二次函数及面积之铅垂高可编辑修改word版.docx

1、二次函数及面积之铅垂高可编辑修改word版二次函数与面积之铅垂高一教学目的1.让学生经历探索的过程，观察图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，促进培养学生解决问题的能力2.理解用“鉛锤高，水平宽”求不规则三角形面积的方法，并用此方法解决二次函数与几何图形的综合题中有关三角形面积计算的问题。二重点难点1灵活应用铅垂高进行二次函数与几何图形的综合题中有关三角形面积计算的问题。2铅垂高的寻找方法，以及用坐标表示线段三教学方法先让学生阅读理解，自主探究，引导学生掌握方法，讲练结合四教学过程例 1 阅读材料：如图 12-1，过ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫

2、ABC 的“水平B宽”(a)，中间的这条直线在ABC 内部线段的长度叫ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方图 12-1法： S= 1 ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.ABC 2解答下列问题：如图 12-2，抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交 x 轴于点 A(3,0)，交 y 轴于点 B.(1)求抛物线和直线 AB 的解析式；(2)点 P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结 PA，PB，当 P 点运动到顶点 C时，求CAB 的铅垂高 CD 及 SCAB ；(3)是否存在一点 P，使 S9 ，若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由.PA

3、B= 8 SCAB图 12-21例 1 解：(1)设抛物线的解析式为： y = a(x - 1)2 + 4 1 分把 A（3,0）代入解析式求得 a = -11所以 y = -(x - 1)2 + 4 = -x 2 + 2x + 3 3 分设直线 AB 的解析式为： y2 = kx + b1由 y = -x 2 + 2x + 3 求得 B 点的坐标为(0,3)把 A(3,0) ， B(0,3) 代入 y2 = kx + b 中解得： k = -1, b = 34 分所以 y2 = -x + 3 6 分(2)因为 C 点坐标为(,4)所以当 x时，y14，y22所以 CD4-22 8 分SCAB

4、= 1 3 2 = 3 (平方单位) 10 分2(3)假设存在符合条件的点 P，设 P 点的横坐标为 x，PAB 的铅垂高为 h，1 2则 h = y - y = (-x 2 + 2x + 3) - (-x + 3) = -x 2 + 3x 12 分9由 SPAB= 8 SCAB得： 1 3 (-x 2 + 3x) = 9 32 8化简得： 4x 2 - 12x + 9 = 03解得， x =2将 x = 代入 y = -x 2 + 2x + 3 中，2 13 15解得 P 点坐标为( ,2) 14 分4总结：求不规则三角形面积时不妨利用铅垂高。铅垂高的表示方法是解决问题的关键，要学会用坐标表

5、示线段。例 2（2010 广东省中考拟）如图 10，在平面直角坐标系中，二次函数 y = ax 2 + bx + c(a 0)的图象的顶点为 D 点，与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点1的坐标为（3，0），OBOC ，tanACO 3（1）求这个二次函数的表达式（2）经过 C、D 两点的直线，与 x 轴交于点 E，在该抛物线上是否存在这样的点 F，使以点 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 F 的坐标；若不存在， 请说明理由（3）若平行于 x 轴的直线与该抛物线交于 M、N 两点，且以 MN 为直径的圆与 x 轴相切，

6、求该圆半径的长度（4）如图 11，若点 G（2，y）是该抛物线上一点，点 P 是直线 AG 下方的抛物线上一动点，当点 P 运动到什么位置时，APG 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和APG 的最大面积.1）方法一：由已知得：C（0，3），A（1，0）a - b + c = 09a + 3b + c = 0c = -3将 A、B、C 三点的坐标代入得a = 1b = -2c = -3解得：所以这个二次函数的表达式为： y = x 2 - 2x - 3方法二：由已知得：C（0，3），A（1，0）设该表达式为： y = a(x + 1)(x - 3)将 C 点的坐标代入得： a = 1所以这个二

7、次函数的表达式为： y = x 2 - 2x - 3（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）（2）方法一：存在，F 点的坐标为（2，3）理由：易得 D（1，4），所以直线 CD 的解析式为： y = -x - 3E 点的坐标为（3，0）由 A、C、E、F 四点的坐标得：AECF2，AECF以 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形存在点 F，坐标为（2，3）方法二：易得 D（1，4），所以直线 CD 的解析式为： y = -x - 3E 点的坐标为（3，0）以 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形F 点的坐标为（2，3）或（2，3）或（4，3） 代入抛物线的表达式检验，只

