李庆扬数值分析第五版第5章与第7章习题答案.docx

1、李庆扬数值分析第五版第5章与第7章习题答案第 5 章复习与思考题1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？k 答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现0a 的情况，这时消去法无法进行；即kkk 时主元素 0a ，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍入kk误差的扩散， 最后也使得计算不准确。 因此高斯消去法需要选主元， 以保证计算的进行和计算的准确性。当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时， 可以不用选择主元。 计算时一般选择列主元消去法。2、高斯消去法与 LU分解有什么关系？用它们解线性方程组 Ax = b 有何不同？ A 要满足什么条件？答：

2、高斯消去法实质上产生了一个将A 分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个为上三角矩阵 U，一个为下三角矩阵 L。用 LU 分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。A 需要满足的条件是，顺序主子式（ 1,2， ，n-1）不为零。3、楚列斯基分解与 LU 分解相比，有什么优点？楚列斯基分解是 LU 分解的一种，当限定下三角矩阵 L 的对角元素为正时，楚列斯基分解具有唯一解。4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长， 切对角元素恒为正数， 因此， 是一个稳定的算法。5

3、、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？对角占优的三对角方程组6、何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。向量范数定义见p53，符合 3 个运算法则。正定性齐次性三角不等式设x 为向量，则三种常用的向量范数为： （第 3 章 p53,第 5 章 p165）n| x | | x |1 ii 1 1n2 2| x | ( x )2 ii 1| x | max | xi |1 i n7、何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵 A = (ai j )的三种范数 | A| 1，| A| 2，|A|，| A| 1 与| A| 2 哪个更容易计算？为什么？向量范数定义见 p162，需要满足四个

4、条件。正定条件齐次条件三角不等式相容条件矩阵的算子范数有|A |1| A|2|A |从定义可知， |A |1更容易计算。8、什么是矩阵的条件数？如何判断线性方程组是病态的？答：设 A 为非奇异阵，称数1cond (A) v A A （ v 1,2, ）为矩阵 A 的条件数vv当 cond(A) 1时，方程是病态的。9、满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异？（1）矩阵行列式的值很小。（2）矩阵的范数小。（3）矩阵的范数大。（4）矩阵的条件数小。（5）矩阵的元素绝对值小。接近奇异阵的有（1）、（2）注：矩阵的条件数小说明 A 是良态矩阵。矩阵的元素绝对值小，不能说明行列式的值小等。10、判断下列命题

5、是否正确：（1）只要矩阵 A 非奇异，则用顺序消去法或直接 LU 分解可求得线性方程组 Ax = b的解。答：错误，主元位置可能为 0，导致无法计算结果。（2）对称正定的线性方程组总是良态的。答：正确。（3）一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。答：正确。（4）如果 A 非奇异，则 Ax = b 的解的个数是由右端向量 b 的决定的。答：正确。解释：若 A|b 与 A 的秩相同，则 A 有唯一解。若不同，则 A 无解。（5）如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素，则矩阵必奇异。（6）范数为零的矩阵一定是零矩阵。答：正确。（7）奇异矩阵的范数一定是零。答：错误， 可以不为 0。（8）如果矩阵对

6、称，则 | A| 1 = | A| 。答：根据范数的定义，正确。（9）如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。答：错误，不选主元时，可能除数为 0。（10）在求解非奇异性线性方程组时， 即使系数矩阵病态， 用列主元消去法产生的误差也很小。答：错误。对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。T |（11）| A | 1 = | A 。答：根据范数的定义，正确。（12）若 A 是 n n 的非奇异矩阵，则cond(1A) cond( A ) 。答：正确。 A 是 n n 的非奇异矩阵，则 A 存在逆矩阵。1 cond(A) A A根据条件数的定义有：1 1 1 1 1 1cond(A

7、) A (A ) A A A A习题1、设 A是对称阵且 a11 0，经过高斯消去法一步后， A 约化为Taa1110 A2，证明A 是对2称矩阵。证明：a a . a11 12 1n设对称矩阵Aa a . a12 22 n 2. . . .，则经过 1 次高斯校区法后，有a a . a1n 2n nna a . a11 12 1n(1)Aa a12 1n0 a a . a a22 12 n2 12a a11 11. . . .a a1n 1n0 a a . a a2n 12 nn 12a a11 11a a . a11 12 1na a12 120 a a . a a22 12 n2 1na

