一样,给定域的一个划分,能够构造域上的一个等价关系。 信息系统(U,A)中,若是两个体x,yU在属性aA上取值相同,那么称二者在属性a上是不可分辨的。若是x,y在集合BA中的每一个属性bB都是不可分辨的,那么称二者在集合B上是不可分辨的。与x在集合B上不可分辨的所有个体的集合称为x在集合B上生成的等价类,记为x?B,它能够看成是由与x不可分辨的元素组成的信息粒8(information granule)。 定理1 域U上所有元素在集合A上生成的等价类知足以下三个条件9: a)?xU,有x?A?

8、; b)?x,yU,或x?A=y?A成立,或x?Ay?A=?成立; c)xUx?A=U。 该定理说明,在集合A上生成的所有等价类组成了域的一个划分,这些等价类称为大体等价类。 概念4 对域U的任一子集XU而言,若是它能够表示成某些等价类的并集,称x是精准的(或称为可概念的),不然称为粗糙的。若是一个概念XU是粗糙的,那么能够用两个精准概念的集合来近似,别离称为X的下近似或上近似,记为PX和X,概念如下: PX=x?PXx?P X=x?PX?x?P 其中:x?P=y|f(x,P)=f(x,P)是由x在属性集P上生成的等价类。显然有下式成立: PXXX 概念5 若是集合X是粗糙的,有序对PX,X称

9、为它的粗糙集。该粗糙集的近似质量?P(X)概念如下: ?P(X)=|PX|/|X| 2 几种基于粒运算的粗糙集模型 概念6 给定信息系统(U,A),P,QA。假设由P,Q对域能够构造相应的划分为 U/IND(P)=x?1?P,x?2?P,x|U|?P U/IND(Q)=x?1?Q,x?2?Q,x|U|?Q 那么由P和Q组成的两个组合粒概念为 U/IND(PQ)=x?1?Px?1?Q,x|U|?P x|U|?Q(1) U/IND(PQ)=x?1?Px?1?Q,x|U|?P x|U|?Q(2) 例如信息系统(U,A)中,XU且P,QA。其中U=e?1,e?2,e?3,e?4,e?5,e?6,e?7

10、,e?8,X=e?1,e?2,e?5,e?7,e?8。由P,Q对域形成的划分别离为 U/IND(P)=e?1,e?7,e?2,e?3,e?4,e?5,e?6,e?8U/IND(Q)=e?1,e?2,e?3,e?4,e?5,e?6,e?7,e?8 因此有U/IND(PQ)=e?1,e?2,e?3,e?4,e?5,e?6,e?7,e?8 U/IND(PQ)=e?1,e?2,e?7,e?1,e?2,e?3,e?4,e?5,e?6,e?2,e?3,e?4,e?5,e?6,?e?2,e?3,e?4,e?5,e?6,e?7,e?8,e?1,e?6,e?7,e?8,e?8 定理2 U/IND(PQ)形成域的

11、划分,而U/IND(PQ)形成域的覆盖。 证明 由于等价关系知足自反性,对由P,Q构造的等价类x?i?P和x?i?Q,有x?ix?i?P且x?ix?i?Q。因此有?x?i(x?i?Px?i?Q)=x?ix?i?Px?i?Q)=U成立,同时有?x?i?Px?i?Q?,x?i?Px?i?Q?,即U/IND(PQ)和U/IND(PQ)形成了域的覆盖。 进一步考虑,若是x?jx?i?Px?i?Q,若是x?jx?i,那么有x?jx?i?P,x?jx?i?Q。由于x?i?P和x?i?Q均是等价类,依照定理1可得x?ix?j?P,x?ix?j?Q成立,即x?ix?i?Px?i?Q成立。 若是x?j?x?i?

12、Px?i?Q,那么可能有以下三种情形:a)x?j?x?i?P,x?j?x?i?Q;b)x?j?x?i?P,x?jx?i?Q;c)x?jx?i?P,x?j?x?i?Q。相应地,依照等价类的性质可得:a)x?i?x?j?P,x?i?x?j?Q;b)x?i?x?j?P,x?ix?j?Q;c)x?ix?j?P,x?j?x?i?Q,因此有x?i?x?j?Px?j?Q。 通过上述两种情形可得,或x?i?Px?i?Q=x?j?Px?j?Q成立,或(x?i?Px?i?Q)(x?j?Px?j?Q)=?成立,因此U/IND(PQ)组成了域的一个划分。 证毕。 概念7 给定信息系统(U,A),P,QA,XU,概念组

