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1、大学物理21第八章气体动理论习题答案大学物理2-1第八章(气体动理论)习题答案 第 8 章 8-1 目前可获得的极限真空为1.33?10?11Pa，求此真空度下1cm3体积内有多少个分子?(设温度为27) 解 由理想气体状态方程P?nkT 得 P?故 N?NVkT，N?11PVkT ?300 ?61.33?10?1?101.38?10?23?3.21?10(个) 3 8-2 使一定质量的理想气体的状态按p?V图中的曲线沿箭头所示的方向发生变化，图线的BC段是以横轴和纵轴为渐近线的双曲线。 (1)已知气体在状态A时的温度是TA?300K，求气体在B、C、D时的温度。 (2)将上述状态变化过程在

2、V?T图(T为横轴)中画出来，并标出状态变化的方向。 解 (1)由理想气体状态方程PV/T恒量，可得：由AB这一等压过程中 VA TA VB VA?VBTB2010 则 TB?TA?300?600 (K) 因BC段为等轴双曲线，所以BC为等温过程，则 TC?TB?600 (K) CD为等压过程，则 VD TD?VCTC TD?VDVC?TC?2040?600?300 (K) (2) 403020100) 8-3 有容积为V的容器，中间用隔板分成体积相等的两部分，两部分分别装有质量为m的分子N1 和N2个, 它们的方均根速率都是?0，求： (1)两部分的分子数密度和压强各是多少? (2)取出隔板

3、平衡后最终的分子数密度和压强是多少? 解 (1) 分子数密度 n1?N1V1?2N1V 8-1 n2?N2V2?2N2V 由压强公式：P? 13 nmV 2 ， 13 2mN1V0 3V NV? 2 可得两部分气体的压强为 P1? n1mV0? 2 P2? 13 n2mV0? 2 2mN2V0 3V 2 (2) 取出隔板达到平衡后，气体分子数密度为 n? N1?N2 V 混合后的气体，由于温度和摩尔质量不变，所以方均根速率不变，于是压强为： P? 13nmV0? 2 (N1?N2)mV0 3V 2 8-4 在容积为2.5?10?3m3的容器中，储有1?1015个氧分子，4?1015个氮分子，3

4、.3?10?7g氢分子混合气体，试求混合气体在433K时的压强。 解 由 P?nkT n? N1?N2?N3 V3.3?10 2 ?7 23 N3? ?6.02?10 则 P? N1?N2?N3 V kT?0.25 (Pa) 8-5 有2?10?3m3刚性双原子理想气体，其内能为6.75?102J。 (1)试求气体的压强。 (2)设有5.4?1022个分子，求分子的平均平动动能及气体，温度。 解 (1)理想气体的内能 E?N? i2 kT (1) NV kT (2) 5 压强 P?nkT? 由(1)、(2)两式可得 P?(2) 由 E?N?又 w? 32kT? i232 2E5V 1.35?1

5、0 (Pa) 2E5kN ?362(K) ?21 kT 则 T?1.38?10 ?23 ?362?7.5?10 (J) 8-6 一容积为10cm3的电子管，当温度为300K时，用真空泵把管内空气抽成压强为 5?10 ?6 mmHg的真空，问此时管内有多少个空气分子?这些分子的总平动动能是多少?总转 动动能是多少?总动能是多少? 解 由理想气体状态方程 P? NV kT 得 8-2 N? PVkT ? 5?10 ?6 ?1.013?10?10?10 ?23 5?6 760?1.38?10?300 ?1.61?10 12 一个理想气体分子的平均平动动能为： e1?所以总的平均动能为： E1?N 3

6、2kT? PVkT ?32kT? 32PV? 35?102 ?6 i2 kT? 32 kT ?1.013?10760 5 ?1.0?10 ?6 ?1?10 ?8 (J) 将空气中的分子看成是由双原子刚性分子组成，而每一个双原子分子的平均转动动能为： e2? r2kT? 22 kT?kT 所以总的转动动能为： E2?Ne2? PVkT kT?PV? 5?10 ?6 ?1.013?10760 5 ?10?10 ?6 ?0.667?10 ?8 (J) 总动能Ek?E1?E2?1.667?10?8 (J) 8-7 某些恒星的温度可达108K的数量级，在这温度下原子已不存在，只有质子存在。试求：(1)质

