最新决胜高考精品高中数学课件教师版人教版数学选修23分类加法计数原理与分步乘法计数原理.docx

1、最新决胜高考精品高中数学课件教师版人教版数学选修23分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理 知识集结 知识元 分类加法计数原理 知识讲解 1分类加法计数原理【知识点的认识】1定义：完成一件事有两类不同方案：在第1类办法中有m种不同的方法，在第2类办法中有n种不同的方法，那么完成这件事共有：Nm+n种不同的方法2推广：完成一件事有n类不同方案：在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：Nm1+m2+mn种不同的方法3特点：（1）完成一件事的n类方案相互独立；（2）同一类方案中的各种方法相

2、对独立（3）用任何一类方案中的任何一种方法均可独立完成这件事；4注意：与分步乘法计数原理区别分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点计算“完成一件事”的方法种数不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整【解题步骤】如果完成一件事情有n类方案，且每一类方案中的任何一种方法均能独立完成这件事，则可使用分类加法计数原理实现步骤：（1）分类；（2）对每一类方法进行计数；（3）用分类加法计数原理求和；【命题方向】与实际生活相联系，以选择题、填空题的形式出现，

3、并综合排列组合知识成为能力型题目，主要考查学生分析问题和解决问题的能力及分类讨论思想例：某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A.30种 B.35种 C.42种 D.48种分析：两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门；A类选修课选2门，B类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果解答：可分以下2种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C31C42种不同的选法；A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C32C41种不同的选法根据分类计数原理知不同的选法共有C31C42+C32

4、C4118+1230种故选A点评：本小题主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想本题也可以从排列的对立面来考虑，写出所有的减去不合题意的，可以这样解：C73C33C4330 例题精讲 分类加法计数原理 例1.（2019春韩城市期末）把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有（）A4种B5种C6种D7种【答案】A【解析】题干解析:分类：三堆中“最多”的一堆为5个，其他两堆总和为5，每堆至少1个，只有2种分法即1和4，2和3个有两种方法。三堆中“最多”的一堆为4个，其他两堆总和为6，每堆至少1个，只有2种分法即2和4；3和3两种方法三堆中“最多”的一堆为3个，

5、那是不可能的所以不同的分法共有2+2=4例2.（2019春南昌期末）袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量，则所有可能取值的个数是（）A5B9C10D25【答案】B【解析】题干解析:根据题意，分析可得，这是有放回抽样，号码之和可能的情况为：2、3、4、5、6、7、8、9、10，共9种；例3.（2016春孝感期末）李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有几种不同的选择方式（）A24B14C10D9【答案】B【解析】题干解析:由题意可得：

6、李芳不同的选择方式=43+2=14。 分步乘法计数原理 知识讲解 1分步乘法计数原理【知识点的认识】1定义：完成一件事需要分成两个步骤：做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有：Nmn种不同的方法2推广：完成一件事需要分成n个步骤：做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：Nm1m2mn种不同的方法3特点：完成一件事的n个步骤相互依存，必须依次完成n个步骤才能完成这件事；4注意：与分类加法计数原理区别分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点计算“完成一件事”的方法种数不同点分类完成，类类相加分步完成，步步

7、相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整【解题步骤】如果完成一件事情有n个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤才能完成这件事，则可使用分步乘法计数原理实现步骤：（1）分步；（2）对每一步的方法进行计数；（3）用分步乘法计数原理求积；【命题方向】与实际生活相联系，以选择题、填空题的形式出现，并综合排列组合知识成为能力型题目，主要考查学生分析问题和解决问题的能力及分类讨论思想例：从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其

8、中奇数的个数为（）A.432 B.288 C.216 D.108分析：本题是一个分步计数原理，先从4个奇数中取2个再从3个偶数中取2个共C42C32，再把4个数排列，其中是奇数的共A21A33种，根据分步计数原理得到结果解答：由题意知本题是一个分步计数原理，第一步先从4个奇数中取2个再从3个偶数中取2个共C42C3218种，第二步再把4个数排列，其中是奇数的共A21A3312种，所求奇数的个数共有1812216种故选C点评：本题考查分步计数原理，是一个数字问题，数字问题是排列中的一大类问题，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏 例题精讲 分

