1、专题训练蚂蚁爬行的最短路径含答案蚂蚁爬行的最短路径1一只蚂蚁从原点 0 出发来回爬行,爬行的各段路程依次为: +5, -3, +10,-8,-9,+12,-10回答下列问题:( 1 )蚂蚁最后是否回到出发点 0;( 2 )在爬行过程中,如果每爬一个单位长度奖励 2 粒芝麻,则蚂蚁一共得到多少粒芝麻解:( 1)否, 0+5-3+10-8-9+12-10=-3 ,故没有回到 0;(2)( |+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10| ) 2=114 粒2.如图,边长为 1的正方体中,一只蚂蚁从顶点 A出发沿着正方体的外表面爬到顶点 B 的最短距离是 .解:如图将正方体
2、展开,根据 “两点之间,线段最短 ”知,线段 AB 即为最短路线AB= 22 12 5 3( 2006?茂名)如图,点 A、 B 分别是棱长为 2 的正第方6体题左、右两侧面的中心,一蚂蚁从点 A沿其表面爬到点 B 的最短路程是 cm解:由题意得,从点 A 沿其表面爬到点 B 的最短路程是两个棱长的长,即 2+2=4 4如图,一只蚂蚁从正方体的底面 A 点处沿着表面爬行到点上面的 B 点处,它爬行的最短路线是()AA?P?BBA?Q?BCA?R?BD A?S?B 解:根据两点之间线段最短可知选 A故选 A5如图,点 A 的正方体左侧面的中心,点 B 是正方体的一个顶点,正方体的棱长为 2,一蚂
3、蚁从点 A 沿其表面爬到点 B 的最短路程是( )2解:如图, AB= 1 2 2 12 10 故选 C6正方体盒子的棱长为 2, BC 的中点为 M,一只蚂蚁从 A 点爬行到 M 点的最短距离为 ( ) 解:展开正方体的点 M 所在的面,BC 的中点为 M ,1所以 MC= BC=1,2在直角三角形中 AM= =7如图,点 A 和点 B 分别是棱长为 20cm 的正方体盒子上相邻面的两个中心,一只蚂蚁在盒子 表面由 A 处向 B 处爬行,所走最短路程是 cm。解:将盒子展开,如图所示:1 1 1 1AB=CD =DF +FC = EF+ GF= 20+ 20=20cm2 2 2 2故选 C1
4、)展开前面右面由勾股定理得 AB= = cm ;2)展开底面右面由勾股定理得 AB= =5cm;所以最短路径长为 5cm,用时最少: 52=2.5 秒10( 2009?恩施州)如图,长方体的长为 15,宽为 10,高为 20,点 B离点 C 的距离为 5,只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B,需要爬行的最短距离是。解:将长方体展开,连接 A、 B,根据两点之间线段最短, AB= =25C1处(三条棱长11.如图,一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发,沿长方体的表面爬到对角顶点如图所示),问怎样走路线最短?最短路线长为 AC1=2 2 2 2 2BC12 42 1 2 2 42 32
5、 5A 点爬到 B 点,12如图所示:有一个长、宽都是 2 米,高为 3米的长方体纸盒,一只小蚂蚁从那么这只蚂蚁爬行的最短路径为米。解:由题意得,路径一: AB= = ;路径二: AB= =5;路径三: AB= = ; 5,5 米为最短路径13如图,直四棱柱侧棱长为 4cm,底面是长为 5cm 宽为 3cm 的长方形一只蚂蚁从顶点 A 出发沿棱柱的表面爬到顶点 B求:(1)蚂蚁经过的最短路程;(2)蚂蚁沿着棱爬行(不能重复爬行同一条棱)的最长路程解:( 1) AB 的长就为最短路线然后根据 若蚂蚁沿侧面爬行,则经过的路程为 ( cm);若蚂蚁沿侧面和底面爬行,则经过的路程为 (cm),或 (
6、cm)所以蚂蚁经过的最短路程是 cm(2) 5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm,最长路程是 30cm14如图,在一个长为 50cm,宽为 40cm ,高为 30cm 的长方体盒子的顶点 A 处有一只蚂蚁, 要爬到顶点 B 处去觅食,最短的路程是多少?解:图 1 中, cm图 2 中, cm图 3 中, cm采用图 3 的爬法路程最短,为 cmA爬15如图,长方体的长、宽、高分别为 6cm,8cm, 4cm一只蚂蚁沿着长方体的表面从点到点 B则蚂蚁爬行的最短路径的长是。解:第一种情况:把我们所看到的前面和上面组成一个平面, 则这个长方形的长和宽分别是 12cm 和
