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1、微积分与数学模型答案微积分与数学模型答案【篇一：数学建模课后答案】t第二章(1)（2012年12月21日） 1 学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍.学生们 要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. 1中的q值方法； （3）.dhondt方法：将a、b、c各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,?相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中a、b、c行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能

2、解释这种方法的道理吗？ 如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较. 解：先考虑n=10的分配方案， p1?235,p2?333,p3?432,方法一（按比例分配） ?p i?1 3 i ?1000. q1? p1n ?p i?1 3 ?2.35,q2? p2n i ?p i?1 3 ?3.33, q3? p3n i ?p i?1 3 ?4.32 i 分配结果为： n1?3, n2?3, n3?4 方法二（q值方法） 9个席位的分配结果（可用按比例分配）为： n1?2,n2?3, n3?4 第10个席位：计算q值为 235233324322 q1

3、?9204.17, q2?9240.75, q3?9331.2 2?33?44?5 q3最大，第10个席位应给c.分配结果为 n1?2,n2?3,n3?5 方法三（dhondt方法） 此方法的分配结果为：n1?2,n2?3,n3?5 此方法的道理是：记pi和ni为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表a、b、c宿舍）. pi 是ni 每席位代表的人数，取ni?1,2,?,从而得到的近. pip 中选较大者，可使对所有的i,i尽量接nini 再考虑n?15的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下： 2 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型. 解

4、： 设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本. 考虑t到t?t时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得vdt?(r?wkn)2?kdn,两边积分，得 ? t vdt?2?k?(r?wkn)dn n 2?rk?wk22n2 2vv 第二章(2)（2008年10月9日） 15速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是? ，用量纲分析方法确定风车获得的功率p与v、s、?的关系. 解: 设p、v、s、?的关系为f(p,v,s,?)?0， 其量纲表达式为: p=mlt 2 ?3 , v=lt ?1 ,s=l,?=ml,这里l,m,t是基本量纲. 2?3 量纲矩阵为： 1?2?

5、10a=? ?3?1(p)(v) 齐次线性方程组为： 2?3?(l)01?(m) 00?(t)(s)(? ?2y1?y2?2y3?3y4?0? ?y1?y4?0 ?3y?y?0 12? 它的基本解为y?(?1,3,1,1) 由量纲pi定理得 ?p?1v3s1?1，?p?v3s1?1 ， 其中?是无量纲常数. 16雨滴的速度v与空气密度?、粘滞系数?和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系 数，用量纲分析方法给出速度v的表达式. 解：设v,?,?,g 的关系为f(v,?,?,g)=0.其量纲表达式为v=lmt，?=lm

6、t， 0-1 -3 ?=mlt（ltl）l=mlltt=lmt，g=lmt,其中l，m，t是基本量纲. -2 -1-1 -1-2 -2-2 -1 -1 0-2 量纲矩阵为 ?1?3?11?(l) ?0?(m)110?a=? ?10?1?2(t)?(v)(?)(?)(g) 齐次线性方程组ay=0 ，即 ? y1-3y2-y3?y4?0? ?0 ?y2?y3 ?-y-y-2y?0 34?1 的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1) 由量纲pi定理 得 * ?v?3?1?g. ?v?g ，其中?是无量纲常数. ? 16雨滴的速度v与空气密度?、粘滞系数?、特征尺寸?和重力加速度g有关，其中粘滞系数

7、的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式. 解：设v,?,?,?，g 的关系为f(v,?,?,?,g)?0.其量纲表达式为 v=lmt，?=lmt，?=mlt（ltl）l=mlltt=lmt，?=lm0t0 ，g=lmt 0-1 -3 -2 -1-1 -1-2 -2-2 -1 -1 0-2 其中l，m，t是基本量纲. 量纲矩阵为 ?1?0a=?1(v) 齐次线性方程组ay=0 即 1?3?100 10 1?(l)10?(m) ?1?2?(t) (?)(?)(?)(g) ?y1?y2?3y3?y4?y5?0 ? y

8、3?y4?0 ? ?y1?y4?2y5?0? 的基本解为 11? y?(1,?,0,0,?)?1 22 ?31 ?y2?(0,?,?1,1,?) 22? 得到两个相互独立的无量纲量 ?1?v?1/2g?1/2 ?3/2?1?1/2 ?g?2? 即 v? ?1 ) g1,?3/2?g1/2?1?2?1. 由?(?1,?2)?0 , 得 ?1?(?2 ? ? g(?3/2?g1/2?1) , 其中?是未定函数. 20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期. 解：设阻尼摆周期t,摆长l,

9、 质量m,重力加速度g，阻力系数k的关系为 f(t,l,m,g,k)?0 其量纲表达式为： t?l0m0t,l?lm0t0,m?l0mt0,g?lm0t?2,k?fv?1?mlt?2(lt?1)?1 ?l0mt?1， 其中l，m，t是基本量纲.量纲矩阵为 ?0?0a=?1(t) 10 0?(l) 0101?(m) 00?2?1?(t) 1 (l)(m)(g)(k) 齐次线性方程组 y2?y4?0? y3?y5?0 ? ?y?2y?y?0 45?1 的基本解为 11? y?(1,?,0,0)?1 22 ?11 ?y2?(0,?1,?,1) 22? 得到两个相互独立的无量纲量 ?tl?1/2g1/