9、步乘法计数原理 例1.（2010杭州模拟）用1，3，5，7，9五个数字中的三个替换直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，若A、B、C的值互不相同，则不同的直线共有（）A25条B60条C80条D181条【答案】B【解析】题干解析:用1，3，5，7，9五个数字中的三个来替换A、B、C；A、B、C的值互不相同，是分步乘法计数原理，直线条数是543=60例2.（2004安徽）直角坐标xOy平面上，平行直线x=n（n=0，1，2，5）与平行直线y=n（n=0，1，2，5）组成的图形中，矩形共有（）A25个B36个C100个D225个【答案】D【解析】题干解析:由题意知：从横轴上的点中任选两点作为矩形

10、的两个顶点，有C62种选法，再从纵轴中选两个点有C62种选法作为矩形的另两个顶点，有分步计数原理知：有C62C62=225，例3.对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，到区分出所有次品为止若所有次品恰好在第五次测试被全部发现，则这样的测试方法有（）A24种B96种C576种D720种【答案】C【解析】题干解析:对四件次品编序为1，2，3，4第五次抽到其中任一件次品有C41种情况。前四次有三次是次品，一次是正品共有C16C33种可能前4次测试中的顺序有A44种可能由分步计数原理即得共有C14（C16C33）A44=576种可能 计数原理的应用 知识讲解 1计数原理的应用【知识点的认

11、识】1两个计数原理（1）分类加法计数原理：Nm1+m2+mn（2）分步乘法计数原理：Nm1m2mn2两个计数原理的比较分类加法计数原理分步乘法计数原理共同点都是计数原理，即统计完成某件事不同方法种数的原理不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘n类方案相互独立，且每类方案中的每种方法都能独立完成这件事n个步骤相互依存，每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整【解题方法】1计数原理的应用（1）如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类加法计数原理；（2）如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，

12、即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步乘法计数原理2解题步骤（1）指明要完成一件什么事，并依事件特点确定是“分n类”还是“分n步”；（2）求每“类”或每“步”中不同方法的种数；（3）利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数；（4）作答【命题方向】分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法常见考题类型：（1）映射问题（2）涂色问题（区域涂色点的涂色线段涂色面的涂色）（3）排数问题（允许有重复数字不允许有重复数字） 例题精讲 计数原理的应用 例1.（2019潍坊模拟）艺术节期间，秘书处派甲、乙、丙、丁

13、四名工作人员分别到A，B，C三个不同的演出场馆工作，每个演出场至少派一人若要求甲、乙两人不能到同一演出场馆工作，则不同的分派方案有_种【答案】30【解析】题干解析:根据题意，将4人分到3个不同的体育场馆，要求每个场馆至少分配1人，则必须且只能有1个场馆分得2人，其余的2个场馆各1人，可先将4人分为2、1、1的三组，有=6种分组方法，再将分好的3组对应3个场馆，有A33=6种方法，则共有66=36种分配方案，其中甲乙在同一个馆的情况有A33=6种，故满足条件的方法有36-6=30种，例2.（2019濮阳一模）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至

14、多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面不同的安排方法共有_种【答案】20【解析】题干解析:由题意知本题是一个分类计数问题，根据题意分三类：甲安排在周一，共有A42种排法；甲安排在周二，共有A32种排法；甲安排在周三，共有A22种排法。根据分类加法原理知共有A42+A32+A22=20例3.（2019春聊城期末）现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要求公共边的两块不能用同一种颜色，共有_种不同着色方法【答案】84【解析】题干解析:根据题意，由分4类进行分析：当，全都不同色时，共有种；当，同色，不同色时，共有=24种；当，同色，不同色时，共有24种；当，同色且，也同色时，共有=12种

15、； 当堂练习 单选题练习1.（2013太原一模）将5名同学分配到A、B、C三个宿舍中，每个宿舍至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A宿舍，那么不同的分配方案有（）A76种B100种C132种D150种【答案】B【解析】题干解析:A宿舍1人；B中1、2、3人；则C中分别为3人、2人、1人C51（C41+C42+C43）；A宿舍2人；B中1、2人；则C中分别为2人、1人C52（C31+C32）。A宿舍3人；B中1人；则C中分别为1人C53C21因而不看甲同学不能分配到A宿舍时，共有C51（C41+C42+C43）+C52（C31+C32）+C53C21=150种甲进A、B、C三个宿舍概率一样，甲

