高考数学考点归纳之 二项式定理.docx

1、高考数学考点归纳之 二项式定理 高考数学考点归纳之 二项式定理一、基础知识1.二项式定理(1)二项式定理：(ab)nCanCan1bCankbkCbn(nN*)；(2)通项公式：Tk1Cankbk，它表示第k1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，C.2.二项式系数的性质(1)项数为n1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. 二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C，C，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项

2、中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.如(abx)n的二项展开式中，第k1项的二项式系数是C，而该项的系数是Cankbk.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.考法(一)求解形如(ab)n(nN*)的展开式中与特定项相关的量例1(1)(2018全国卷)5的展开式中x4的系数为()A.10 B.20C.40 D.80(2)(2019合肥调研)若(2xa)5的二项展开式中x3的系数为720，则a_.(3)(2019甘肃检测)已知5的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若AB11，则a_.解析(1)5的展开式的通项公式为Tr1C(x2)5rrC

3、2rx103r，令103r4，得r2.故展开式中x4的系数为C2240.(2)(2xa)5的展开式的通项公式为Tr1(1)rC(2x)5rar(1)rC25rarx5r，令5r3，解得r2，由(1)2C252a2720，解得a3.(3)5的展开式的通项公式为Tr1Cx5rrC(a)rx5r.由5r5，得r0，由5r2，得r2，所以AC(a)01，BC(a)210a2，则由110a211，解得a1.答案(1)C(2)3(3)1求形如(ab)n(nN*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式Tr1Canrbr，常把字母和系数分离开

4、来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；第三步，把r代入通项公式中，即可求出Tr1，有时还需要先求n，再求r，才能求出Tr1或者其他量.考法(二)求解形如(ab)m(cd)n(m，nN*)的展开式中与特定项相关的量例2(1)(1)6(1)4的展开式中x的系数是()A.4 B.3C.3 D.4(2)(2019南昌模拟)已知(x1)(ax1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a_.解析(1)法一：(1)6的展开式的通项为C()mC(1)mx，(1)4的展开式的通项为C()nCx，其中m0,1

5、,2，6，n0,1,2,3,4.令1，得mn2，于是(1)6(1)4的展开式中x的系数等于C(1)0CC(1)1CC(1)2C3.法二：(1)6(1)4(1)(1)4(1)2(1x)4(12x).于是(1)6(1)4的展开式中x的系数为C1C(1)113.(2)(ax1)6的展开式中含x2项的系数为Ca2，含x项的系数为Ca，由(x1)(ax1)6的展开式中含x2项的系数为0，可得Ca2Ca0，因为a为正实数，所以15a6，所以a.答案(1)B(2)求形如(ab)m(cd)n(m，nN*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，根据二项式定理把(ab)m与(cd)n分别展开，并写出其通项公式；

6、第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(ab)m与(cd)n的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 考法(三)求形如(abc)n(nN*)的展开式中与特定项相关的量例3(1)(x2xy)5的展开式中x5y2的系数为()A.10 B.20C.30 D.60(2)将3展开后，常数项是_.解析(1)(x2xy)5的展开式的通项为Tr1C(x2x)5ryr，令r2，则T3C(x2x)3y2，又(x2x)3的展开式的通项为Tk1C(x2)3kxkCx6k，令6k5，则k1，所以(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为CC30.(2)36展开式的通项是C()6

7、kk(2)kCx3k.令3k0，得k3.所以常数项是C(2)3160.解析(1)C(2)160求形如(abc)n(nN*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，把三项的和abc看成是(ab)与c两项的和；第二步，根据二项式定理写出(ab)cn的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(ab)nr的展开式中的哪些项和cr相乘得到的；第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 题组训练1.(2018洛阳第一次统考)若a sin xdx，则二项式6的展开式中的常数项为()A.15 B.15C.240 D.240解析：选D由a sin xdx(cos x)(cos )(

8、cos 0)1(1)2，得6的展开式的通项公式为Tr1C(2)6rr(1)rC26rx3r，令3r0，得r2，故常数项为C24240.2.(2019福州四校联考)在(1x3)(2x)6的展开式中，x5的系数是_.(用数字作答)解析：二项展开式中，含x5的项是C2x5x3C24x2228x5，所以x5的系数是228.答案：2283.5(x0)的展开式中的常数项为_.解析：5(x0)可化为10，因而Tr1C10r()102r，令102r0，得r5，故展开式中的常数项为C5.答案：典例精析(1)若n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是()A.6 B.C.4x D.或4x

9、(2)若n的展开式中含x的项为第6项，设(13x)na0a1xa2x2anxn，则a1a2an的值为_.(3)若(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a_.解析(1)令x1，可得n的展开式中各项系数之和为2n，即82n32，解得n4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C()226.(2)n的展开式的通项公式为Tr1C(x2)nrrC(1)rx2n3r，因为含x的项为第6项，所以r5,2n3r1，解得n8，在(13x)n中，令x1，得a0a1a8(13)828，又a01，所以a1a8281255.(3)设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5

10、x5，令x1，得16(a1)a0a1a2a3a4a5，令x1，得0a0a1a2a3a4a5，得16(a1)2(a1a3a5)，即展开式中x的奇数次幂项的系数之和为a1a3a58(a1)，所以8(a1)32，解得a3.答案(1)A(2)255(3)3解题技法1.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立.因此，可将x，y设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，1或0”，有时也取其他值.如：(1)形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x1即可.(2)形如(axby)n(a，bR

11、)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可.2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)的展开式中(1)各项系数之和为f(1).(2)奇数项系数之和为a0a2a4.(3)偶数项系数之和为a1a3a5.题组训练1.(2019包头模拟)已知(2x1)5a5x5a4x4a3x3a2x2a1xa0，则|a0|a1|a5|()A.1 B.243C.121 D.122解析：选B令x1，得a5a4a3a2a1a01，令x1，得a5a4a3a2a1a0243，得2(a4a2a0)242，即a4a2a0121.，得2(a5a3a1)244，即

12、a5a3a1122.所以|a0|a1|a5|122121243.2.若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3a9)239，则实数m的值为_.解析：令x0，则(2m)9a0a1a2a9，令x2，则m9a0a1a2a3a9，又(a0a2a8)2(a1a3a9)2(a0a1a2a9)(a0a1a2a3a8a9)39，(2m)9m939，m(2m)3，m3或m1.答案：3或13.已知(13x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为_.解析：由已知得CCC121，则n(n1)n1121，即n2n2400，解得n15

13、(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为T8C(3x)7和T9C(3x)8.答案：C(3x)7和C(3x)8典例精析设aZ，且0a13，若512 018a能被13整除，则a()A.0 B.1C.11 D.12解析由于51521，512 018(521)2 018C522 018C522 017C5211，又13整除52，所以只需13整除1a，又0a13，aZ，所以a12.答案D解题技法利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：余