圆的性质.docx

1、圆的性质圆的有关概念及性质寒假专题圆（一） 二. 教学过程：圆的有关概念及性质复习目标要求 1. 理解圆的定义及弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、弓形等概念；理解不在同一直线上三点确定一个圆，了解三角形的外接圆、外心、圆的内接三角形等概念。 2. 掌握点与圆的位置关系：垂径定理，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及推论，能熟练地运用这些知识进行有关的计算和证明。重点难点突破 重点是垂径定理及其推论；圆心角、弧、弦、弦心距的相等关系定理。 难点是垂径定理及其推论的条件和结论的区分及灵活运用，实现突破的关键是注意基本图形，活用弦心距，同时注意与直角三角形的知识组合。中考动向分析 首先是充分

2、利用选择题容量较大的特点考查对圆的有关性质的准确理解；其次是利用垂径定理的证题，开放性试题中的作用诠释圆的轴对称性，第三是利用垂径定理与解直角三角形的组合考查学生的几何计算能力；第四是利用圆的有关性质与中位线、相似三角形的组合优势考查学生的几何综合证题能力。知识要点及解题方法指导（一）圆的有关概念及性质 圆：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。 圆内：圆的内部可以看做是到圆心的距离小于半径的点的集合。 圆外：圆的外部可以看做是到圆心的距离大于半径的点的集合。 弦：连结圆上任意两个点的线段叫做弦。 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。 同心圆：圆心相同，

3、半径不相等的两个圆叫做同心圆。 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆，同圆或等圆的半径相等。 等弧：同圆或等圆中能够互相重合的弧叫做等弧。 对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆还是以圆心为对称中心的中心对称图形。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 例1. 圆O中，弦ABAC，AD是圆O的直径。 求证：AD平分BAC 证明：作OEAB于E，OFAC于F ABAC OEOF OAEAOF 12 AD平分BAC 例2. 已知：P为圆O中任意一点，AB为过P点的弦，且

4、ABOP，CD为过P点且异于AB的任意一条弦。 求证：ABCD 证明：作OECD于E，连结OC、OB，则OE为CD弦的弦心距 OPAB OP为AB弦的弦心距 在RtOPE中 OPOE 在RtOCE和RtOBP中，CEPB 2CE2PB ABCD 例3. 如图：，求证：2CDAB 证明：取中点E，连结AE、BE，则： AEBECD 又AEBEAB 2CDAB 例4. 如图：圆周，AB8cm，求圆O直径。 解：圆周的度数为360 又圆周 的度数为90 AOB90 OAOB 圆O直径为（二）点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系 1. 点和圆的位置关系位置关系点在圆内点在圆上点在圆外点到圆心的距离为d，

5、圆的半径为R 2. 直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交直线与圆公共点的个数012圆心到直线的距离为d，半径为R图形 3. 圆和圆的位置关系位置关系外离外切相交内切内含（同心圆）两圆公共点的个数01210圆心距为d，半径分别为R，r（Rr）（）外公切线的条数22210内公切线的条数21000图形（三）垂直于弦的直径 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1： （1）平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的

6、两条平行弦所夹的弧相等。 例5. 已知：如图，AB为圆O直径，EF为弦，AD、BC垂直于弦，交弦的延长线于D、C。 求证：DEFC 分析：由已知容易得到ADBC，由O为AB中点应想到利用梯形中位线性质，因为题中有垂直条件，故作OHDC于H，利用垂径定理证明。 证明：作OHDC于H ADDC，BCDC ADOHBC 又O为AB中点 DHHC 又OHEF EHHF DEFC 例6. 如图，AB为圆O直径，BC为弦，直径DE过BC中点F。 求证： 分析：欲证，由已知得到：，故考虑证。 证明：F为BC中点，DE为圆O直径 又12 例7. 已知：如图，AC为圆O的弦，D为中点，OD交AC于B，若OB1c