7、6cm,则所走的最短线段是 =6 cm;第二种情况:把我们看到的左面与上面组成一个长方形, 则这个长方形的长和宽分别是 10cm 和 8cm,所以走的最短线段是 = cm;第三种情况:把我们所看到的前面和右面组成一个长方形,则这个长方形的长和宽分别是 14cm 和 4cm,所以走的最短线段是 =2 cm;三种情况比较而言,第二种情况最短16如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为 20cm、 3 cm、 2 cm A和 B 是这个台阶上两个相对的端点,点 A 处有一只蚂蚁,想到点 B 处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬 行到点 B 的最短路程为 cm解:三级台阶平面展开图为长方形,长
8、为 20cm,宽为( 2+3) 3cm,则蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程是此长方形的对角线长可设蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程为 xcm, 由勾股定理得: x2=202+ (2+3)32=252, 解得 x=25 故答案为 2517如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于 5cm, 3cm和 1cm,A 和 B是这个台阶的两个相对的端点, A 点上有一只蚂蚁,想到 B 点去吃可口的食物 .请你想一想,这只蚂 蚁从 A 点出发,沿着台阶面爬到 B 点,最短线路是 cm。解:将台阶展开,如下图,因为 AC=33+13=12 ,BC=5, 所以 AB 2= AC2+BC 2=16
9、9 ,所以 AB=13( cm), 所以蚂蚁爬行的最短线路为 13cm 答:蚂蚁爬行的最短线路为 13cm18( 2011?荆州)如图,长方体的底面边长分别为 2cm 和 4cm,高为 5cm 若一只蚂蚁从 P 点开始经过 4 个侧面爬行一圈到达 Q 点,则蚂奴爬行的最短路径长为 cm解: PA =2( 4+2)=12,QA=5 PQ =13 故答案为: 13 19如图,一块长方体砖宽 AN=5cm,长 ND =10cm, CD 上的点 B距地面的高 BD =8cm,地面上A 处的一只蚂蚁到 B 处吃食,需要爬行的最短路径是多少?解:如图 1,在砖的侧面展开图 2 上,连接 AB ,则 AB
10、的长即为 A 处到 B 处的最短路程解:在 Rt ABD 中,因为 AD=AN+ND=5+10=15 , BD=8, 所以 AB2=AD2+BD2=152+82=289=17 2所以 AB=17 cm故蚂蚁爬行的最短路径为 17cm20( 2009?佛山)如图,一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙),有 只蚂蚁从柜角 A 处沿着木柜表面爬到柜角 C1 处1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径;2)当 AB=4, BC=4 , CC1=5 时,求蚂蚁爬过的最短路径的长;3)求点 B1 到最短路径的距离解:( 1 )如图,木柜的表面展开图是两个矩形 ABC 1D 1 和 AC
11、C1A1故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的 A1C1和 AC1( 2 分)(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段 A1B1 到 C1,爬过的路径的长是 (3 分)蚂蚁沿着木柜表面经线段 BB1 到 C1,爬过的路径的长是(4 分)l1l2,故最短路径的长是 (5 分)(3)作 B1EAC1 于 E,则 ? ? 为所求 ( 8 分)21有一圆柱体如图,高 4cm,底面半径 5cm,A 处有一蚂蚁,若蚂蚁欲爬行到 C 处,求蚂蚁爬行的最短距离 .22有一圆形油罐底面圆的周长为故答案为: 16cm24m,高为 6m,一只老鼠从距底面 1m 的 A 处爬行到对角 B处吃食物,它爬行的最短路线长为解:AB
12、= 52 122 13m623如图,一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高 AA1的端点 A 到达 A1,若圆柱底面半径为 ,高第3题为 5 ,则蚂蚁爬行的最短距离为解:因为圆柱底面圆的周长为 26 =12 ,高为 5,所以将侧面展开为一长为 12,宽为 5 的矩形,根据勾股定理,对角线长为 =13故蚂蚁爬行的最短距离为 1324如图,一圆柱体的底面周长为 24cm,高 AB 为 9cm ,BC 是上底面的直径一只蚂蚁从点 A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点 C,则蚂蚁爬行的最短路程是解:如图所示:故蚂蚁从点 A 出发沿着圆柱体的表面爬行到点 C 的最短路程是 15cm 故答案为: 15 25( 2006
