空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧.docx

1、空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧空间向量之 - 建立空间直角坐 标系的方法及技巧及技巧一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角 坐标系例 1 已知直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，AA 2 ，底面 ABCD 是直角梯形， A 为直角， ABCD，AB4，AD2，DC1，求异面直线 BC1与 DC 所成角的余弦值解析：如图 1，以 D 为坐标原点，分别以 DA、 DC、DD 1所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标 系，则 C1（， 1，2）、B（2，4，），uuuur uuur BC1 （ 2， 3，2）， CD （0， 1，0）设 uBuCuur1与 CuuDru所成的角为

2、 ，则 cos二、利用线面垂直关系构建直角坐标系例 2 如图 2，在三棱柱 ABC A1B1C1中，AB侧面 BB 1C1C， E 为棱 CC1上异于 C、C1 的一点，2EAEB1已知 AB 2，BB12，BC1， BCC1 3 求二面角 AEB1A1 的平面角的正切值3解析：如图 2，以 B 为原点，分别以 BB1、BA 所在直线为 y轴、z轴，过 B 点垂直于平面 AB1的 直线为 x 轴建立空间直角坐标系由于 BC1，BB12，AB 2 ， BCC1 3 在三棱柱 ABCA1B1C1 中，有 B（，3 a(a 2) a2 2a 3 0， a 1 g a 3 0，4 4 2 2A1的平面

3、角 的大小为向量 uBu1uAur1与 uEuAur 的夹角23，12，2uuuur uuur uuurB1A1 BA （0，0，2） ， EAtan三、利用面面垂直关系构建直角坐标系例 3 如图 3，在四棱锥 V ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形，平面 VAD底面 ABCD （1）证明 AB 平面 VAD；（2）求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的余 弦值，）、 D （ 1，解析：（1）取 AD 的中点 O 为原点，建立如图 3 所示的空间直角坐标系设 AD 2，则 A（1， ）、B（1，2，）、 uuur V（， 3）， AB ， 3 ）uuur uu

4、r由 ABgVA （0，2，0）g（1，0， 3） 0 ，ABVA又 ABAD ，从而 AB 与平面 VAD 内两条相 交直线 VA、AD 都垂直， AB平面 VAD ；（2）设 E 为 DV 的中点，则 E 1，0， 322 EBgDV 3 ，2， 3 g（1，0，3） 022EBDV又 EADV，因此 AEB 是所求二面角的平面角故所求二面角的余弦值为 721 四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角 坐标系例 4 已知正四棱锥 VABCD 中， E 为 VC 中点，正四棱锥底面边长为 2a，高为 h（1）求 DEB 的余弦值；2）若 BEVC，求 DEB 的余弦值5解析：（1）如图 4，

5、以 V 在平面 AC 的射影 O 为坐标原点建立空间直角坐标系，其中 Ox BC， OyAB ，则由 AB 2a，OVh， C（-a，a，a ，a ，h222）、D-a，-a，）有 B（ a，a，）0，h）uuurBE3a，2uuurDEuuur uuur cos BE，DEuuurBEDE6a2 h2 ；10a2 h2 ；a ，h2 2 ， uuur uuur BEgDE6a2 h10a2 h2a 3 h， a，2 2 22即 cos DEB2）因为 E 是 VC 的中点，所以 uBuEurgVuuCur 0，即 3BEVC，2a，ah2，2 g（ a，a， h）0，223 2 a2 h2

6、a 0 ，2 2 2 h 2a uuur uuur 这时 cos BE，DE226a2 h22210a2 h231，即 cosDEB五、利用图形中的对称关系建立坐标系 图形中虽没有明显交于一点的三条直线， 对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等）6但有一定，利用自身对称性可建立空间直角坐标系例 5 已知两个正四棱锥 P 与QABCD 的高都为 2，AB1）证明： PQ平面 ABCD ；2）求异面直线 AQ 与 PB 所成的角；3）求点 P 到平面 QAD 的距离BD由CA， DB， QP1），易得2）由题设知， ABCD 是正方形， 且 AC1），PQ平面 ABCD ，故可分别以直线 为 x，y，z

7、 轴建立空间直角坐标系（如图 uuur uuur uuur uuur uuur uuur AQgPB 1 AQ （ 2 2，0， 2），PB （0，2 2， 2）， cos AQ，PB uuur uuurAQ PB 3所求异面直线所成的角是1 arccos uuurngAQ 0，uuurngAD 0，得n = （1， 1， 2） 点 P 到平面 QAD设 n=（ x ，y，z）是平面 QAD 的一个法向量，则得 2x z 0，取 x 1， x y 0，uuur的距离 d PQngn 2 2 n点评：利用图形所具备的对称性， 建立空间直 角坐标系后， 相关点与向量的坐标应容易得出 第3）问也可用“等体积法”求距离