8、有（2，3）符合存在点 F，坐标为（2，3）（3）如图，当直线 MN 在 x 轴上方时，设圆的半径为 R（R0），则 N（R+1，R），R =代入抛物线的表达式，解得当直线 MN 在 x 轴下方时，设圆的半径为 r（r0），则 N（r+1，r），r = - 1 + 17代入抛物线的表达式，解得 21 + 17圆的半径为 2- 1 + 17或 2 （4）过点 P 作 y 轴的平行线与 AG 交于点 Q， 易得 G（2，3），直线 AG 为 y = -x - 1 设 P（x， x 2 - 2x - 3 ），则 Q（x，x1），PQ = -x 2 + x + 2 SAPG= SAPQ+SGPQ= 1

9、 (-x 2 + x + 2) 32x = 1当 2 时，APG 的面积最大 1 ,- 15 27此时 P 点的坐标为 SAPG的最大值为 ， 8 随堂练习 1（2010 江苏无锡）如图，矩形 ABCD 的顶点 A、B 的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC= 2设直线 AC 与直线 x=4 交于点 E（1）求以直线 x=4 为对称轴，且过 C 与原点 O 的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点 E；（2）设（1）中的抛物线与 x 轴的另一个交点为 N，M 是该抛物线上位于 C、N 之间的一动点，求CMN 面积的最大值x=4( 2, 2 3) y = a( x - 4) + m2【答

10、案】解：（1）点 C 的坐标 设抛物线的函数关系式为 ，16a + m = 0则4a + m = 2，解得a = -, m = .6 3所求抛物线的函数关系式为y = -( x - 4)2 +6 3-4k + b = 0k =, b =设直线 AC 的函数关系式为 y = kx + b, 则2k + b = 2，解得3 3 y = x +直线 AC 的函数关系式为 3 3，点 E 的坐标为(4, )3把 x=4 代入式，得y = -3 (4 - 4)2 + 8 3 = 8 36 3 3，此抛物线过 E 点（2）（1）中抛物线与 x 轴的另一个交点为 N（8，0），设 M（x，y），过 M 作

11、MGx 轴于 G，1 1 1 (8 - x) y + ( y + 2 3)( x - 2) - (8 - 2) 2则SCMN=SMNG+S 梯形MGBCSCBN= 2 2 23 y +3x - 8= 3(-x2 +x) +3x - 8 = -x2 + 5 3x - 8=- ( x - 5)2 + 9 3 ,= 2 26 3 2当 x=5 时，SCMN 有最大值 2课下练习 1(本题满分 12 分)已知：如图一次函数 y 1 x1 的图象与 x 轴交于点 A，与 y2轴交于点 B；二次函数 y 1 x2bxc 的图象与一次函数 y 1 x1 的图象交于 B、C 两2 2点，与 x 轴交于 D、E

12、 两点且 D 点坐标为(1，0) (1)求二次函数的解析式；(2)求四边形 BDEC 的面积 S；(3)在 x 轴上是否存在点 P，使得PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点 P，若不存在，请说明理由第 24 题图3（2010 山东临沂）如图，二次函数 y = x2 + ax + b 的图象与 x 轴交于两点，且与 y 轴交于点C .（1）求该抛物线的解析式，并判断ABC 的形状；A(- 1 , 0)2, B(2, 0)（2）在 x 轴上方的抛物线上有一点 D ,且以 A、C 、 D、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出 D 点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在

13、点 P ,使得以 A、 C 、B、 P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由.第 26 题图【答案】解：根据题意，将 A（- 1 - 1 a + b = 0, - 12 ,0）,B（2,0）代入 y=-x2+ax+b 中， 4 2得-4 + 2a + b = 0.a = 3 ,解这个方程，得b = 1.全品中考网3所以抛物线的解析式为 y=-x2+ 2 x+1.当 x=0 时，y=1.所以点 C 的坐标为（0，1）。 5所以在AOC 中，AC= = 2 .在BOC 中，BC= = .1 + 2 = 5AB=OA+OB= 2 2 .1 + 2 = 25 =