13、?荆州)有一圆柱体高为 10cm,底面圆的半径为 4cm,AA1,BB 1 为相对的两条母 线在 AA1 上有一个蜘蛛 Q,QA=3cm;在 BB1 上有一只苍蝇 P,PB1=2cm,蜘蛛沿圆柱体侧面 爬到 P 点吃苍蝇,最短的路径是 cm(结果用带 和根号的式子表示)解: QA=3,PB1=2,即可把 PQ 放到一个直角边是 4和 5 的直角三角形中,根据勾股定理得:QP=A 处爬行到对面的26同学的茶杯是圆柱形,如图是茶杯的立体图,左边下方有一只蚂蚁,从 中点 B 处,如果蚂蚁爬行路线最短,请画出这条最短路线图问题:某正方体盒子,如图左边下方 A 处有一只蚂蚁,从 A处爬行到侧棱 GF 上
14、的中点 M 点处, 如果蚂蚁爬行路线最短,请画出这条最短路线图AB,即是这条最短路线图如图,将正方体中面 ABCD 和面 CBFG 展开成一个长方形,如图示,则 A、 M 分别位于如图所示的位置,连接 AM ,即是这条最短路线图在圆锥侧面展开图中 BP= 20 2 5 , 第 5 题 这只蚂蚁爬行的最短距离是 2 5 cm故答案是: 2 5 cm28如图,圆锥的底面半径 R=3 dm,母线 l=5dm,AB 为底面直径, C 为底面圆周上一点, COB=150,D为VB上一点, VD= 现有一只蚂蚁,沿圆锥表面从点 C爬到 D则蚂蚁爬行的最短路程是( )解: = = ,设弧 BC 所对的圆心角
15、的度数为 n,解得 n=90 ,A则蚂蚁爬行的最短路程长为 CVD =90, CD= =4 ,29已知圆锥的母线长为 5cm,圆锥的侧面展开图如图所示,且 AOA 1=120 ,一只蚂蚁欲从圆 锥的底面上的点 A 出发,沿圆锥侧面爬行一周回到点 解:连接 AA,作 OC AA于 C,圆锥的母线长为 5cm, AOA1=120 , AA=A2C=5 3 30如图,底面半径为 1,母线长为 4 的圆锥, 只小蚂蚁若从 A 点出发,绕侧面一周又回到 A 点,它爬行的最短路线长是解:由题意知,底面圆的直径为 2,故底面周长等于 2 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为解得 n=90,所以展开图中圆心角为
16、90,根据勾股定理求得到点 A 的最短的路线长是: 16 16 32 4 2 31( 2006?南充)如图,底面半径为 1,母线长为 4 的圆锥,一只小蚂蚁若从 A 点出发,绕侧 面一周又回到 A 点,它爬行的最短路线长是。解:由题意知底面圆的直径 =2 , 故底面周长等于 2 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为 n,4n根据底面周长等于展开后扇形的弧长得 2= ,180解得 n=90,所以展开图中的圆心角为 90, 根据勾股定理求得它爬行的最短路线长为 4 2 32( 2009?乐山)如图,一圆锥的底面半径为 2,母线 PB 的长为 6, D 为 PB 的中点一只蚂解:由题意知,底面圆的直径
17、AB =4,故底面周长等于 4 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为 n,根据底面周长等于展开后扇形的弧长得 4= 2n 6360解得 n=120,所以展开图中 APD =1202=60,根据勾股定理求得 AD=3 3 , 所以蚂蚁爬行的最短距离为 3 3 33如图,圆锥底面半径为 r,母线长为 3r ,底面圆周上有一蚂蚁位于 A 点,它从 A点出发沿圆 锥面爬行一周后又回到原出发点,请你给它指出一条爬行最短的路径,并求出最短路径 解:把圆锥沿过点 A 的母线展成如图所示扇形,13 OC = OA = r22 AC= OA2 OC2 3 3r2 AA=A2C= 3 3 r,即蚂蚁运动的最短路程是
18、3 3 r34如图,一只蚂蚁从圆锥底面的 A 点出发,沿侧面绕行一周后到达母线 SA的中点 M蚂蚁沿怎样的路径行走最合算?为了解决这一问题,爱动脑筋的银银、慧慧与乐乐展开了研究 (1)善于表现的银银首先列出了一组数据:圆锥底面半径 r=10cm,母线 SA 长为 40cm,就这组数据,请你求出蚂蚁所走的最短路程;( 2 )一向稳重的慧慧只给出一个数据:圆锥的锥角等于 60(如图),请问:蚂蚁如何行走最合算?(3)通过( 1)、( 2 )的计算与归纳,银银、慧慧自认为他们已找到问题的解决方法,可老谋 深算的乐乐认为他们考虑欠周,请你分析,乐乐为什么认为他们考虑欠周?结合上面的研究,请你给出这一问题的一般性解法解:( 1) 2?10=n?40180 n=90,AM = =20 底面半径的长和母线 但缺少母线的长( 3) 为慧慧缺少条件( 2 )知道母线的长,知 是 SA 的中点,根据三角
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