7、子的平均动能是多少电子伏?(2)质子的方均根速率是多少? 解 质子只有3个平动自由度，所以其平均动能也就是它的平均平动动能 E? 32kT? 32 ?1.38?10 ?23 ?10/1.602?10 8?19 ?1.29?10(eV) 4 质子的方均根速率为： p? 2 3kTmp ? 3?1.38?10 ?23 ?10 8 1.673?10 ?27 ?1.58?10(ms) 6 8-8 容器内某理想气体的温度T?273K，压强P?1.00?10?3atm,密度为1.25g/m3,求： (1)气体分子的方均根速率； (2)气体的摩尔质量，是何种气体? (3)气体分子的平均平动动能和转动动能；

8、(4)单位体积内气体分子的总平动动能； (5)气体的内能。设该气体有0.3mol。 解 (1) 由P?nkT 得 n?所以 m? ? n? PkT ?kT P? 3kT 3P 3?1.00?10 ?3 所以 2 ? 3kTm ?kT ?P? ? ? ?1.013?10 ?3 ?3 1.25?10 ?493(ms) (2) 气体的摩尔质量 Mmol?N0m?N0 ?kT p ?6.02?10 23 ? 1.25?10 ?3 ?1.38?10 ?3 ?23 ?273 5 1.00?108-3 ?1.013?10 ?0.028?kgmol? 所以该气体是N2或CO (3) 气体分子的平均平动动能 ?

9、3 2kT?3 2?1.38?10?23?273?5.65?10?21?J? 气体分子的转动动能 2?22kT?1.38?10?23?273?3.77?10?21?J? (4) 单位体积内气体分子的总平动动能 E?n1?pkT?3 2kT?3 2p?3 2?1.00?10?3?1.013?105?1.52?102?Jm-3? (5) 该气体的内能 E?0.3Emol?0.3?i2RT?0.3?5 2?8.31?273?1.701?103?J? 8-9 容积为10?10?3m3的容器以速率200ms匀速运动,容器中充有质量为50g，温度为18的氢气。设容器突然静止，全部定向运动的动能都转变为气体

10、热运动的动能，若容器与外界没有热交换，达到平衡时氢气的温度增加了多少?压强增加了多少?氢分子视为刚性分子。 解 由能量守恒定律知 M M mol12Mv2?Ek 又因 ?Ek?Mi22RT?2MM?mol52RT ?274mol 所以 ?T? 由 p?N V V5Rv?mv5k3.35?10?4?10?235?1.38?10?1.9?K? kT k?T?Mk?T mV?50?10?3 ?p?N?1.38?10 ?27?23?1.9?33.35?10?10?10?3.95?104?Pa? 8-10 一摩尔水蒸气分解成同温度的氢气和氧气，内能增加了百分之几(不计振动自由度)? 解 由水的分解方程知

11、，1mol水蒸气分解为1mol氢气和 1mol水蒸气的内能 E1? 1mol氢气的内能 E2?1 2625212RT?3RT RT ?5 2RT?5 4RT 12mol氧气。设温度为T， mol氧气的内能 E3? 所以 ?E?E2?E3?E1?34RT 8-4 所以内能增加的百分比为 ?EE1 ?100%?25% 8-11 求速度与最概然速率之差不超过最概然速率1%的分子数占分子总数的百分比。 解 根据题意，由麦克斯韦分布定律 ?NN ? 4?m?2kT? 3e ? mv 2 2kT v?v 2 又 vp? 2kTm 4 ?v? ? ?v?p? 2 所以 ?NN ? vpe ?3 v?v? 2

12、 4?v?vpvp? ? ? ?e? 2 ?v? ? ?v?p? 2 ?vvp ?v?0.02vp v?在vp附近，v?vp ?v? ?p100?p100? ? vp? ?NN ? 4 ?e ?1 ?0.02?1.66% 8-12 速率分布函数的物理意义是什么?试说明下列各量的意义： (1) f(?)d?；(2) Nf(?)d?；(3) ? ?2 ?1 f(?)d?；(4)?Nf(?)d?；(5)?f(?)d?。 ?1 ?1 ?2?2 答 f(?)表示在热力学温度T时，处于平衡状态的给定气体中，单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比。 (1) f(?)d?表示某分子的速率在vv+dv间隔内的