14、 AB2因为 AC2+BC2= 4 4 .所以ABC 是直角三角形。 3 ,1 2 （2）点 D 的坐标是 .（3）存在。由（1）知，ACBC,若以 BC 为底边，则 BCAP,如图（1）所示，可求得直线 BC 的解析式为y = - 1 x +12 .直线 AP 可以看作是由直线 AC 平移得到的，所以设y = - 1 x + b直线 AP 的解析式为 2 ，- 1- 1 图 1将 A（ 2 ,0）代入直线 AP 的解析式求得 b=y = - 1 x - 14 ,所以直线 AP 的解析式为2 4 .3因为点P 既在抛物线上，又在直线 AP 上，所以点 P 的纵坐标相等，即-x2+ 2 x+1=

15、- 1 x - 12 4 .x = 5 x = - 1 解得 1 2 2 2 （不合题意，舍去）.5 - 3当 x= 2 时，y= 2 .5 - 3所以点 P 的坐标为（ 2 ， 2 ）.若以 AC 为底边，则 BPAC，如图（2）所示，可求得直线 AC 的解析式为y = 2x +1.直线 BP 可以看作是由直线 AC 平移得到的，所以设直线 BP 的解析式为 y = 2x + b ，将 B（2,0）代入直线 BP 的解析式求得 b=-4,所以直线BP 的解析式为 y=2x-4.因为点 P 既在抛物线上，又在直线 BP 上，所以点 P3的纵坐标相等，即-x2+ 2 x+1=2x-4x = -

16、5 , x = 2解得 1 2 2（不合题意，舍去）.5当 x=- 2 时，y=-9.5所以点 P 的坐标为（- 2 ，-9）.5 - 3 5综上所述，满足题目的点 P 的坐标为（ 2 ， 2 ）或（- 2 ，-9）- 1 x 2 + 3 x + 42(本题 10 分)如图，已知二次函数 y= 4 2的图象与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于 B、C 两点，其对称轴与 x 轴交于点 D，连接 AC (1)点 A 的坐标为 ，点 C 的坐标为 ；(2)线段 AC 上是否存在点 E，使得EDC 为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点 E 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点 P 为 x 轴上

17、方的抛物线上的一个动点，连接 PA、PC，若所得PAC 的面积为 S， 则 S 取何值时，相应的点 P 有且只有 2 个?解：（1）A（0，4），C（8，0） 2 分（2）易得 D（3，0），CD=5设直线 AC 对应的函数关系式为 y = kx + b ，b = 4,k = - 1 , 1则8k + b = 0.分解得 2b = 4. y = -2x + 4 3当 DE=DC 时，OA=4，OD=3DA=5， E1 （0，4） 4 分当 ED=EC 时，可得 E （ 11 ， 5 ） 5 分 2 2 4当 CD=CE 时，如图，过点 E 作 EGCD，则 CEG CAO， EG = CG =

18、 CE OA OC AC即 EG = ， CG = 2， E3 （ 8 - 2 ，） 6 分综上，符合条件的点 E 有三个： E （0，4）， E （ 11 ， 5 ）， E （ 8 - 2 ， ） 1 2 2 4 3（3）如图，过 P 作 PHOC，垂足为 H，交直线 AC 于点 Q设 P（m， - 1 m2 + 3 m + 4 ），则 Q（ m ， - 1 m + 4 ）4 2 2当0 m 8 时，PQ=（ - 1 m2 + 3 m + 4 ） - ( - 1 m + 4 )= - 1 m2 + 2m ，4 2 2 4S APC= S CPQ+S APQ= 1 8 (- 1 m2 + 2m) = -(m - 4)2 + 16 ， 7 分2 4 0 S 16 ； 8 分当-2 m 0 时，PQ=（ - 1 m + 4 ） - ( - 1 m2 + 3 m + 4 )= 1 m2 - 2m ，2 4 2 4S APC= S CPQ-S APQ= 1 8 2(1 m2 - 2m) = (m - 4)2 - 16 ， 4 0 S 20 9分故 S = 16 时，相应的点 P 有且只有两个