高三总复习数列知识点及题型归纳总结.docx

1、高三总复习数列知识点及题型归纳总结高三总复习数列一、数列的概念1 项（或首项），在第二个位（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作 an ，在数列第一个位置的项叫第置的叫第 2 项，, ，序号为 n 的项叫第 n项（也叫通项）记作 an ； 数列的一般形式： a1，a2，a3，, ， an ，, ，简记作 an 。例：判断下列各组元素能否构成数列（1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;（2）2010 年各省参加高考的考生人数。an的第 n项与 n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就（2）通项公式的定义：如果数列叫这个数列的通

2、项公式。例如： 1 ，2 ，3 ， 4， 5：11112345数列的通项公式是an= n( n 7， n N )，1数列的通项公式是 an = 1 （ n N ）。n说明：1an 表示数列， an 表示数列中的第 n项， an = f n 表示数列的通项公式；1,n 2k 12同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如， an = （ 1）n= （k Z） ；1,n 2k3不是每个数列都有通项公式。例如， 1，1.4，1.41，1.414 ，,（3）数列的函数特征与图象表示：序号： 1 2 3 4 5 6项 ： 4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一

3、个数集的映射。 从函数观点看， 数列 实质上是定义域为正整数集 N （或它的有限子集）的函数 f （n） 当自变量 n从 1 开始依次取值时对应的一系列 函数值 f （1）, f （2）, f （3）, , ， f （n），, 通常用 an 来代替 f n ，其图象是一群孤立点。例：画出数列 an 2n 1 的图像 .（4）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关 系分：单调数列（递增数列、递减数列） 、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，, （2）10, 9, 8, 7, 6,

4、 5, ,（3） 1, 0, 1, 0, 1, 0, , （4）a, a, a, a, a, ,例：已知数列 an 的前 n项和 sn 2n2 3，求数列 an 的通项公式练习：1根据数列前 4 项，写出它的通项公式： （1）1，3， 5，7, ；22 12232 1 42 152 12）23453）11，11，。1*22*33* 44*54）9，99，999，9999,5）7，77，777，7777，, (6)8, 88, 888, 88881）写出 a1, ， a2 ， a3 ， an 1，an2；22）79 2是否是数列中的项？若是，是第几项？33（ 2003 京春理 14，文 15）在

5、某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内。4、由前几项猜想通项：根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式1） （ 4） （ 7）题型一 、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示。用递推公式表示为 an an 1 d（n 2）或an 1 an d（n 1）。例：等差数列 an 2n 1 ， an an 1 题型二 、等差数列的通项公式： an a1 （

6、n 1）d ； 说明：等差数列（通常可称为 A P 数列）的单调性： d 0为递增数列， d 0 为常数列， d 0 为递减数列。例： 1. 已知等差数列 an 中， a7 a9 16，a4 1，则a12 等于（ ）A 15 B 30 C 31 D 642. an 是首项 a1 1，公差 d 3的等差数列，如果 an 2005，则序号 n等于（A） 667 （B）668 （C）669 （D） 6703. 等差数列 an 2n 1,bn 2n 1，则 an 为 bn为 （填“递增数列”或“递减数列” ） 题型三 、等差中项的概念：定义：如果 a ， A， b 成等差数列，那么 A叫做 a 与 b

7、的等差中项。其中 A a b2 aba， A， b 成等差数列 A 即： 2an 1 an an 2 （ 2an an m an m ）2 n 1 n n 2 n n m n m例：1（14 全国 I ）设 an 是公差为正数的等差数列， 若 a1 a2 a3 15 ，a1a2 a3 80 ，则 a1 2a1 31a （ ）A120 B 105 C90 D 752.设数列 an 是单调递增的等差数列，前三项的和为 12，前三项的积为 48，则它的首项是（ ）A 1 B.2 C.4 D.8题型四 、等差数列的性质： （1）在等差数列 an 中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （

8、2）在等差数列 an 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； （3）在等差数列 an 中，对任意 m ， n N ， an am （n m）d ， d an am （m n） ；nm（4）在等差数列 an 中，若 m， n， p ， q N 且 m n p q ，则 am an ap aq ；题型五 、等差数列的前 n和的求和公式： Sn n（a1 an ） na1 n（n 1）d 1n2 （a1 d）n 。( Sn An2 Bn递推公式： Sn2 2 2 2 （A,B为常数 ） an 是等差数列 ）（a1 an ）n （am an （m 1） ）n 22例：1. 如果等差数列 an 中，

