数学物理方程复习1.docx

1、数学物理方程复习1数学物理方程复习 一三类方程及定解问题（一） 方程1. 波动方程（双曲型）Utt = a2Uxx +f; 0x0U(0,t)= 1（t）;U(L,t)= 2（t）;U(x,0)= 1（x）;Ut(x,0)=2（x）。2. 热传导方程（抛物型）Ut=a2Uxx+f; 0x0U(0,t)=1（t）;U(L,t)=2（t）;U(x,0)=1（x）.3. 稳态方程（椭圆型）Uxx +Uyy =f; 0xa;0y0.U(0,x)= 1（x）;U(b,x)= 2（x）;U(y,0)= 1（y）;Ut(y,a)=2（y）。（二） 解题的步骤1. 建立数学模型，写出方程及定解条件2. 解方程

2、3. 解的实定性问题（检验）（三） 写方程的定解条件1. 微元法：物理定理2. 定解条件：初始条件及边界条件（四） 解方程的方法1. 分离变量法（有界区域内）2. 行波法（针对波动方程，无界区域内）3. 积分变换法（Fourier变换Laplace变换）Fourier变换:针对整个空间 奇：正弦变换 偶：余弦变换Laplace变换：针对半空间4. Green函数及基本解法5. Bessel函数及Legendre函数法例一：在弦的横震动问题中，若弦受到一与速度成正比的阻尼，试导出弦阻尼振动方程。解：建立如图所示的直角坐标系，设位移函数为U（x,t）,取任意一小段x进行受力分析，由题设，单位弦所受

3、阻力为b Ut（b为常数），在振动过程中有x所受纵向力为：（T2COSa2-T1COSa1）横向力为：（T2SINa2-T1SINa1-b Ut(x+nx）(0n0 双曲线方程=0 抛物型方程0 椭圆方程3.特征方程a11（-dy/dx）2-2a12（-dy/dx）+a22=0特征根：dy/dx=（a121/2）/ a11特征曲线：y=（a12+1/2）/ a11x+C1 y=（a12-1/2）/ a11x+C2新旧变量关系：=y+1x，= y+2x令Q=省略例一：把方程x2Uxx+2xyUxy-3y2Uyy-2xUx+4yUy+16x4U=0改成标准形式，并判断类型。例二：x2Uxx+2xy

4、Uxy+y2Uyy=0例三：化简2aUxx+2aUxy+aUyy+2bUx+2cUy+U=0,并判断类型。a0（二）线性偏微分方程的基本性质1.线性迭加原理设L为线性偏微分算子，即LU=f若u1 u2 u3 un 是LU=fi 的解，则u=CiUi是LU=Cifi的解。若u1是LU=0的通解，u2是LU=f的特解，则u= u1+u2是LU=f的一般解。2.齐次化原理（冲量原理）原理1：设W是方程Wtt= a2 Wxx W|t=0 W t|t=f（x,t;）的解，则u=0tW（x,t;）d是方程Utt= a2 Uxx+ f（x,t） U|t=0=0 U t |t=0 =0的解。原理2：W是方程W

5、t= a2 Wxx W|t=0 W t|t=f（x,t;）的解，则u=0tW（x,t;）d是Ut= a2 Uxx+ f（x,t） U|t=0=0 的解。 3.特征值函数（x-x0）=0 x0 x=x0（x-x0）dx=1性质：（x）是连续函数，则（x-x0）（x）=（x0）三分离变量法（一） 齐次的泛定方程和齐次的边界条件Utt = a2Uxx ; 0x0U(0,t)=U(l,t)=0;U(x,0)= （x）;Ut(x,0)=（x）。第二类齐次边界条件：Ux(0,t)=Ux(l,t)=0;第一类与第二类的齐次边界条件：U(0,t)=Ux(l,t)=0或Ux(0,t)=U(l,t)=0。（二）

6、非齐次的泛函方程的齐次边界条件Utt = a2Uxx +f(x,t); 0x0U(0,t)=U(l,t)=0;U(x,0)= （x）;Ut(x,0)=（x）。令U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)且W满足Wtt = a2Wxx ; 0x0W(0,t)=W(l,t)=0;W(x,0)= （x）;Wt (x,0)=（x）.则V满足Vtt = a2Vxx +f(x,t); 0x0V(0,t)=V(l,t)=0;V(x,0)= 0;Vt (x,0)=0.解W用分离变量法，解V用冲量原理。（三） 齐次的泛定方程，非齐次边界条件Utt = a2Uxx ; 0x0U(0,t)=U1 (t);U(l,t)

