专题训练蚂蚁爬行的最短路径含答案.docx

1、专题训练蚂蚁爬行的最短路径含答案蚂蚁爬行的最短路径1一只蚂蚁从原点 0 出发来回爬行，爬行的各段路程依次为： +5， -3， +10，-8，-9，+12，-10回答下列问题：（ 1 ）蚂蚁最后是否回到出发点 0；（ 2 ）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励 2 粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻解：（ 1）否， 0+5-3+10-8-9+12-10=-3 ，故没有回到 0；（2）（ |+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10| ） 2=114 粒2.如图，边长为 1的正方体中，一只蚂蚁从顶点 A出发沿着正方体的外表面爬到顶点 B 的最短距离是 .解：如图将正方体

2、展开，根据 “两点之间，线段最短 ”知，线段 AB 即为最短路线AB= 22 12 5 3（ 2006?茂名）如图，点 A、 B 分别是棱长为 2 的正第方6体题左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点 A沿其表面爬到点 B 的最短路程是 cm解：由题意得，从点 A 沿其表面爬到点 B 的最短路程是两个棱长的长，即 2+2=4 4如图，一只蚂蚁从正方体的底面 A 点处沿着表面爬行到点上面的 B 点处，它爬行的最短路线是（）AA?P?BBA?Q?BCA?R?BD A?S?B 解：根据两点之间线段最短可知选 A故选 A5如图，点 A 的正方体左侧面的中心，点 B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为 2，一蚂

3、蚁从点 A 沿其表面爬到点 B 的最短路程是（ ）2解：如图， AB= 1 2 2 12 10 故选 C6正方体盒子的棱长为 2， BC 的中点为 M，一只蚂蚁从 A 点爬行到 M 点的最短距离为 （ ） 解：展开正方体的点 M 所在的面，BC 的中点为 M ，1所以 MC= BC=1，2在直角三角形中 AM= =7如图，点 A 和点 B 分别是棱长为 20cm 的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子 表面由 A 处向 B 处爬行，所走最短路程是 cm。解：将盒子展开，如图所示：1 1 1 1AB=CD =DF +FC = EF+ GF= 20+ 20=20cm2 2 2 2故选 C1

4、）展开前面右面由勾股定理得 AB= = cm ；2）展开底面右面由勾股定理得 AB= =5cm；所以最短路径长为 5cm，用时最少： 52=2.5 秒10（ 2009?恩施州）如图，长方体的长为 15，宽为 10，高为 20，点 B离点 C 的距离为 5，只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B，需要爬行的最短距离是。解：将长方体展开，连接 A、 B，根据两点之间线段最短， AB= =25C1处（三条棱长11.如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 AC1=2 2 2 2 2BC12 42 1 2 2 42 32

5、 5A 点爬到 B 点，12如图所示：有一个长、宽都是 2 米，高为 3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从那么这只蚂蚁爬行的最短路径为米。解：由题意得，路径一： AB= = ；路径二： AB= =5；路径三： AB= = ； 5，5 米为最短路径13如图，直四棱柱侧棱长为 4cm，底面是长为 5cm 宽为 3cm 的长方形一只蚂蚁从顶点 A 出发沿棱柱的表面爬到顶点 B求：（1）蚂蚁经过的最短路程；（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程解：（ 1） AB 的长就为最短路线然后根据 若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为 （ cm）；若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为 （cm），或 （

6、cm）所以蚂蚁经过的最短路程是 cm（2） 5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm，最长路程是 30cm14如图，在一个长为 50cm，宽为 40cm ，高为 30cm 的长方体盒子的顶点 A 处有一只蚂蚁， 要爬到顶点 B 处去觅食，最短的路程是多少？解：图 1 中， cm图 2 中， cm图 3 中， cm采用图 3 的爬法路程最短，为 cmA爬15如图，长方体的长、宽、高分别为 6cm，8cm， 4cm一只蚂蚁沿着长方体的表面从点到点 B则蚂蚁爬行的最短路径的长是。解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是 12cm 和

7、6cm，则所走的最短线段是 =6 cm；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是 10cm 和 8cm，所以走的最短线段是 = cm；第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是 14cm 和 4cm，所以走的最短线段是 =2 cm；三种情况比较而言，第二种情况最短16如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20cm、 3 cm、 2 cm A和 B 是这个台阶上两个相对的端点，点 A 处有一只蚂蚁，想到点 B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬 行到点 B 的最短路程为 cm解：三级台阶平面展开图为长方形，长

