C语言迭代法详细讲解.docx

1、C语言迭代法详细讲解迭代法迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。迭代法又分为精确迭代和近似迭代。“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。 利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作： 一、确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。

2、 二、建立迭代关系式。所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。 三、对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。 例 1 ： 一个饲养场引进一只刚出生的新品种兔子，这种兔子从出生的下一个月开始

3、，每月新生一只兔子，新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去，问到第 12 个月时，该饲养场共有兔子多少只？ 分析： 这是一个典型的递推问题。我们不妨假设第 1 个月时兔子的只数为 u 1 ，第 2 个月时兔子的只数为 u 2 ，第 3 个月时兔子的只数为 u 3 ，根据题意，“这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子”，则有 u 1 1 ， u 2 u 1 u 1 1 2 ， u 3 u 2 u 2 1 4 ， 根据这个规律，可以归纳出下面的递推公式： u n u n 1 2 (n 2) 对应 u n 和 u n 1 ，定义两个迭代变量 y 和 x ，可将上面的递推公式转换成如下迭

4、代关系： y=x*2 x=y 让计算机对这个迭代关系重复执行 11 次，就可以算出第 12 个月时的兔子数。参考程序如下： cls x=1 for i=2 to 12 y=x*2 x=y next i print y end 例 2 ： 阿米巴用简单分裂的方式繁殖，它每分裂一次要用 3 分钟。将若干个阿米巴放在一个盛满营养参液的容器内， 45 分钟后容器内充满了阿米巴。已知容器最多可以装阿米巴 220,220个。试问，开始的时候往容器内放了多少个阿米巴？请编程序算出。 分析： 根据题意，阿米巴每 3 分钟分裂一次，那么从开始的时候将阿米巴放入容器里面，到 45 分钟后充满容器，需要分裂 45/

5、3=15 次。而“容器最多可以装阿米巴2 20 个”，即阿米巴分裂 15 次以后得到的个数是 220 。题目要求我们计算分裂之前的阿米巴数，不妨使用倒推的方法，从第 15 次分裂之后的 220 个，倒推出第 15 次分裂之前（即第 14 次分裂之后）的个数，再进一步倒推出第 13 次分裂之后、第 12 次分裂之后、第 1 次分裂之前的个数。 设第 1 次分裂之前的个数为 x 0 、第 1 次分裂之后的个数为 x 1 、第 2 次分裂之后的个数为 x 2 、第 15 次分裂之后的个数为 x 15 ，则有 x 14 =x 15 /2 、 x 13 =x 14 /2 、 x n-1 =x n /2

6、(n 1) 因为第 15 次分裂之后的个数 x 15 是已知的，如果定义迭代变量为 x ，则可以将上面的倒推公式转换成如下的迭代公式： x=x/2 （ x 的初值为第 15 次分裂之后的个数 220 ） 让这个迭代公式重复执行 15 次，就可以倒推出第 1 次分裂之前的阿米巴个数。因为所需的迭代次数是个确定的值，我们可以使用一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制。参考程序如下： cls x=220 for i=1 to 15 x=x/2 next i print x endps:java中幂的算法是Math.pow(2, 20)；返回double，稍微注意一下例 3 ： 验证谷角猜想。日本数

7、学家谷角静夫在研究自然数时发现了一个奇怪现象：对于任意一个自然数 n ，若 n 为偶数，则将其除以 2 ；若 n 为奇数，则将其乘以 3 ，然后再加 1 。如此经过有限次运算后，总可以得到自然数 1 。人们把谷角静夫的这一发现叫做“谷角猜想”。 要求：编写一个程序，由键盘输入一个自然数 n ，把 n 经过有限次运算后，最终变成自然数 1 的全过程打印出来。 分析： 定义迭代变量为 n ，按照谷角猜想的内容，可以得到两种情况下的迭代关系式：当 n 为偶数时， n=n/2 ；当 n 为奇数时， n=n*3+1 。用 QBASIC 语言把它描述出来就是： if n 为偶数 then n=n/2 el

8、se n=n*3+1 end if 这就是需要计算机重复执行的迭代过程。这个迭代过程需要重复执行多少次，才能使迭代变量 n 最终变成自然数 1 ，这是我们无法计算出来的。因此，还需进一步确定用来结束迭代过程的条件。仔细分析题目要求，不难看出，对任意给定的一个自然数 n ，只要经过有限次运算后，能够得到自然数 1 ，就已经完成了验证工作。因此，用来结束迭代过程的条件可以定义为： n=1 。参考程序如下： cls input Please input n=;n do until n=1 if n mod 2=0 then rem 如果 n 为偶数，则调用迭代公式 n=n/2 n=n/2 print