9、a3 a4 a5 12，那么 a1 a2 . a7A）14 （ B）21 （ C）28 （D）352. （2015 湖南卷文）设 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和，已知 a2 3， a6 11，则 S7 等于 （ ）A13 B 35 C 49 D 633. （2015 全国卷理） 设等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 S9 72, 则 a2 a4 a9 =4. （2015 重庆文）（2）在等差数列 an 中， a1 a9 10，则 a5的值为（ ）5.若一个等差数列前 3项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个数列有（ ）A.13 项 B.12

10、项 C.11 项 D.10 项6. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 S12 21，则 a2 a5 a8 a117. （2014 全国卷理）设等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 a5 5a3则 S9n n 5 3 S58（2014 全国）已知数列 bn是等差数列， b1=1，b1+b2+, +b10=100.（）求数列 bn的通项 bn；9.已知 an 数列是等差数列， a10 10，其前 10项的和 S10 70，则其公差 d 等于（ ）S 11（2013全国）设 an为等差数列， Sn为数列 an的前 n项和，已知 S77，S1575，Tn为数列 n n 的前 n

11、项和，求 Tn。12.等差数列 an 的前 n项和记为 Sn ，已知 a10 30， a20 50求通项 an ；若 Sn =242，求 n13. 在等差数列 an 中，（1）已知 S8 48,S12 168,求a1和d ；（2）已知 a6 10,S5 5,求a8和S8；（3） 已知 a3 a15 40,求 S17题型六 . 对于一个等差数列：（1）若项数为偶数，设共有 2n项，则 S偶 S奇 nd ； S奇 an ；S偶 an 1 S奇 n（2）若项数为奇数，设共有 2n 1项，则 S奇 S偶 an a中 ； 奇 。S偶 n 1题型七 . 对与一个等差数列， Sn ,S2n Sn ,S3n

12、S2 n仍成等差数列。 例： 1. 等差数列 an 的前 m项和为 30，前 2m项和为 100，则它的前 3m项和为（ ）A.130 B.170 C.210 D.2602. 一个等差数列前 n项的和为 48，前 2 n项的和为 60，则前 3 n项的和为 。3已知等差数列 an 的前 10 项和为 100，前 100 项和为 10 ，则前 110 项和为4. 设Sn 为等差数列 an 的前 n项和， S4 14，S10 S7 30，则S9 =5（2015 全国 II ）设 Sn是等差数列 an的前 n 项和，若 S3 S6题型八 判断或证明一个数列是等差数列的方法：1定义法：an 1 an

13、d （常数）（ n N ） an 是等差数列2中项法：2an 1 an an 2 （ n N ） an 是等差数列3通项公式法：an kn b （k,b为常数 ） an 是等差数列4前 n 项和公式法：Sn An2 Bn （A, B为常数 ） an 是等差数列A.等差数列B. 等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断已知数列 an 的通项为 an2n 5 ，则数列 an 为 （ ）A.等差数列B. 等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断已知一个数列an 的前 n项和 sn22n2 4，则数列 an 为（）A.等差数列B. 等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无

14、法判断已知一个数列an 的前 n项和 sn22n 2 ，则数列 an 为（ ）A.等差数列B. 等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断已知一个数列an 满足 an 22an 1 an 0 ，则数列 an 为(）A.等差数列B. 等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断）2.3.4.5.N）例： 1. 已知数列 an 满足 an an 1 2，则数列 an 为 （6. 数列 an 满足 a1=8， a4 2，且an 2 2an 1 an 0 ( n求数列 an 的通项公式；7（14 天津理， 2）设 Sn是数列 an的前 n 项和，且 Sn=n2，则 an是（ ）A.

15、等比数列，但不是等差数列 B. 等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列 D. 既非等比数列又非等差数列题型九 . 数列最值（1）a1 0， d 0时， Sn有最大值； a1 0，d 0时， Sn有最小值；（2） Sn最值的求法：若已知 Sn， Sn的最值可求二次函数 Sn an2 bn的最值； 可用二次函数最值的求法（ n N ）；或者求出 an 中的正、负分界项，即： an 0 an 0an 1 0 an 1 0若已知 an ，则 Sn 最值时 n的值（ n N ）可如下确定 n 或 n例： 1等差数列 an 中， a1 0，S9 S12 ，则前 项的和最大。2 设等差数列

16、an 的前 n 项和为 Sn ，已知 a3 12，S12 0，S13 0 求出公差 d 的范围，指出 S1，S2， ，S12 中哪一个值最大，并说明理由。3（12 上海）设 an（nN*）是等差数列， Sn是其前 n项的和，且 S5S8，则下列结论错误的 是（ ）A.d S5 D.S6与 S7均为 Sn的最大值5. 已知 an 是等差数列，其中 a1 31，公差 d 8。1）数列 an 从哪一项开始小于 0？6.已知an是各项不为零的等差数列，其中 a1 0，公差 d 0，若 S10 0,求数列 an前n项和的最大值7.在等差数列 an中， a1 25， S17 S9 ，求Sn的最大值题型十