8、为 20cm，宽为（ 2+3） 3cm，则蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程是此长方形的对角线长可设蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程为 xcm， 由勾股定理得： x2=202+ （2+3）32=252， 解得 x=25 故答案为 2517如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于 5cm， 3cm和 1cm，A 和 B是这个台阶的两个相对的端点， A 点上有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物 .请你想一想，这只蚂 蚁从 A 点出发，沿着台阶面爬到 B 点，最短线路是 cm。解：将台阶展开，如下图，因为 AC=33+13=12 ，BC=5， 所以 AB 2= AC2+BC 2=16

9、9 ，所以 AB=13（ cm）， 所以蚂蚁爬行的最短线路为 13cm 答：蚂蚁爬行的最短线路为 13cm18（ 2011?荆州）如图，长方体的底面边长分别为 2cm 和 4cm，高为 5cm 若一只蚂蚁从 P 点开始经过 4 个侧面爬行一圈到达 Q 点，则蚂奴爬行的最短路径长为 cm解： PA =2（ 4+2）=12，QA=5 PQ =13 故答案为： 13 19如图，一块长方体砖宽 AN=5cm，长 ND =10cm， CD 上的点 B距地面的高 BD =8cm，地面上A 处的一只蚂蚁到 B 处吃食，需要爬行的最短路径是多少？解：如图 1，在砖的侧面展开图 2 上，连接 AB ，则 AB

10、的长即为 A 处到 B 处的最短路程解：在 Rt ABD 中，因为 AD=AN+ND=5+10=15 ， BD=8， 所以 AB2=AD2+BD2=152+82=289=17 2所以 AB=17 cm故蚂蚁爬行的最短路径为 17cm20（ 2009?佛山）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有 只蚂蚁从柜角 A 处沿着木柜表面爬到柜角 C1 处1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；2）当 AB=4， BC=4 ， CC1=5 时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；3）求点 B1 到最短路径的距离解：（ 1 ）如图，木柜的表面展开图是两个矩形 ABC 1D 1 和 AC

11、C1A1故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的 A1C1和 AC1（ 2 分）（2）蚂蚁沿着木柜表面经线段 A1B1 到 C1，爬过的路径的长是 （3 分）蚂蚁沿着木柜表面经线段 BB1 到 C1，爬过的路径的长是（4 分）l1l2，故最短路径的长是 （5 分）（3）作 B1EAC1 于 E，则 ? ? 为所求 （ 8 分）21有一圆柱体如图，高 4cm，底面半径 5cm，A 处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到 C 处，求蚂蚁爬行的最短距离 .22有一圆形油罐底面圆的周长为故答案为： 16cm24m，高为 6m，一只老鼠从距底面 1m 的 A 处爬行到对角 B处吃食物，它爬行的最短路线长为解：AB

12、= 52 122 13m623如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高 AA1的端点 A 到达 A1，若圆柱底面半径为 ，高第3题为 5 ，则蚂蚁爬行的最短距离为解：因为圆柱底面圆的周长为 26 =12 ，高为 5，所以将侧面展开为一长为 12，宽为 5 的矩形，根据勾股定理，对角线长为 =13故蚂蚁爬行的最短距离为 1324如图，一圆柱体的底面周长为 24cm，高 AB 为 9cm ，BC 是上底面的直径一只蚂蚁从点 A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C，则蚂蚁爬行的最短路程是解：如图所示：故蚂蚁从点 A 出发沿着圆柱体的表面爬行到点 C 的最短路程是 15cm 故答案为： 15 25（ 2006

13、?荆州）有一圆柱体高为 10cm，底面圆的半径为 4cm，AA1，BB 1 为相对的两条母 线在 AA1 上有一个蜘蛛 Q，QA=3cm；在 BB1 上有一只苍蝇 P，PB1=2cm，蜘蛛沿圆柱体侧面 爬到 P 点吃苍蝇，最短的路径是 cm（结果用带 和根号的式子表示）解： QA=3，PB1=2，即可把 PQ 放到一个直角边是 4和 5 的直角三角形中，根据勾股定理得：QP=A 处爬行到对面的26同学的茶杯是圆柱形，如图是茶杯的立体图，左边下方有一只蚂蚁，从 中点 B 处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图问题：某正方体盒子，如图左边下方 A 处有一只蚂蚁，从 A处爬行到侧棱 GF 上