7、= U2 (t);U(x,0)= （x）;Ut (x,0)=（x）.设U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)使得：V(0,t)= V(l,t)=0,则W(0,t)= U1 (t),W(l,t)= U2 (t),设W(x,t)=Ax+B,则W(0,t)=B= U1 (t), W(l,t)=Al+B= U2 (t),则（省略）（四） 非齐次的泛定方程，非齐次边界条件Utt = a2Uxx +f(x,t); 0x0U(0,t)=U1 (t);U(l,t)= U2 (t);U(x,0)= （x）;Ut (x,0)=（x）.第一步：把非齐次边界条件化成齐次的边界条件第二步：同(三)例一：Utt = a

8、2Uxx ； U(0,t)=0=U(l,t);U(x,0)=3sinx; Ut (x,0)=0. 0x0例二：在矩形区域内0xa,0yb上，求解Laplace方程的边界值。Uxx +Uyy =0; 0xa;0y0.U(0,x)= Bsin(x/a); U(b,x)= 0;U(y,0)=Ay(b-y); Ut(y,a)=0。解：设U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)使得Vxx+ Vyy=0,V(0,y)= V(a,y)=0, V(x,0)= Bsin(x/a),V(x,b)=0;同时Wxx+ Wyy=0, W(0,y)= Ay(b-y), W(a,y)=0, W(0,x)= W(b,x)=0

9、.答案省略例三：求解方程Utt = a2Uxx +bshx; U(0,t)= U(l,t)=0; U(0,x)= U t(0,x)=0。例四：长为l,两端固定的弦线在单位长度的横向力f(x,t)=g(x)sinwt的作用下做摆动，已知弦的初始位移和速度分别为(x),(x)求其振动规律。解：设位移分布函数为U(x,t)且满足：Utt = a2Uxx +g(x)sinwt; 0x0U(0,t)= U(l,t)=0;U(0,x)= (x);U t(0,x)= (x).解方程，设U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)且Vtt = a2Vxx ;V(0,t)= V(l,t)=0;V(0,x)= (x)

10、;V t(0,x)= (x).W满足：Wtt = a2Wxx +g(x)sinwt; 0x0W(0,t)= W(l,t)=0;W(0,x)= 0;W t(0,x)=0.由冲量原理有：Ztt = a2Zxx; 0x0Z(0,t;)= Z(l,t;)=0;Z(0,t;)= 0; Z(l,t;)= g(x)sinwt.W(x,t)=t0 Z(x,t;)d答案省略例五：求解矩形域上的第二类边界值问题。Uxx +Uyy =0； 0xa;0y0.Uy(0,x)= 1（x）;Uy(b,x)= 2（x）;Ux(y,0)= 1（y）;Ux(y,a)=2（y）。 四行波法（无界区域内）（一）公式1.一维波动方程U

11、tt = a2Uxx； - x0.U(0,x) =（x）；Ut(0,x)= （x）.公式：U(t,x)=1/2(x+at)+(x-at)+1/2ax+atx-at()d2.三维波动方程Utt = a2U； - x0.U(0,M) =（M）；Ut(0,M)= （M）.公式：U=1/4a2（M）/t/tds+（M）/tds3.二维波动方程Utt = a2U； - x0.U(0,M) =（M）；Ut(0,M)= （M）。U=(省略)（二）基本类型1.使用奇延拓将问题转化到整个空间内Utt = a2Uxx； 0 x0.U(0,t)=0;(端点固定)U(0,x) =（x）；Ut(0,x)= （x）延拓：

12、x0时，(x)=(x),x0时，(x)=-(-x)； x0时，(x)= (x),x0时，(x)=-(-x)。2.使用偶延拓将问题转化到整个空间内Utt = a2Uxx； 0 x0.Ux(0,t)=0;(端点自由)U(0,x) =（x）；Ut(0,x)= （x）延拓：x0时，(x)=(x),x0时，(x)=(-x)； x0时，(x)= (x),x0时，(x)= (-x)。3. 特殊形式Utt = a2Uxx； 0 x0.U(0,t)=U(t);U(0,x) =（x）；Ut(0,x)= （x）.可令U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)且V(0,t)=0,则W(0,t)=U(t),将U(x,t)