8、 a11 11. . . .a a1n 1n0 a a . a an2 12 nn 1na a11 11所以Ta1 a12 . a 2na a12 12a a . a a22 12 n2 1na a11 11A2. . .a a1n 1na a . a an 2 12 nn 1na a11 11所以 A2 为对称矩阵。2、设 A 是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后， A 约化为 ( )A a ，其中 A (aij )n ，ij n(2)A2 (aij )n 1 ；证明：（1）A 的对角元素 a 0 (i 1,2, ,n) ；（2）iiA 是对称正定矩阵；2T（1）依次取 xi ( 0,0,

9、,0 ,1,0, ,0) , i 1, 2, ,n ，则因为 A 是对称正定矩阵，iT 所以有 a x Ax 0ii 。（2）a ai1 1 j( i j n2)A 中的元素满足ij a , ( , 2,3, , ) ，又因为 A 是对称正定a2 ija11矩阵，满足aij a , i, j 1, 2, , n，所以jia a a a( 2) i 1 1j 1i j1 ( 2)aij a a a ，ij ji jia a11 11即A 是对称矩阵。23、设Lk 为指标为 k 的初等下三角矩阵 （除第 k 列对角元以下元素外， Lk 和单位阵 I 相同），即1.Lk1mk 1,k1. .mn,k

10、1求证当i, j k 时，L I L I 也是一个指标为 k 的初等下三角矩阵，其中 Iij 为初等置换k ij k ij矩阵。4、试推导矩阵 A 的 Crout 分解 A=LU的计算公式，其中 L 为下三角矩阵， U 为单位上三角矩阵。本题不推导。参见书上例题。 P147 页。5、设Ux d ，其中 U 为三角矩阵。（1）就 U 为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，并写出算法（2）计算解三角方程组Ux d 的乘除法次数（3）设U 为非奇异矩阵，试推导求 U 1 的计算公式本题考查求解公式的一般方法， 可从第 n 个元素开始， 逐步计算 n-1, 1 时对应的求解公式。解法，略。6、证明：（1

11、）如果 A 是对称正定矩阵，则A 1也是对称正定矩阵（2）如果 A 是对称正定矩阵，则A 可以唯一地写成 A LT L ，其中 L 是具有正对角元的下三角矩阵均是对称正定矩阵的性质。应予以记住。7、用列主元消去法解线性方程组12x 3x 3x 151 2 318x 3x x 151 2 3x x x1 2 36并求出系数矩阵 A 的行列式的值12 3 3A 18 3 11 1 112 3 3 15A|b 18 3 1 151 1 1 6使用列主元消去法，有12 3 3 15A|b 18 3 1 151 1 1 618 3 1 1512 3 3 151 1 1 618 3 1 1570 1 53

12、07 17 316 18 618 3 1 1507 17 316 18 670 1 5318 3 1 1507 17 316 18 60 066 6621 7A 的行列式为 -66方程组的解为X1=1,x2=2,x3=38、用直接三角分解（ Doolittle 分解）求线性方程组的解1 1 1x x x1 2 34 5 691 1 1x x x1 2 33 4 5812x x 2x 81 2 3本题考查 LU 分解。解：1 1 14 5 6A1 1 13 4 5121 21 0 0L131 0121 11 1 14 5 6U 011 1360 900 09575409、用追赶法解三对角方程组

13、Ax b ，其中2 1 0 0 0 11 2 1 0 0 0A 0 1 2 1 0 ， b 0 。0 0 1 2 1 00 0 0 1 2 0解：追赶法实际为 LU分解的特殊形式。设 U 为、单位上三角矩阵。有（1）计算i 的递推公式1 c1 / b1 1/ 2 0.52 c2 / (b2 a2 1) 1/ (2 ( 1) ( 0.5) 2/ 33 c3 / (b3 a3 2) 1/ (2 ( 1) ( 2/ 3) 3/ 44 c4 / (b4 a4 3) 1/ (2 ( 1) ( 3/ 4) 4 /5（2）解 Ly=fy1 f1 / b1 1/ 2y2 ( f2 a2y1) / (b2 a2