17、.利用 an S1 (n 1) 求通项n Sn Sn 1 (n 2)21.数列an的前 n项和 Sn n2 1(1)试写出数列的前 5项；(2)数列 an是等差数列吗？( 3)你能写出数 列an 的通项公式吗？2已知数列 an 的前 n 项和 Sn n2 4n 1，则23.设数列 an的前 n 项和为 Sn=2n2，求数列 an 的通项公式；4.已知数列 an 中， a1 3，前n和 Sn 1(n 1)(an 1) 12求证：数列 an 是等差数列求数列 an 的通项公式5. （2015安徽文）设数列 an的前 n项和 Sn n2，则 a8的值为（ ）（A） 15 （B） 16 （C） 49

18、（D） 64等比数列等比数列定义一般地， 如果一个数列从第二项起， 每一项与它的前一项的比等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等比数 列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q 表示 （q 0） ，即： an 1： an q（q 0） 。一、递推关系与通项公式递推关系： an 1 anq通项公式： an a1 qn 1推广： an am qn m1 在等比数列 an 中, a1 4,q 2，则 an2 在等比数列 an 中, a7 12,q 3 2 ,则a19 .3. （2014 重庆文）在等比数列 an中， a28，a1 64，则公比 q 为（ ）（ A）2 （ B）3 （ C）4

19、（ D）84.在等比数列 an 中， a2 2 ， a5 54 ，则 a8 =5. 在各项都为正数的等比数列 an 中，首项 a1 3，前三项和为 21，则 a3 a4 a5 （ ）A 33 B 72 C 84 D 189二、等比中项：若三个数 a, b,c成等比数列，则称 b为a与c的等比中项，且为 b ac，注： b2 ac是成等比数列的必要而不充分条件 .例：1. 2 3和2 3的等比中项为 （ ）（A）1 （B） 1 （C） 1 （D）22. （ 2013 重庆卷文） 设 an 是公差不为 0 的等差数列， a1 2且 a1,a3,a6 成等比数列， 则 an 的前 n项和 Sn =（

20、 ）n2 7n A44B n2 5n33C n2 3n24D n2 n、等比数列的基本性质，1.（1）若m n p q，则am an ap aq （其中m, n, p,q N ）2)qn m an ，an2 an m an m (n N ) am3) an 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列 .4) an 既是等差数列又是等比数列 an 是各项不为零的常数列 .例： 1在等比数列 an 中, a1和 a10是方程 2x2 5x 1 0的两个根 ,则 a4 a7 ( )5 2 1 1(A) (B) 2 (C) 1 (D) 12 2 2 22. 在等比数列 an ，已知 a1 5 ，

21、a9a10 100，则 a18 =3. 在等比数列 an 中， a1 a6 33，a3a4 32， an an 1求 an若 Tn lga1 lga2 lgan,求Tnlog2 a1 log 2 a3 log 2 a2n 1A. n(2n 1) B. (n 1) C. n2 D. (n 1) 2. 前 n 项和公式na1 (q 1)Sn a1 (1 qn) a1 anq (q 1)1 q 1 q例： 1.已知等比数列 an的首相 a1 5，公比 q 2，则其前 n项和 Sn12.已知等比数列 an 的首相 a1 5，公比 q 2 ，当项数 n 趋近与无穷大时，其前 n 项 和Sn3.设等比数列

22、 an的前 n项和为 Sn，已 a2 6, 6a1 a3 30，求 an和Sn4（2015年北京卷）设 f（n） 2 2 27 210 23n 10（n N），则 f（n）等于（ ）A 2 （8n 1） B2（8n 1 1） C 2（8n 3 1） D 2（8n 4 1）q；7 7 7 75（2014 全国文， 21）设等比数列 an的前 n项和为 Sn，若 S3S62S9，求数列的公比6设等比数列 an 的公比为 q，前 n 项和为 Sn，若 Sn+1,S n， Sn+2成等差数列，则 q 的值为 .3. 若数列 an 是等比数列，Sn 是其前 n 项的和，k N* ，那么 Sk，S2k S