13、合粒下的粗糙集如下: PQX=(x?Px?Q)X (x?Px?Q) PQX=(x?Px?Q)X? (x?Px?Q) PQX=(x?Px?Q)X (x?Px?Q) PQX=(x?Px?Q)X? (x?Px?Q) 文献10中曾经概念了粒逻辑运算下的粗糙集模型,如概念8。 概念8 给定信息系统(U,A),P和Q是信息系统的两个信息粒,那么粒逻辑运算下的粗糙集模型概念为 PQX=x|(x?PX)(x?QX) PQX=x|(x?PX?)(x?QX?) PQX=x|(x?PX)(x?QX) PQX=x|(x?PX?)(x?QX?) 下面将讨论组合粒下的粗糙集与单粒下的粗糙集模型之间的关系和组合粒下的粗糙集

14、与粒逻辑运算下的粗糙集之间的关系。 3 单一粒与多粒运算下粗糙集的关系 笔者已经证明了下面的定理。 定理3 给定信息系统(U,A),P,QA,XU,那么有 PQX=PXQX PQX=XX PQX=PXQX PQX=XX 运用本文提出的组合粒,并将其与粒逻辑运算下的粗糙集模型进行进一步比对,能够取得下面的定理。 定理4 给定信息系统(U,A),P,QA,XU那么有 PXQX?PQX PQXXX 证明 a)?xPXQX,依照概念有x?PX且x?PX成立,因此有x?Px?QX,即x?PQX成立。因此有PX?QX?PQX。 b)?x?PQX,有(x?Px?Q)X?。由于x?Px?Qx?P,x?Px?Q

15、x?Q,有x?PX?而且x?QX?,因此有xXX,即PQXXX。 证毕。 该定理说明两个粒度P,Q组合产生的商空间U/IND(PQ)比组合粒度PQ构造的知识更细,因此对集合X的逼近更为准确。 定理5 给定信息系统(U,A),P,QA,XU,那么有 PQX=PXQX PQX=XX 证明 a)?x?PQX,有x?Px?QX成立。由于x?Px?Px?Q,x?Qx?Px?Q,有x?PX和x?QX成立,即 xPX且xQX。因此有xPXQX,即 PQXPXQX成立。 ?xPXQX,依照概念有xPX且xQX,因此有x?PX和x?QX成立。由于x?PX和x?QX成立,有x?Px?QX成立。因此有x?PQX,即

16、PXQX?PQX。 综合上述两点可得 ?PQX=PXQX。 b)?x?PQX,有(x?Px?Q)X?,因此有x?PX?或 x?QX?,即xX或xX 成立,xXX。因此可得?PQXXX成立。 ?xXX,有xX或xX成立,即x?PX?或x?QX?。由于x?Px?Px?Q,x?Qx?Px?Q,可得(x?Px?Q)X?成立。因此有x?PQX,即XX?PQX。 依照上述两点可得PQX=XX。 证毕。 该定理说明组合粒PQ下的粗糙集模型能够由单一粒下的粗糙集模型构造出。 4 不同粒运算下的粗糙集模型的关系 既然能够在组合粒、粒逻辑运算等不同的粒运算下都可形式化相应的粗糙集,那么产生一个问题:不同粒运算下的

17、粗糙集之间有什么关系? 定理6 给定信息系统(U,A),P,QA,XU,那么有 PQX?PQX PQX?PQX PQPQ证明 a)?x?PQX,有x?Px?QX,因此可得x?PX且x?QX。由此能够推断出x?Px?QX,即x?PQX。因此有PQX?PQX。 b)?x?PQX,依照概念有(x?Px?Q)X?;又由于x?Px?Qx?Px?Q,有(x?Px?Q)X?,可得?x?PQX,因此有?PQX?PQX。 c)由于 PQX?PQX, 有|?PQX|?PQX|;由于 PQX?PQX,有|?PQX|?PQX|。因此,?PQPQ。 证毕。 定理7 给定信息系统(U,A),P,QA,XU,那么有 PQX