9、 ;n; else n=n*3+1 print ;n; end if loop end 迭代法开平方：#include#includevoid main()double a,x0,x1;printf(Input a:n);scanf(%lf,&a);/为什么在VC6.0中不能写成“scanf(%f,&a);”？if(a=1e-6);printf(Result:n);printf(sqrt(%g)=%gn,a,x1);求平方根的迭代公式：x1=1/2*(x0+a/x0)。算法：1.先自定一个初值x0，作为a的平方根值，在我们的程序中取a/2作为a的初值；利用迭代公式求出一个x1。此值与真正的a的

10、平方根值相比，误差很大。2.把新求得的x1代入x0中，准备用此新的x0再去求出一个新的x1.3.利用迭代公式再求出一个新的x1的值，也就是用新的x0又求出一个新的平方根值x1，此值将更趋近于真正的平方根值。4.比较前后两次求得的平方根值x0和x1，如果它们的差值小于我们指定的值，即达到我们要求的精度，则认为x1就是a的平方根值，去执行步骤5；否则执行步骤2，即循环进行迭代。迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。设方程为f(x)=0，用某种数学方法导出等价的形式x=g(x)，然后按以下步骤执行： （1） 选一个方程的近似根，赋给变量x0； （2） 将x0的值保存于变量x1，然

11、后计算g(x1)，并将结果存于变量x0； （3） 当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤（2）的计算。 若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。上述算法用C程序的形式表示为： 【算法】迭代法求方程的根 x0=初始近似根； do x1=x0； x0=g(x1)； /*按特定的方程计算新的近似根*/ while ( fabs(x0-x1)Epsilon)； printf(“方程的近似根是%fn”，x0)； 迭代算法也常用于求方程组的根，令 X=（x0，x1，xn-1） 设方程组为： xi=gi(X) (I=0，1，n-1) 则求

12、方程组根的迭代算法可描述如下： 【算法】迭代法求方程组的根 for (i=0;i x=初始近似根; do for (i=0;i y=x; for (i=0;i x=gi(X); for (delta=0.0,i=0;i if (fabs(y-x)delta) delta=fabs(y-x)； while (deltaEpsilon)； for (i=0;i printf(“变量x%d的近似根是 %f”，I，x)； printf(“n”)； 具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况： （1） 如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察

13、方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制； （2） 方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败。 递归 递归是设计和描述算法的一种有力的工具，由于它在复杂算法的描述中被经常采用，为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。 能采用递归描述的算法通常有这样的特征：为求解规模为N的问题，设法将它分解成规模较小的问题，然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解，并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法，分解成规模更小的问题，并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地，当规模N=1时，能直接得解。 【问题】 编写计算斐波那契（Fibonac

14、ci）数列的第n项函数fib（n）。 斐波那契数列为：0、1、1、2、3、，即： fib(0)=0; fib(1)=1; fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) （当n1时）。 写成递归函数有： int fib(int n) if (n=0) return 0; if (n=1) return 1; if (n1) return fib(n-1)+fib(n-2); 递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段，把较复杂的问题（规模为n）的求解推到比原问题简单一些的问题（规模小于n）的求解。例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说，

15、为计算fib(n)，必须先计算fib(n-1)和fib(n- 2)，而计算fib(n-1)和fib(n-2)，又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推，直至计算fib(1)和fib(0)，分别能立即得到结果1和0。在递推阶段，必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中，当n为1和0的情况。 在回归阶段，当获得最简单情况的解后，逐级返回，依次得到稍复杂问题的解，例如得到fib(1)和fib(0)后，返回得到fib(2)的结果，在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后，返回得到fib(n)的结果。 在编写递归函数时要注意，函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层，当递推

16、进入“简单问题”层时，原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层，它们各有自己的参数和局部变量。 由于递归引起一系列的函数调用，并且可能会有一系列的重复计算，递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时，通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法，即从斐波那契数列的前两项出发，逐次由前两项计算出下一项，直至计算出要求的第n项。 【问题】 组合问题 问题描述：找出从自然数1、2、n中任取r个数的所有组合。例如n=5，r=3的所有组合为： （1）5、4、3 （2）5、4、2 （3）5、4、1 （4）5、3、2

17、 （5）5、3、1 （6）5、2、1 （7）4、3、2 （8）4、3、1 （9）4、2、1 （10）3、2、1 分析所列的10个组合，可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时，其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m 个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a 存放求出的组合的数字，约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在ak中，当一个组合求出后，才将a 中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1