23、k ， S3k S2k 成等比数列S6例： 1. （ 2014 辽宁卷理）设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若S3 =3 ，则S9S6A. 2 B.3 C. 3 D.32. 一个等比数列前n 项的和为 48，前 2n 项的和为 60，则前 3n 项的和为（A83 B 108 C 75 D 633. 已知数列 an 是等比数列，且 Sm 10，S2m 30，则 S3m1）定义法：an 1 q（常数）anan 为等比数列；（ 2）中项法： an 12 an an 2 （an 0） an 为等比数列；（3）通项公式法： an k qn （k , q为常数） an 为等比数列；（4）前 n项

24、和法： Sn k（1 qn ） （ k, q为常数） an 为等比数列。Sn k kqn （k,q为常数） an 为等比数列。例：1. 已知数列 an 的通项为 an 2n ，则数列 an 为 （ ）A. 等差数列 B. 等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列 D. 无法判断22.已知数列 an 满足 an 1 an an 2 （an 0） ，则数列 an 为 （ ）A. 等差数列 B. 等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列 D. 无法判断3.已知一个数列 an的前 n项和 sn 2 2n 1，则数列 an为（ ）A. 等差数列 B. 等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列

25、 D. 无法判断5.利用 an S1 (n 1) 求通项n Sn Sn 1 (n 2)1例： 1. （2015 北京卷）数列 an的前 n项和为 Sn，且 a1=1， an 1 Sn， n=1， 2， 3， , ，求 a2，a3，a43的值及数列 an的通项公式2. （2015 山东卷）已知数列 an 的首项 a1 5,前n项和为 Sn，且 Sn 1 Sn n 5（n N* ） ，证明数列 an 1 是等比数列四、求数列通项公式方法（1） 公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项例： 1已知等差数列 an 满足： a3 7,a5 a7 26， 求an；2. 已知数列 an 满足 a1

26、 2,an an 1 1（n 1） ，求数列 an 的通项公式；3. 数列 an 满足 a1=8，a4 2，且an 2 2an 1 an 0 （n N ），求数列 an 的通项公式；115. 设数列 an满足 a1 0且 1，求 an 的通项公式1 an 1 1 a n2a6. 已知数列 an 满足 an 1 n ,a1 1，求数列 an 的通项公式。n n 1 an 2 1 n7. 等比数列 a n 的各项均为正数，且22a1 3a2 1， a32 9a2 a6 ，求数列 an 的通项公式8. 已知数列 an 满足 a1 2,an 3an 1(n 1) ，求数列 an 的通项公式；9. 已知

27、数列 an 满足 a1 2，a2 4且an 2 an an 12 ( n N )，求数列 an 的通项公式；10. 已知数列 an满足a1 2，且an 1 5n 1 2(an 5n)(n N )，求数列 an 的通项公式；11. 已知数列 an 满足 a1 2，且 an 1 5 2n 1 2 3(an 5 2n 2)( n N )，求数列 an 的通项公式；12.数列已知数列 an 满足a1 1,an 4an 1 1(n 1).则数列 an 的通项公式 =22)累加法若 an 1 an f(n) (n 2) ，则a2 a1 f(1) a3 a2 f(2)an 1 an f(n)n两边分别相加得

28、 an 1 a1 f (n)k12.已知数列 an满足 an 1 an 2n 1，a1 1，求数列 an的通项公式。3.已知数列 an满足 an 1 an 2 3n 1，a1 3，求数列 an 的通项公式。4. 设数列 an满足 a1 2，an 1 an 3 22n 1，求数列 an的通项公式(3)累乘法适用于： an 1 f (n)an若 an 1 f(n)，则 a2 f (1)，a3 f(2)， ，an 1 f(n) an a1 a2 anan两边分别相乘得， n 1 a1 f (k)a1 k 1例：1. 已知数列 an 满足 an 1 2(n 1)5n an，a1 3，求数列 an 的通

29、项公式。( 4)待定系数法解题基本步骤：1、确定 f ( n)2、设等比数列 an 1 f (n) ，公比为3、列出关系式 an 1 1 f (n 1) 2an 2 f (n)4、比较系数求 1 ， 25、解得数列 an 1 f(n) 的通项公式6、解得数列 an 的通项公式例： 1. 已知数列 an 中， a1 1,an 2an 1 1(n 2) ，求数列 an 的通项公式。2.(2015，重庆 ,文,14)在数列 an 中，若 a1 1,an 1 2an 3(n 1)，则该数列的通项 an 3.(2014. 福建 .理 22.本小题满分 14 分)已知数列 an 满足 a1 1,an 1 2an 1(n N* ).求数列 an 的通 项公式；4.已知数列 an 满足 an 1 2an 3 5n，a1 6，求数列 an 的通项公式。5.