13、= U(t)+V(x,t)代入，转化为新方程。（方法见4.）4.非齐次波动方程Utt = a2Uxx+f(x,t); - x0.U(0,x) =（x）；Ut(0,x)= （x）.可令U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)且满足：Vtt = a2Vxx +f(x,t); - x0. Wtt = a2Wxx;V(0,x) =O; W(0,x) =（x）;Vt(0,x)= 0. Wt(0,x)= （x）.其中V=0tZ(x,t;)d.Z满足：Ztt = a2Zxx;Z(0,x) =O;Zt(0,x)= f(x,t). 例一：求解方程Utt - a2Uxx=x+at; - x0.U(0,x) =x；

14、Ut(0,x)= sinx.解:由迭加原理解此定解问题，可由达朗贝尔公式和振动的解迭加。例二：求解有阻尼波动方程的初值问题。Utt - a2Uxx+2Ut+U2=0; - x0.U(0,x) =（x）；Ut(0,x)= （x）.解：设U(x,t)=e-tV(x,t)(0)。代入原等式有：Ut= e-tVt-t,Utt=e-t(Vtt-2Vt+2V), Uxx= Vxxe-t,再代入原方程：Vtt- a2Vxx+2(-)Vt+(2-2+2)V=0;要使Vt ，V的系数为0，则=，则有：Vtt=a2Vxx；V(0,x) =（x）；Vt(0,x)= （x）+（x）.则由达朗贝尔公式即可得出结果。例三

15、：求解下列初值问题：Utt= a2U；U(0,x)=yz; Ut(0,x)=xz+x. - M0.解：令（M）=yz；（M）= xz+x.经过球坐标变换后有：（M）=yz=(y+rsinsin)(z+rcos);（M）=xz+x=(x+rsincos)(z+rcos)+( x+rsincos);因为at=r;则：（M）/at ds=020（M）rsinddr;（M）/at ds=020（M）rsindd;又因为：02sind=02cosd=0; 0cosd=0sincosd=0;所以有：=4ayz; =4atxz.因此U(x,t)=(tx+y)z.例四：求解下列问题：Utt= a2（Uxx+U

16、yy）; - x+; - y0.U(0,x,y) =x2(x+y)；Ut(0,x,y)=0.解：由二维的波动方程即可求出。五.积分变换法（一）Fourier变换法1.概念若f(x)定义在（-，+），Ff(x)=f()= -+f(x)e-ixdx;逆变换：f(x)=1/2-+f() eixd。2.基本性质：线性，卷积，乘积，微分，象导数，积分，延迟，位移4. 利用Fourier变换解微分方程（二）Laplace变换法1.概念若f(x)定义在0，+），Lf(x)=f(p)= 0+f(x)e-pxdx;逆变换：f(x)=1/2i-i+if(p) epxdp L-1f(x)=Resf(t) est,s

17、k2.存在条件3.基本性质4.利用Laplace变换解微分方程例一：求函数f(x)=1-x2 |x|0的Fourier变换。例二：设a是正数：1 证明e-a|x|=-+1/*a/(a2+2)*eixd2 由结果推导c()使得：a/(a2+x2)= -+c() eixd。证明：设e-a|x|=1/2-+Fe-a|x| eixd则：Fe-a|x|=-+e-a|x|e-ixdx=-+e-a|x|cosxdx-i-+e-a|x|sinxdx=20+e-a|x|cosxdx=2Re0+e-(a+i)xdx=2 Re1/a+i=2a/ (a2+2),即证。由c()满足a/(a2+x2)= -+c() ei

18、xd，有c()= 1/2Fa/(a2+x2)= 1/2-+a/(a2+x2) e-ixdx=1/2 e-a|.即证。例三：求解上半平面Dirichlet问题： U=0;U(x,0)=f(x);Limx-0,y-0U=0.解：作Fourier变换：FU= -+U(x,y)e-ixdx;Ff(x)=f(),对原方程两边作变换：Uyy-2 U=0; U(,0)= f();lim y- U=0.解方程得：U（，y）=A()ey +B()e-y;由条件可知：当0，A()=0，当0, B()=0,因此有U（，y）= c()e-|y,代入可知c()= f()，因此U（，y）= f()e-|y，再做逆变换：U