7、m，DCcm，求圆O的直径。 分析：求半径的长，则应把半径放在一个直角三角形中，利用勾股定理求解（或放到适当的三角形中），从已知，应考虑到垂径定理。 解：连结OC D为中点 ODAC 设圆O半径为x cm，则 根据勾股定理有： 解得：（舍去） 圆O的直径为6cm与圆有关的角复习目标要求 3. 理解圆心角、圆周角、弦切角的概念，正确辨析圆心角、圆周角、弦切角之间的区别和联系。 4. 掌握圆周角、弦切角定理及其推论，能熟练地运用这些定理及推论进行有关的计算和证明。重点难点突破 重点是掌握圆周角、弦切角定理及其推论。 难点是圆周角、弦切角定理的证明。 实现突破的关键是用弧建立角与角之间的联系；其次巧

8、妙地利用直径构造直角从而借助直角三角形的知识解题；第三“在同圆或等圆中，等圆周角对等弧”与“圆心角、弧、弦、弦心距”之间的相等关系定理联合使用可以灵活地实现不同等量之间的相互转化，从而给许多问题的证明带来方便。中考动向分析 1. 通过选择题考查圆心角、圆周角、弦切角定理及其推论的题设条件的准确理解，特别是圆周角定理及其推论； 2. 以填空题的形式考查三大角的相关计算； 3. 与切割线定理、解直角三角形组合进行相关的几何计算； 4. 与相似三角形等的组合，进行比例线段的证明等。知识要点及解题方法指导（四）与圆有关的角 弧的度数：将顶点在圆心的周角等分成360份，则每一份的圆心角叫1的角，的圆心角

9、所对的弧叫做1的弧。 圆心角：顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫圆心角，圆心角与它所对的弧的度数相等。 圆周角：（1）顶点在圆上，角的两边与圆相交的角叫圆周角。 （2）圆周角等于它同弧上圆心角的一半。 （3）同弧或等弧所对的圆周角相等，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 （4）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。 （5）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么，这个三角形是直角三角形。 例8. 已知三角形ABC内接于圆O，A60，BC10，求圆O的直径。 解：连结CO并延长交圆O于A，则 AA60 AC为圆O直径 ABC90 例9. 已知：ABC内接于圆O，

10、EF是AB的中垂线，交AC于D，交BC延长线于E，交圆O于F、H。 求证：ADCDODED 解：连结AO EF垂直平分AB EF过圆心O， AOH的度数的度数 AFB的度数的度数的度数 AOHAFB ACE为圆内接四边形AFBC的外角 ACEAFBAOH 又12 AODECD 例10. 已知：如图ABC为等边三角形，AB为圆O直径，AC、BC与圆O交于D、E点。 求证：D、E平分半圆。 证明：连结AE ABC为等边三角形 B60 AB为圆O直径 AEB90 1230 的度数60 又的度数180 的度数60 D、E平分半圆圆与三角形、圆与四边形复习目标要求 5. 理解三角形和多边形的内切圆，圆的

11、外切三角形和圆的外切多边形及三角形的内心的概念；理解圆内接四边形的概念、性质及圆外切四边形的性质； 6. 掌握圆内接四边形的性质定理、圆外切四边形的有关性质，能熟练地解决与它们相关的计算及证明问题。重点难点突破 重点是掌握圆内接四边形的性质，三角形外接圆，内切圆的性质及圆外切四边形的性质。 难点是圆外切四边形的性质的灵活运用及三角形内切圆的半径与面积的关系，在解题过程中要重视利用圆内接四边形的性质灵活地进行角的转换；注意切线长定理与整体观念的组合正确领会三角形面积与内切圆半径的关系。中考动向分析 5. 组合与圆有关的角的知识考查角的计算； 6. 计算三角形内切圆半径、三角形面积及圆外切四边形的