18、、k，函数将确定组合的第一个数字放入数组后，有两种可能的选择，因还未去顶组合的其余元素，继续递归去确定；或因已确定了组合的全部元素，输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。 【程序】 # include # define MAXN 100 int aMAXN; void comb(int m,int k) int i,j; for (i=m;i=k;i-) ak=i; if (k1) comb(i-1,k-1); else for (j=a0;j0;j-) printf(“%4d”,aj); printf(“n”); void main() a0=3; comb(5,3); 【问题】 背

19、包问题 问题描述：有不同价值、不同重量的物品n件，求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案，使选中物品的总重量不超过指定的限制重量，但选中物品的价值之和最大。 设n 件物品的重量分别为w0、w1、wn-1，物品的价值分别为v0、v1、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案，并保留了其中总价值最大的方案于数组option ，该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案，其物品选择情况保存于数组cop 。假定当前方案已考虑了前i-1件物品，现在要考虑第i件物品；当前方案已包含的物品的重量之和为tw；至此，若其余物品都选择是可能的话，本方案能达到的总价值的期望值为tv

20、。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时，继续考察当前方案变成无意义的工作，应终止当前方案，立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时，该方案不会被再考察，这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。 对于第i件物品的选择考虑有两种可能： （1） 考虑物品i被选择，这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后，继续递归去考虑其余物品的选择。 （2） 考虑物品i不被选择，这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。 按以上思想写出递归算法如下： try(物品i，当前选择已达到的重量和，本方案可能达到的总

21、价值tv) /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ if(包含物品i是可以接受的) 将物品i包含在当前方案中； if (i try(i+1,tw+物品i的重量,tv); else /*又一个完整方案，因为它比前面的方案好，以它作为最佳方案*/ 以当前方案作为临时最佳方案保存; 恢复物品i不包含状态； /*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ if (不包含物品i仅是可男考虑的) if (i try(i+1,tw,tv-物品i的价值)； else /*又一个完整方案，因它比前面的方案好，以它作为最佳方案*/ 以当前方案作为临时最佳方案保存; 为了理解上述算法，特举以下实例。设有4件物品，

22、它们的重量和价值见表： 物品 0 1 2 3 重量 5 3 2 1 价值 4 4 3 1 并设限制重量为7。则按以上算法，下图表示找解过程。由图知，一旦找到一个解，算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解，算法不会在该分支继续查找，而是立即终止该分支，并去考察下一个分支。 按上述算法编写函数和程序如下： 【程序】 # include # define N 100 double limitW,totV,maxV; int optionN,copN; struct double weight; double value; aN; int n; void find(int i,d

23、ouble tw,double tv) int k; /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ if (tw+a.weightmaxV) if (i else for (k=0;k optionk=copk; maxv=tv-a.value; void main() int k; double w,v; printf(“输入物品种数n”); scanf(“%d”,&n); printf(“输入各物品的重量和价值n”); for (totv=0.0,k=0;k scanf(“%1f%1f”,&w,&v); ak.weight=w; ak.value=v; totV+=V; printf(“输入

24、限制重量n”); scanf(“%1f”,&limitV); maxv=0.0; for (k=0;k find(0,0.0,totV); for (k=0;k if (optionk) printf(“%4d”,k+1); printf(“n总价值为%.2fn”,maxv); 作为对比，下面以同样的解题思想，考虑非递归的程序解。为了提高找解速度，程序不是简单地逐一生成所有候选解，而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解，一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这样几种情况：当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制，该物品被包含在候选解中是应该继续考虑的

25、；反之，该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。同样地，仅当物品不被包括在候选解中，还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时，才去考虑该物品不被包括在候选解中；反之，该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。对于任一值得继续考虑的方案，程序就去进一步考虑下一个物品。 【程序】 # include # define N 100 double limitW; int copN; struct ele double weight; double value; aN; int k,n; struct int ; double tw; double tv; twvN; void next(i

26、nt i,double tw,double tv) twv.=1; twv.tw=tw; twv.tv=tv; double find(struct ele *a,int n) int i,k,f; double maxv,tw,tv,totv; maxv=0; for (totv=0.0,k=0;k totv+=ak.value; next(0,0.0,totv); i=0; While (i=0) f=twv.; tw=twv.tw; tv=twv.tv; switch(f) case 1: twv.+; if (tw+a.weightmaxv) if (i next(i+1,tw,tv-a.value); i+; else maxv=tv-a.value; for (k=0;k copk=twvk.!=0; break; return maxv; void main() double maxv; printf(“输入物品种数n”); scanf(“%d”,&n); printf(“输入限制重量n”); scanf(“%1f”,&limitW); printf(“输入各物品的重量和价值n”); for (k=0;k scanf(“%1f%1f”,&ak.weight,&ak.v