19、（x,y）=F-1f()e-|y=4/-+f()/(x-) 2+y 2 d.例四设Lf(x)=Fp,证像函数的微分性质的微分性质Ltnf(x)=(-1)ndnFp/dpn.证：由Fp= -+f(t) e-ptdt=dFp/dp=0+f(t) e-ptdt /dp=L-tf(t).例五求解一维无界空间的运输方程，设初始浓度或温度已知，即Ut -a2Uxx=f(x,t); - x0.U(0,x) =（x）；例六求解一端固定的半无界弦线的自由振动。Utt - a2Uxx=0; 0 x0.U(a,t)=0;U(0,x) =（x）；Ut(0,x)= （x）.解：对方程做Fourier的正弦变换：FSU(

20、s,t)= 0+U(x,t)sinxdx=U(,x);FS（x）= 0+（x）sinxdx=（）;FS（x）= 0+（x）sinxdx=（x）.则方程为：d2 U/dt2+a22 U=0; U(,0)= （）;Ut(,0)= （x）.解得：U(,x)= （）cosat+1/a（x）sinat.再做逆变换：U(x,t)= F -1SU(,x)=F -1S（）cosat+ F -1S1/a（x）sinat.答案略。例七求下列函数的Laplace变换。(1)eat (2)sinkt (3)sin(t-2/3) (4)coskt例八求零阶Bessel方程:x2y+xy+x2y=0,y(0)=1,y(0

21、)=0.解：作Laplace变换：Ly= 0+y(x)e-pxdx=y;Lxy=-dy/dp;Ltnf(t)=(-1)ndnF(p)/dpn;Ly(0)=py-y(0)=py-1;Lx2y=-pndy/dp+2py-1.代入即有：y(p)=1/p(1+1/p2)-1/2.再做逆变换有：y(x)=c(-1)n/22n(n!)2*x2n.六Green函数及基本解一Green公式1基本公式（1）Gauss公式Adv=Ads=Ands(2) Green公式令A=UV U,VC2()（）(3)Green第二公式（4）Green第三公式2基本解基本解的概念（保证严格单调，有任意解）1).椭圆形方程a.一维

22、U=（M-M0）的解，成为基本解。b.三维基本解 V=1/4*1/rc.二维基本解V=1/2*ln1/r2).双曲线方程Utt = a2U； - x0.U(0,M) =0；Ut(0,M)= （M）.三维：V(M,t)=1/4ar(r-at);二维：V(M,t)=1/2ar(r-at);一维：V(M,t)=1/2h(a2t2-x2)=1/2a |x|at;=0 |x|at.性质：Utt = LU+f(M,t)； - x0.U(0,M) =（M）；Ut(0,M)= （M）.若f, , 是连续函数，则U(M,t)=3).热传导方程Ut = LU； - x0.U(0,M) =（M）；的解为基本解。三维

23、基本解：二维基本解一维基本解3特殊区域内的Green函数的求法，使用Green函数表达椭圆型方程的解（1）Green函数的概念及性质定义：满足G=-（M-M0），G|a=0称为格林函数性质：a.Green函数与所给区域和边界有关 b. Green函数界有对称性（2）特殊区域内的Green函数a.圆内的Green函数 b.球内的Green函数c.半空间上的Green函数d.半平面内的Green函数e.第一象限的Green函数例一 求解1/4平面的Dirichlet问题U=0； x，y0.U(0,y) =f(y)；U(0,x)= 0。解：二维Dirichlet问题利用二维Dirichlet问题的积

24、分公式。例二 求解下列边界问题U=f(x,y)； xR，y0.U(0,x)= （x）。解：利用二维Dirichlet问题积分公式代入有：U（x,y）=0+-+f(x0,y0)G(x,y,x0,y0)dx0dy0-+(x0)G/n|y0dx0其中G=1/2ln1/r-1/2ln1/r1G/n|y0=- y0/*(1/(x- x0)2+ y02)代入有：U(x,y)=(答案略)七Bessel函数（一）Bessel方程及方程的解（二）Bessel函数及性质1. Bessel函数及表现形式2. Bessel函数的母函数3. Bessel函数的递推关系（三）Bessel函数的正交性及广义的傅氏级数1. Bessel函数的正交性2. Bessel函数的模3. Bessel函数的傅氏级数例一计算I=x4J1(x)dx.法一.由公式dxmJm(x)/dx= xmJm-1(x)有： I=x2（x2J1(x)）dx=x2dx2J2(x)/dxdx = x4J2(x)-2x3J2(x)dx = x4J2(x)-2dx3J3(x)/dxdx = x4J2(x)- 2x3J3(x)