12、面积； 7. 与切线长定理、圆幂定理、相似三角形比例线段等知识结合考查几何推理论证能力； 8. 将相关的几何问题与函数、面积、三角函数、一元二次方程等知识组合考查数形结合的思想和综合解题能力。知识要点及解题方法指导（五）圆与三角形、圆与四边形 圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 圆与三角形： （1）经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，三角形叫圆的内接三角形。 （2）和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形叫做圆的外切三角形。 （3）三角形有且只有一个外接圆和一个内切圆，它们的圆心分别叫做三角形的外心和内心。 圆与多边形： （1）若一个多边形的所有顶点都在同一圆上，则这个多边

13、形叫圆的内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆。 （2）和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，多边形叫圆的外切多边形。 （3）圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 例11. 已知：如图AB、CD是圆O内的两条平行弦，在上任取一点P，PB的延长线与DC的延长线交于E，PD与AB交于F。 求证：ADDEBEDP 思路一：将等积式转化为比例式，发现四条线段在两个三角形中，因此只须证BDEPAD即可。 证法一：连结AP、DB DCAB 12 又2P 1P 又DBE为圆内接四边形APBD的外角 DBEDAP ADPDBE 思路二：通过平行弦所夹的弧相等，等弧对等弦，可知ADBC

14、，应用等量代换可证：BCDEBEDP。 证法二：连结BC CBE为圆内接四边形DPBC的外角 CBEPDC 又EE BCEPDE BCDEBEPD 又ABDC ADDEBEDP 例12. 如图，AD为圆O直径，ABC114，AC平分BAD，求：BCD的度数。 分析：利用直径上的圆周角是直角和圆内接四边形对角互补进行解题。 解：AD为圆O直径 ACD90 ABC114 D66 124 AC平分BAD BAD2148 BCD132【模拟试题】（答题时间：40分钟）一. 选择题。 1. 如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为E，如果AB10，CD8，那么AE的长为（ ） A. 2 B. 3 C.

15、4 D. 5 2. 一种花边由图弓形组成，的半径为5，弦AB8，则弓形的高CD为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 3. 若圆的一条弦把圆分成度数比为13的两条弧，则劣弧所对圆周角等于（ ） A. 45 B. 90 C. 135 D. 270 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 平分弦的直线垂直于弦 C. 相等的圆心角所对弧相等 D. 同圆中，同弦所对圆周角相等 5. 如图，BC为半圆O的直径，A、D为半圆O上两点，则D的度数是（ ） A. 60 B. 120 C. 135 D. 150二. 填空题。 6. 半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为，那么这条弦所对的圆周

16、角的度数为_。 7. 圆内接四边形ABCD中，如果ABC234，那么D_度。 8. 如图，AB是O的弦，AC切O于点A，且BAC45，AB2，则O的面积为_（结果保留）。 9. 如图，PA、PC分别切O于A、C两点，B为O上与A、C不重合点，若P50，则ABC_。 10. 如图，点O为ABC内心，A56，则BOC_。三. 解答题。 11. 已知：如图，ABC内接于O，直线DE与O切于点A，BDCA。 求证：ABDABCBD 12. 如图，圆外切等腰梯形ABCD，E、F为切点，中位线EF15cm，求：等腰梯形ABCD周长。 13. 已知：如图，BE是ABC的外接圆O的直径，CD是ABC的高。 （

17、1）求证：ACBCBECD； （2）已知CD6，AD3，BD8，求O的直径BE的长。【试题答案】一. 选择题。 1. A 2. A 3. A 4. D 5. C二. 填空题。 6. 60或120 7. 90 8. 9. 65或115 10. 118三. 解答题。 11. 解：BDCA DBABAC DE切O于A BADBCA ABCBDA ABDABCBD 12. 解：等腰梯形ABCD外切于O AB、BC、CD、DA分别切O于点E、N、F、M AMAE，DMDF，BEBN，NCFC 等腰梯形ABCD中位线EF15 等腰梯形ABCD周长为60 13. 解：（1）连结CE BE是O的直径 ECB90 CDAB ADC90 ECBADC 又AE ADCECB （2）在RtACD和RtBCD中 CD6，AD3，BD8 由（1）有ACBCBECD 即 O的直径BE的长是