13、概率；或者说速率在vv+dv间隔内的分子数占总分子数的百分比； (2) Nf(?)d?表示分子速率在vv+dv间隔内的分子数； (3) ? ?2 ?1 f(?)d?表示分子速率在v1v2间隔内的概率，或者说该分子速率在v1v2间隔内 的分子数占总分子数的百分比； (4) (5) ? ?2 ?1?2 Nf(?)d?表示分子速率在v1v2间隔内的分子数； ?1 ?f(?)d?无直接明显的物理意义，只能表示在v1v2间隔内分子对速率算术平均 值的贡献。 8-13 由N个粒子组成的系统，其速率分布曲线如图所示，当?>2?0时，f(?)?0，求： (1)常数a； (2)速率大于?0和小于?0的粒子

14、数； 8-5 (3)分子的平均速率。 解 (1) 由归一化条件知曲线下的面积 S?所以 32 v0a?1 得到 a? 12 v0a?v0a?1 23v0 12 13 13 (2) v<v0时，曲线下的面积 S1?v>v0时，曲线下的面积 S2?(3) ? 23 v0a? ，所以粒子数为 N1? 23N0 N0 ，所以粒子数为 N2? ? 2v0 vf?v?dv? av0 ? v0 vf1?v?dv? ? 2v0 v0 vf2?v?dv 由图知 f1?v?v f2?v?a 所以 ? ? v0 v 2 av0 dv? ? 2v0 v0 avdv? av03 2 ? 3a2 v0? 2

15、116 av0? 2 119 v0 8-14 容积为30?10?3m3 的容器中，贮有20?10?3kg的气体，其压强为50.7?103Pa。求气体分子的最概然速率、平均速率及方均根速率。 解 设容器内气体分子总数为N，则有N? MN kTpV pVkT 该气体分子质量为 m?最概然速率为 vp? 2kTm ? 2kTpVM kT ?M ? 2pVM ? 2?50.7?10?30?10 20?10 ?3 3?3 ?3.89?10 2 ?ms? 平均速率为 ? 8kT ?1.60 kTm ?1.60 pVM ?1.60? 50.7?10?30?10 20?10 ?3 3 ?3 ?m ?4.39?

16、10 2 ?ms? 方均根速率 v 2 ? 3kTm ?1.73 kTm ?1.73 pVM ?1.73? 50.7?10?30?10 20?10 ?3 3?3 ?4.77?10 2 ?m? 8-15 质量为6.2?10?14kg的粒子悬浮于27的液体中，观测到它的方均根速率为 1.40cm/s。 (1)计算阿佛加德罗常数。 8-6 (2)设粒子遵守麦克斯韦分布律，求粒子的平均速率。 解 (1) 由方均根速率公式 v 2 ? 3RTM mol 得到 Mmol? 3?8.31?300 3RTv 2 阿佛加德罗常数为 N0? M mol M ? 3RTvm 2 ? ?1.4?10? ?2 2 ?6

17、.2?10 ?17 ?6.15?10 23 ?mol? (2) ? 8RT ?M ?1.60 RTM mol mol 而 v 2 ? 3RTM mol ?1.73 RTM mol 所以 ? 1.601.73 v 2 ? 1.601.73 ?1.40?10 ?2 ?1.30?10 ?2 ?ms? ?1?1? 8-16 由麦克斯韦分布律求速率倒数的平均值? 。(?xe?bxdx?)。 02b? 2 ?m? 解 f?v?4? 2kT?1? ?v? ? 32 e ? mv 2 2kT v 2 ? 1v f?v?dv? ? 1 ?m?4?v2kT? 32 e ? mv 2 2kT ?m? vdv?4?

18、2kT? 2 32kT ?2m? ?2m?kT? 1 8-17 大气压强随高度的变化规律为p?p0exp(? M mol gh RT )。拉萨海拔约3600m，设大气温 度为27，而且处处相同，求拉萨的大气压是多少?空气的摩尔质量是29?10?3kg/mol。海平面处大气压为1atm。 解 拉萨大气压强为 p?1?e ?2p?10 ?3 ?9.8?3600 8.31?300 atm=0.663atm 8-18 实验测得常温下距海平面不太高处，每升高10m，大气压约降低1mmHg，试用恒温度气压公式证明此结果(海平面处大气压按760 mmHg计，温度取273K)。 证明 因为大气压强随高度变化规