18、?PQX PQX?PQX PQPQ 证明 a)?x?PQX,有x?PX且x?QX成立,因此可得(x?Px?Q)X成立。因此有PQX?PQX。 b)PQX=x|(x?Px?Q)X?,?PQX=?x|(x?PX?)(x?QX?)。 ?x?PQX,有(x?Px?Q)X?。由于x?Px?Qx?P 且x?Px?Qx?Q,可得x?PX?且? x?QX?,有x?PQX。因此有PQX?PQX。 c)由于PQX?PQX,有|?PQX|?PQX|;同时,由于PQX?PQX,有 |?PQX|?PQX|。因此PQPQ成立。 证毕。 定理8 给定信息系统(U,A),P,QA,XU,那么有 PQX?PQX PQX?PQX

19、 PQPQ 证明 a)?x?PQX,有x?PX或x?QX成立。由于?x?Px?Qx?P且x?Px?Qx?Q,有x?Px?QX成立,那么有x?PQX成立。因此有PQX?PQX。 b)?x?PQX,有(x?Px?Q)X?。由于x?Px?Qx?P且x?Px?Qx?Q。有x?PX?和x?QX?成立,那么有x?PQX。因此有PQX?PQX。 c)由于PQX?PQX,有|?PQX|?PQX|;由于PQX?PQX,有|?PQX|?PQX|。因此PQPQ。 证毕。 定理9 给定信息系统(U,A),P,QA,XU,那么有 PQX=?PQX PQX?PQX PQPQ 证明 a)?x?PQX,依照概念可得(x?Px

20、?Q)X成立, 依照集合之间的关系可得 x?PX和x?QX成立。因此有xPQX成立,即 PQX?PQX。 ?x?PQX,有(x?PX和x?QX成立,因此有(x?Px?Q)X,即x?PQX,因此PQX?PQX。 综合这两种情形有PQX=?PQX。 b)?x?PQX,有x?PX?且 x?QX?成立。由于x?Px?Px?Q,必然有 (x?Px?P)X?,即x?PQX 。因此有PQX?PQX成立。 c)由于PQX=?PQX,有|?PQX|=|?PQX|;由于PQX?PQX,有|?PQX|?PQX|。因此可得PQPQ。 证毕。 定理10 给定信息系统(U,A),P,QA,XU,那么有 PQX?PQX P

21、QX?PQX PQPQ 证明 a)?x?PQX,有x?Px?QX成立; 由于x?Px?Px?Q,可得x?PX,即x?PQX。 因此有PQX?PQX。 b)?x?PQX,有x?PX?或 x?QX?成立。由于x?Px?Px?Q, x?Qx?Px?Q,上述两种情形中的任何一种都可推导出 (x?Px?Q)X?。因此有PQX?PQX。 c)由于PQX?PQX,有|?PQX|?PQX|;由于PQX?PQX,有 |?PQX|?PQX|。因此可得PQPQ。 证毕。 通过上述各定理能够取得组合粒下的粗糙集模型与粒逻辑运算下的粗糙集模型之间的关系,而且发此刻相关粒下的知识粗糙度具有如下关系: PQPQPQPQ 基

22、于此,从另一个角度给出知识粗细的形式化概念。 概念9 给定信息系统(U,A),P,Q是两个信息粒构造的商空间,称P?Q,若是对任意集合XU,均有?Q?P成立。 事实上,若是P?Q,那么由粒集合P提供的知识比由Q提供的知识更细。基于上述相关定理,能够取得下面的结论。 定理11 PQ,PQ,PQ,PQ,?是一个链。 证明略。 5 终止语 本文讨论了单粒运算与多粒运算下粗糙集之间的关系和不同的多粒运算下粗糙集之间的关系这两个问题,关于进一步研究动态粒的结构和基于动态粒的知识获取奠定了良好的基础。 参考文献: 1ZADEH L logic=computing with wordsJ.IEEE Tran

23、s on Fuzzy System, 1996,4(1):103-111. 2梁吉业,钱宇华.信息系统中的信息粒与熵理论J.中国科学E辑,2020,38(12):2048-2065. 3PAWLAK setsJ.International Journal of Computer and Information Sciences,1982,11(5):341-356. 4张文修,吴伟志,梁吉业,等.粗糙集理论与方式M.北京:科学出版社,2001. 5QIAN Yu-hua,LIANG set method based on multi-granulationsC6QIAN Yu-hua,LIANG Ji-ye,DANG in incomplete information systemsC7QIAN Yu-hua,LIANG Ji-ye,YAO Yi-yu,et :a multi-granulation rough setJ.Information Sciences,2020,180(6):949-970. 8YAO rough sets and granular computingC9傅彦,顾小丰,刘启和,等.离散数学M.北京:高等教育出版社,2020.