完整版八年级下期数学培优思维训练特殊平行四边形.docx

1、完整版八年级下期数学培优思维训练特殊平行四边形八年级下期数学培优思维训练三、平行四边形（特殊平行四边形）（一）知识梳理：（二）方法归纳：（三）范例精讲：1.如图，在RTABC中，ACB=90，AD平分CAB， CEAB于E，交AD于G，DFAB于F. 求证：四边形CGFD是菱形.2.（1）如图，四边形ABCD为正方形，DEAC，AEAC，AE与CD相交于F求证：CECF.（2）如图，四边形ABCD为正方形，DEAC，且CECA，直线EC交DA延长线于F 求证：AEAF.（3）过正方形ABCD的顶点B引对角线AC的平行线BE，在BE上取一点F，使AF=AC，若作菱形CAFE. 求证：AE及AF三

2、等分BAC.3. 如图，E，F，分别是正方形ABCD的边 AB、BC的中点，M为BC的延长线上一点， CH平分DCM交AD延长线于H ，FGAF交CH于G. 求证：（1）ABFDAE，AFDE；（2）AEFFCG；（3）四边形EFGD是平行四边形.4. 如图，在ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边ABD、ACE、BCF.（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明）当ABC满足_条件时，四边形DAEF是矩形；当ABC满足_条件时，四边形DAEF是菱形；当ABC满足_条件时，四边形DAEF是正方形；当ABC满足_条件时，以D、A、E、F

3、为顶点的四边形不存在5. 如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且EFAC，在DA的延长线上取一点G，使AGAD，EG与DF相交于点H. 求证：AHAD.6.若以直角三角形ABC的边AB为边，在ABC的外部作正方形ABDE，AF是BC边的高，延长FA至点G使AG=BC. 求证：BG=CD.7.如图1，正方形ABCD中，M为AB的中点，E为AB延长线上一点，MNDM，交CBE的平分线于点N（1）DM与MN相等吗？试说明理由（2）若将条件“M为AB的中点”改为“M为AB上任意一点”，其它条件不变，如图2，则DM与MN相等吗？为什么？8.如图，菱形ABCD的边长是2，BD=2，E、F

4、分别是边AD，CD上的两个动点，且AE+CF=2.（1）求证：BDEBCF；（2）判断BEF的形状，并说明理由.9.正方形ABCD中，MAN=45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N当MAN绕点A旋转到BM=DN时（图1），易证BM+DN=MN （1）当MAN绕点A旋转到BMDN时（图2），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想；（3）运用在（1）解答中所积累的经验，完成下题：如图4，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD

5、），B=90，AB=BC，E是AB上一点，且DCE=45，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积 10. 正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PEBC于E，PFDC于F.（1）当点P与点O重合时（如图），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；（2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图），探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）当点P在DB的长延长线上时，请将图补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论.11. 如图，点P是正方形ABCD对角线

6、AC上一动点，点E在射线BC上，且PB=PE，连接PD，O为AC中点（1）如图1，当点P在线段AO上时，猜想PE与PD的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由12. 如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM（1）求证：AMBENB；（2）当M点在何处时，

7、AM+CM的值最小；当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长13.以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设ADC=（090），试用含的代数式表示HAE；求证：HE=HG；四边形EFGH是什么四边形？并说明理由（四）思维训练：1.

8、在ABC中，C=90，AC=BC，AD=BD，PEAC于点E， PFBC于点F. 求证：DE=DF.2. 如图，矩形ABCD，延长CB到点E，使CE=CA，点F是AE的中点. 求证：BFDF.3. 如图，在AEC中，以AEC为锐角，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点四边形BCGF和CDHN都是正方形AH的中点是M求证：FMH是等腰直角三角形4.（1）如图，在正方形ABCD中，AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求EAF的度数（2）如图，在RtABD中，BAD=90，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且MAN=45，将ABM绕点A逆时针旋转90至AD

9、H位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由（3）在图中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3，求AG，MN的长5. 在图1到图3中，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，MPN为直角三角形，MPN=90正方形ABCD保持不动，MPN沿射线AC向右平移，平移过程中P点始终在射线AC上，且保持PM垂直于直线AB于点E，PN垂直于直线BC于点F（1）如图1，当点P与点O重合时，OE与OF的数量关系为_；（2）如图2，当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明；（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，OE

10、与OF的数量关系为_；位置关系为_6. 正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PFCD于点F如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF（1）如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PEPB且PE交CD于点E求证：DF=EF；写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；（2）若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PEPB且PE交直线CD于点E请完成图3并判断（1）中的结论、是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）7. 已知正方形ABCD（1）如图1，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD

11、于点H，求证：BE=GH；（2）如图2，过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交AD，BC于点E，F，交AB，CD于点G，H，EF与GH相等吗？请写出你的结论；（3）当点O在正方形ABCD的边上或外部时，过点O作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图3所示，过正方形ABCD外一点O作互相垂直的两条直线m，n，m与AD，BC的延长线分别交于点E，F，n与AB，DC的延长线分别交于点G，H，试就该图形对你的结论加以证明8. 操作示例：对于边长为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图1所示的方式摆放，在沿虚线BD，EG剪开后，可

12、以按图中所示的移动方式拼接为图1中的四边形BNED从拼接的过程容易得到结论：四边形BNED是正方形；S正方形ABCD+S正方形EFGH=S正方形BNED实践与探究：（1）对于边长分别为a，b（ab）的两个正方形ABCD和EFGH，按图2所示的方式摆放，连接DE，过点D作DMDE，交AB于点M，过点M作MNDM，过点E作ENDE，MN与EN相交于点N；证明四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表示正方形MNED的面积；在图2中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED，请简略说明你的拼接方法（类比图1，用数字表示对应的图形）；（2）对于n（n是大于2的自然数）

13、个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接成为一个正方形？请简要说明你的理由9. 如图，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CGBC），取线段AE的中点M探究：线段MD、MF的关系，并加以证明说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明注意：选取完成证明得10分；选取完成证明得7分；选取完成证明得5分DM的延长线交CE于点N，且AD=NE；将正方形CGEF6绕点C逆时针旋转45（如图），其他条件不变；在的条

14、件下，且CF=2AD附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图），其他条件不变探究：线段MD、MF的关系，并加以证明10. 操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q 探究：设A、P两点间的距离为x （1）点Q在CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论（如图1）；（2）点Q边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域（如图2）；（3）点P在线段AC上滑动时，PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由（如图3）（图4、图5、图6的形状、大小相同，图4供操作、实验用，图5和图6备用）