19、律为 p1?p0exp? ? g?h?h? ? RT? ? Mgh? ? RT? mol 升高?h后大气压为 p2?p0exp? ? g?h?h? ? RT? ?M mol ?M p2?p0exp? ? mol 8-7 所以 ?Mmolgh ?p?p2?p1?p0exp? RT? ? ?760?1?exp ? ?3 ?exp?Mmolg?h? ?1? RT?1?0.95mmHg? ?29?10?9.8?10 ?8.31?273? 8-19 重力场中粒子按高度的分布为n?n0e?mgh/kT。设大气中温度随高度的变化忽略不计，在27时，升高多大高度，大气压强减为原来的一半。 解 由p?nkT知，

20、当大气压强减为原来的一半时，n?n02 由 n?n0e?mgh/kT得，e?mgh/kT?即 h? ln2?kTmg ? ln2?RTM mol 12 g ? ln2?8.31?30029?10 ?3 ?9.8 ?6080m 8-20 试计算空气分子在标准状况下的平均自由程和平均碰撞频率。取分子的有效直径为 3.5?10 ?10 m，空气平均摩尔质量为 29?10 ?3 kg/mol。 解 平均自由程 ? 12?dn 2 ? kT2?dp 2 ? 1.38?10 ?23 ?273 2?3.14?3.5?10 ?10 ? 2 ?1.013?10 5 ?6.9?10 ?8 ?m? 平均碰撞频率 Z

21、? 2?dn? 2 2?d 2 8RT ?M ?10 ? pkT ?2?dn?8.31?27329?10 ?3 2 2?d1.60 2 RTM 5mol ? pkT 9 mol ? 2?3.14?3.5?10?1.60? ? 1.013?101.38?10 ?23 ?273 ?6.2?10 ?s? ?1 8-21 一定量的理想气体贮于固定体积的容器中，初态温度为T0，平均速率为?0，平均碰撞频率为Z0，平均自由程为?0。若温度升高为4T0时，求?、z和?各是多少? 解 平均速率 ? 8RT ?M mol 故当T?4T0时，?2 8RT0 ?M ?2v0 mol 平均碰撞频率 Z?d2n 因为容

22、器体积不变，分子数密度不变，所以 Z?d2?2?d2v0n?2Z0 8-8 平均自由程 ?1 2?dn2 由于n不变，所以 ?0 8-22 设气体放电管中气体分子数密度为n。 电子不断与气体分子碰撞，因电子速率远大于气体分子的平均速率，所以气体分子可以认为是不动的，设电子的“有效直径”比起气体分子的有效直径d来可忽略不计。求电子与气体分子碰撞的平均自由程。 解 因为电子的有效直径可以忽略不计，所以电子与气体分子碰撞的有效班级功能为d2，所以一秒钟时间内电子和其他分子碰撞的平均次数为 21?d?2Z?n?dn 4?2? 所以平均自由程为 ?Z?4 ?dn2 8-23 在质子回旋加速器中，要使质子

23、在1?105km的路径上不和空气分子相撞，真空室内的压强应为多大?设温度为300K，空气分子的有效直径为3.5?10?10m，质子的有效直径可忽略不计，空气分子可认为静止不动。 解 空气分子的有效直径为3?10?10m，因为质子的有效直径可以忽略不计，所以质子与空气分子碰撞的有效半径为d2，碰撞的有效面积为 ?d2? 2 按题意，要求在体积V?d2?l ?l?1?105km? 最多有一个分子才能满足条件，所2 以单位体积内空气分子数为 n?1 V? 44?dlkT?2 4?1.38?10 3.14?3.5?10?23?10所以空气压强为 p?nkT? ?300?dl2?2?108?4.3110

24、?10?Pa? 8-24 真空管的线度为10?2m，其中真空度为1.33?10?3Pa，设空气分子的有效直径为 ?103?10m，求27时单位体积内的分子数，平均自由程和平均碰撞频率。 解 由 p?nkT 知 n?p kT?1.33?10 1.38?10?23?3?300?3.21?1017?m? 3 平均自由程 ?1 2?dn2?12?3.14?3?10?10?2?3.21?1017?m?10?2?m?>10?2?m? 而真空管的线度为10?2m，所以分子间很难碰撞，空气分子与器壁碰撞，所以其自由程为 10?2m。 平均碰撞频率 由 ?Z知 8-9 Z?8RT1 ?Mmol?8?8.31?3003.14?29?10?3?102?4.68?104?s? ?1 8-10