14、的中点 M 点处， 如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图AB，即是这条最短路线图如图，将正方体中面 ABCD 和面 CBFG 展开成一个长方形，如图示，则 A、 M 分别位于如图所示的位置，连接 AM ，即是这条最短路线图在圆锥侧面展开图中 BP= 20 2 5 ， 第 5 题 这只蚂蚁爬行的最短距离是 2 5 cm故答案是： 2 5 cm28如图，圆锥的底面半径 R=3 dm，母线 l=5dm，AB 为底面直径， C 为底面圆周上一点， COB=150，D为VB上一点， VD= 现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点 C爬到 D则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）解： = = ，设弧 BC 所对的圆心角

15、的度数为 n，解得 n=90 ，A则蚂蚁爬行的最短路程长为 CVD =90， CD= =4 ，29已知圆锥的母线长为 5cm，圆锥的侧面展开图如图所示，且 AOA 1=120 ，一只蚂蚁欲从圆 锥的底面上的点 A 出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点 解：连接 AA，作 OC AA于 C，圆锥的母线长为 5cm， AOA1=120 ， AA=A2C=5 3 30如图，底面半径为 1，母线长为 4 的圆锥， 只小蚂蚁若从 A 点出发，绕侧面一周又回到 A 点，它爬行的最短路线长是解：由题意知，底面圆的直径为 2，故底面周长等于 2 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为解得 n=90，所以展开图中圆心角为

16、90，根据勾股定理求得到点 A 的最短的路线长是： 16 16 32 4 2 31（ 2006?南充）如图，底面半径为 1，母线长为 4 的圆锥，一只小蚂蚁若从 A 点出发，绕侧 面一周又回到 A 点，它爬行的最短路线长是。解：由题意知底面圆的直径 =2 ， 故底面周长等于 2 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为 n，4n根据底面周长等于展开后扇形的弧长得 2= ，180解得 n=90，所以展开图中的圆心角为 90， 根据勾股定理求得它爬行的最短路线长为 4 2 32（ 2009?乐山）如图，一圆锥的底面半径为 2，母线 PB 的长为 6， D 为 PB 的中点一只蚂解：由题意知，底面圆的直径

17、AB =4，故底面周长等于 4 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为 n，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得 4= 2n 6360解得 n=120，所以展开图中 APD =1202=60，根据勾股定理求得 AD=3 3 ， 所以蚂蚁爬行的最短距离为 3 3 33如图，圆锥底面半径为 r，母线长为 3r ，底面圆周上有一蚂蚁位于 A 点，它从 A点出发沿圆 锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径 解：把圆锥沿过点 A 的母线展成如图所示扇形，13 OC = OA = r22 AC= OA2 OC2 3 3r2 AA=A2C= 3 3 r，即蚂蚁运动的最短路程是

18、3 3 r34如图，一只蚂蚁从圆锥底面的 A 点出发，沿侧面绕行一周后到达母线 SA的中点 M蚂蚁沿怎样的路径行走最合算？为了解决这一问题，爱动脑筋的银银、慧慧与乐乐展开了研究 （1）善于表现的银银首先列出了一组数据：圆锥底面半径 r=10cm，母线 SA 长为 40cm，就这组数据，请你求出蚂蚁所走的最短路程；（ 2 ）一向稳重的慧慧只给出一个数据：圆锥的锥角等于 60（如图），请问：蚂蚁如何行走最合算？（3）通过（ 1）、（ 2 ）的计算与归纳，银银、慧慧自认为他们已找到问题的解决方法，可老谋 深算的乐乐认为他们考虑欠周，请你分析，乐乐为什么认为他们考虑欠周？结合上面的研究，请你给出这一问题的一般性解法解：（ 1） 2?10=n?40180 n=90，AM = =20 底面半径的长和母线 但缺少母线的长（ 3） 为慧慧缺少条件（ 2 ）知道母线的长，知 是 SA 的中点，根据三角