14、 1) (0 ( 1) (1/ 2) / (2 ( 1) ( 0.5) 1/ 3y3 ( f3 a3 y2) / (b3 a3 2) (0 ( 1) (1/ 3) / (2 ( 1) ( 2/ 3) 1/ 4y4 ( f4 a4 y3) / (b4 a4 3 ) (0 ( 1) (1/ 4) / (2 ( 1) ( 3/ 4) 1/ 5y5 ( f5 a5 y4 ) / (b5 a5 4) (0 ( 1) (1/ 5) / (2 ( 1) ( 4/ 5) 1/ 6（3）解 UX=yx5 y5 1/ 6x4 y4 4 x5 1/ 5 ( 4/ 5) 1/ 6 1/ 3x3 y3 3x4 1/ 4

15、 ( 3/ 4) 1/ 3 1/ 2x2 y2 2 x3 1/ 3 ( 2/ 3) 1/ 2 2/ 3x1 y1 1x2 2 ( 1/ 2) 2/ 3 5/ 610、用改进的平方根法解方程组2 1 1x141 2 3x25。1 3 1x36本题明确要求使用平方根法进行求解。实际考查的 LDU分解。见 P15710 7 23x1 ,x ,x 。2 39 9 911、下列矩阵能否分解为 LU （其中 L 为单位下三角阵， U为上三角阵）？若能分解，那么分解是否唯一。1 2 3 1 1 1 1 2 6A 2 4 1 ， B 2 2 1 ，C 2 5 15 。4 6 7 3 3 1 6 15 46LU

16、 分解存在的条件一个可逆矩阵可以进行 LU 分解当且仅当它的所有子式都非零。如果要求其中的 L 矩阵（或U 矩阵）为单位三角矩阵，那么分解是唯一的。同理可知，矩阵的 LDU可分解条件也相同，并且总是唯一的。即使矩阵不可逆， LU 仍然可能存在。实际上，如果一个秩为 k 的矩阵的前 k 个顺序主子式不为零，那么它就可以进行 LU 分解，但反之则不然。解：因为 A的一、二、三阶顺序主子式分别为 1，0，-10，所以 A不能直接分解为三角阵的乘积，但换行后可以。因为 B的一、二、三阶顺序主子式分别为 1，0，0，所以 B不能分解为三角阵的乘积。因为 C的一、二、三阶顺序主子式分别为 1，5，1，所以

17、 C能够分解为三角阵的乘积，并且分解是唯一的。12、设 0.6 0.5A ， 0.1 0.3计算 A 的行范数，列范数， 2- 范数及 F-范数。本题考查的是矩阵范数的定义及求法行范数 0.6+0.5=1.1列范数 0.5+0.3=0.82- 范数的计算需要用到特征值，特征值的计算可以使用幂法进行计算，也可以直接求。TA A 的最大特征值为 0.3690所以 2- 范数为 0.6074F-范数 0.842613、求证：（a） x x n x1；（b）1nAF A A2F。根据定义求证。nx max x x x n max xi n x 。i i11 i n 1 i ni 1n 1 12 2A

18、aijFn ni , j 12 TA 2 ( A A)max14、设n nP 且非奇异，又设 x 为RnR 上一向量范数，定义 x p Px 。试证明 x p 是nR 上向量的一种范数。根据向量范数的定义来证明：要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。显然 x p Px 0 ， cx p Pcx c Px c x p、x1 x2 ( 1 2 ) 1 2 1 2 1 2 ，从而p P x x Px Px Px Px x xp px 是pnR上向量的一种范数。15、设n nA R 为对称正定，定义12x ( Ax, x)，A试证明x 是AnR 上向量的一种范数。根据向量范数的定义来证明：要求就有