16、同学不能分配到A宿舍，因而不同的分配方案有种练习2.（2010南昌二模）来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，执行北京奥运会的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作，每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，则不同的安排方案总数有（）A12种B48种C90种D96种【答案】B【解析】题干解析:每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，只能分为：中、英；中、瑞；英、瑞。三组中，中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，本国裁判可以互换，进场地全排，不同的安排方案总数有A22A22A22A33=2226=48种练习3.（2010昌平区二模）2010年的自主招生工作，部分高校实施校长实名推荐制某中学获得推荐4名学

17、生的资格，可以选择的大学有三所，而每所大学至多接受该校的2名推荐生，那么校长推荐的方案有（）A18种B24种C36种D54种【答案】D【解析】题干解析:校长推荐三校时，学生只能是1人、1人、2人，共有C42A33=36种；推荐二校时学生只能2人、2人，共有C32C42=18种所以共有36+18=54种。练习4.（2019河南模拟）某省示范高中将6名教师分配至3所农村学校支教，每所学校至少分配一名教师，其中甲必去A校，乙、丙两名教师不能分配在同一所学校的不同分配方法数为（）A36B96C114D130【答案】D【解析】题干解析:甲去A校，再分配其他5个人，如果都不去A校，则分配方法有A222=1

18、6种；如果5人分成1，1，3三组，则分配方法有（C-C）A=42种；如果5人分成1，2，2三组，则分配方法有（-C）A=72种；由加法原理可得不同分配方法有16+42+72=130种。练习5.（2019西湖区校级模拟）已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（）种A19B26C7D12【答案】B【解析】题干解析:顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，当甲丙丁顾客都不选微信时，则甲有2种选择，当甲选择现金

19、时，其余2人A22=2种，当甲选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C21C21=5，故有2+5=7种，当甲丙丁顾客都不选支付宝时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人A22=2种，当甲选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有1+C21C21=5，故有2+5=7种，当甲丙丁顾客都不选银联卡时，若有人使用现金，则C31A22=6种，若没有人使用现金，则有C32A22=6种，故有6+6=12种，根据分步计数原理可得共有7+7+6+6=26种，填空题练习1.（2019山西三模）将5名学生分配到3个社

20、区参加社会实践活动，每个社区至少分配一人，则不同的分配方案有_种（用数字填写答案）【答案】150【解析】题干解析:将5个人分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有C53A33=60种分法，分成2、2、1时，有A33=90种分法，根据分类计数原理可得，共有60+90=150种，练习2.（2019河北区一模）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有_个【答案】120【解析】题干解析:根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；分两种情况讨论：首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的

21、4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有324=72个，首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有224=48个，共有72+48=120个解答题练习1.某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成。（1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？（2）若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？（3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？【答案】详见解析【解析】题干解析:（1）N=5+6+4=15；（2）N=564=120；（3）N=56+64+45=7

22、4。（1）选其中1人为学生会主席，各年级均可，分三类：N=5+6+4=15种；（2）每年级选1人为校学生会常委，可分步从各年级分别选择，N=564=120种；（3）要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，首先按年级分三类“1，2年级”，“1，3年级”，“2，3年级”，再各类分步选择：N=56+64+45=74种练习2.有且只有2个数字相同的三位数，一共有多少个？【答案】详见解析【解析】题干解析:根据题意，分3种情况讨论；三个数中不含0的，有2C92C31=216；三个数中含1个0的，有C91C21=18；三个数中含2个0的，有C91=9；则一共有216+27+18=243个；答：符合条件的一共有243个。练习3.三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少？【答案】详见解析【解析】题干解析:设较小的两边长为x、y且xy，则xy11，x+y11，x、yN*。当x=1时，y=11；当x=2时，y=10，11；当x=3时，y=9，10，11；当x=4时，y=8，9，10，11；当x=5时，y=7，8，9，10，11；当x=6时，y=6，7，8，9，10，11；当x=7时，y=7，8，9，10，11；当x=11时，y=11所以不同三角形的个数为1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36，故答案为36