19、正定性，齐次性，三角不等式等性质。1显然Tx ( Ax, x) x Ax 02A，1 1 2 Tcx ( Acx,c x)2 c ( x Ax) c( Ax, x)2 c xA A1Tx x ( A(x x ),( x x ) (x x ) A(x x )21 2 1 2 1 2 1 2 1 2AT Tx Ax x Ax x x 1 1 2 2 1 2 A A116、设 A 为非奇异矩阵，求证 1Aminy 0Ayy。因为A1maxx 0A1xxmaxx 0AAA1x1xyy1max1 ，Ay AyA x 0miny 0y所以得证1min1 0AyAyy17、矩阵第一行乘以一数，成为2A ，证

20、明当1 123时， cond( A) 有最小值。本题考查条件数的计算1cond ( A) A A首先计算 A的逆阵1 11A1 2A2 |3 | 2|3 | |3 | 2，当23 ，取得最小值为 2A1 1| |2，当| |取值越大，则最小值为 2从而1 1cond (A) A A ( 2) max 3 ,2 ，又当23时，1 3cond ( A) ( 2) max 3 ,2 ( 2) 2 7。2当23时，1 1cond ( A) ( 2) max 3 ,2 ( 2) 3 3 6 7 。综上所述， cond( A) 7时最小，这时23，即23。18、设100 99A ，计算 A的条件数 con

21、d( A)v (v 2, )99 98由 100 99A 可知， 99 9898 991A ，从而99 100( A98 99 98 99 19405 196021 T A ，1) ( )99 100 99 100 19602 1980119405 196021 T A 2 ，1由 I ( A ) ( ) 39206 1 019602 19801100 99 100 99 19801 19602T ， A A99 98 99 98 19602 1940519801 19602T ，2由 I A A 39206 1 019602 194051可得 2 A 19603 384277608A ，从而

22、21cond ( A) 2 A A 19603 384277608 39206 。 221 1 AA 199 ， A 199，从而 cond( A) A 199 199 39601 。19、证明：如果 A 是正交矩阵，则cond(A) 12若 A 是正交阵， 则A1 T ， 从而 AT A I ， A A AA I1)T 1 1A ( ，故1 1A 2 A ， ( ) 11 cond A 2 A A 。22 2n n20、设 A,B R ，且 为n nR 上矩阵的算子范数，证明：cond ( AB) cond ( A)cond ( B)1 1 1 1 1 cond( AB) ( AB) AB

23、B A AB B A A B1 1( A A )( B B ) cond( A)cond( B)21、设 Ax b ，其中 A 为非奇异矩阵，证明：（1）TA A 为对称正定矩阵；（2）T 2cond ( A A) (cond (A) )2T T 2x(A A)x ( Ax) Ax b 0 ，所以TA A 为对称正定矩阵。2( cond (A) )2Tmax( A A)Tmin( AA )由于TA A 为对称正定矩阵，所以T TA A AAT T T 1cond ( A A) A A (A A)22 2T T Tmax( A A) ( A A)T T Tmin( A A)( A A) )T T

24、 Tmax( AA ) ( A A)T T Tmin( AA )( A A) )则T Tmax( A AA A)T Tmin( AA AA )T 2max( A A)T 2min( AA )Tmax( A A)Tmin( AA )(cond (A) )22第 7 章复习与思考题1.什么是方程的有根区间？它与求根有何关系？P213，若 f (x) C a,b 且 f (a) f (b) 0，根据连续函数性质可知 f ( x) 0 在a,b 内至少有一个实根，这时称 a, b 为 f (x) 0 的有根区间。2.什么是二分法？用二分法求 f ( x) 0 的根， f 要满足什么条件？P213一般地，对于函数 f (x) 0如果存在实数 c,当 x=c 时，若 f (c) 0 ,那么把 x=c 叫做函数f (x) 0 的零点。解方程即要求 f (x) 0 的所有零点。假定 f (x) 0 在区间（ x，y）上连续，先找到 a、b 属于区间（ x，y），使 f (a) f (b) 0 ，说明在区间 (a,b)内一定有零点，然后求f (a b) / 2) ,现在假设 f (a) 0, f (b) 0,a b 果 f (a b) / 2) 0 ，该点就是零点， 如果