10、2?1 ?1/2?1?1/2 ?lmgk?2 t? kl1/2l ?1, ?1?(?2), ?2?1/2 gmg t? lkl1/2 (1/2) ，其中?是未定函数 . gmg 考虑物理模拟的比例模型，设g和k不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为 lkl?1/2() t,t；l,l;m,m. 又t?1/2gm?g 当无量纲量 m?lt?lgl时， 就有 ?. ? mltgll 数学模型作业解答 第三章1（2008年10月14日） 1. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货 批量证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周

11、期和订货批量都比原来结果减少【篇二：数学建模-微积分模型】今天人们不论从事什么活动都讲究高效益,即希望所采取的策略使某个或某些指标达到最优。商店订货要使订货、存贮等费用最小，体育比赛运动员要创造最好的成绩，工程设计要追求最佳方案。普遍存在的优化问题经常成为人们研究的对象，建立这类问题的模型，我们称为优化模型。 建立优化模型首先要确定所关心的优化指标的数量描述，然后构造包括这个指标及各种限制条件的模型，通过模型求解给出达到优化指标的所谓策略。本章仅考虑定常情况(即所给的策略不随时间改变)。 4.1 不允许缺货模型 某配送中心为所属的几个超市送配某种小电器，假设超市每天对这种小电器的需求量是稳定的

12、，订货费与每个产品每天的存贮费都是常数。如果超市对这种小家电的需求是不可缺货的，试制定最优的存贮策略(即多长时间订一次货，一次订多少货)。 如果日需求量价值100元，一次订货费用为 5000元，每件电器每天的贮存费1元，请给出最 优结果。 模型假设: （1）每天的需求量为常数r； （2）每次的订货费用为c1，每天每件产品的存贮费为c2 ； （3）t天订一次货,每次订q件，且当存贮量 为0时，立即补充，补充是瞬时完成的； （4）为方便起见，将r，q都视为连续量。 模型建立 将存贮量表示为时间的函数q(t),t?0时，进货q件这类小电器,储存量q(0)?q,q(t)以需求r的速率递减，直到q(t)

13、=0。易见 q=rt (4.1) 一个周期的存贮费用 c2= 一个周期的总费用 ? t q(s)ds?c2a rt2 c=c1?c2 2 每天平均费用c(t)? c1c2rt?(4.2) t2 模型求解 求t，使c(t)取最小值。 由 dc ?0，得 dt t? 2c1 ,rc2 q? 2c1rc2 (4.3) 上式称为经济订货批量公式。 模型解释 (1)订货费越高，需求量越大，则每次订货批量应越大，反之，每次订货量越小； (2)贮存费越高，则每次订货量越小，反之，每次订货量应越大。 模型应用 将c1?5000,c2?1,r?100代入(4.3)式得 t=10天,q=1000件，c=1000元

14、。 4.2 允许缺货模型 某配送中心为所属的几个超市送配某种 小电器，假设超市每天对这种小电器的需求量是稳定的，订货费与每个产品每天的存贮费都是常数。如果超市对这种小家电的需求是可以缺货的，试制定最优的存贮策略(即多长时间订一次货，一次订多少货)。 如果日需求为100元，一次订货费用为5000元，每件电器每天的贮存费1元，每件小家电每天的缺货费为0.1元，请给出最优结果。 与不允许缺货情况不同的是，对于允许缺货的情况，缺货时因失去销售机会而使利润减少，减少的利润可以看作为因缺货而付出的费用，称为缺货费。于是这个模型的第（1）、（2）条假设与不允许缺货的模型相同，除此之外，增加假设 （3）每隔t

15、天订货q件，允许缺货，每天每件小家电缺货费为c3 。缺货时存贮量q看作负值，q(t)的图形如图4.2，货物在t?t1时送完。 tt1 一个供货周期t内的总费用包括：订货费c1，存贮费c2?0缺货费c3?t1|q(t)|dt，q(t)dt， 借助图4.2可以得到一个周期总费用为 c?c1? 每天的平均费用 c(t,q)? 利用微分法，令 11 c2qt1?c3r(t?t1)222c1c2q2c3(rt?q)2 （4.4） ? t2rt2rt?c ?0?t ?c ?0?q? 可以求出最优的t,q值为 t?记 ? 2c1c2?c3 .,rc2c3 q? c32c1r . （4.5） c2c2?c3

16、c2?c3 (?1) c3 通过与不允许缺货的模型相比较得到 t?t?,q?q/? （4.6） 显然t?t,q?q，即允许缺货时订货周期可以长一些，每次可以少订一些货。（4.6）式表明，缺货费c3越大，?值越小，t,q与t,q越接近，这与实际是相符的，因为c3越大，意味着因缺货造成的损失越大，所以应该尽量避免缺货，当c3?时，?1，于是t?t,q?q。这个结果是合理的，因为缺货费充分大，造成的缺货损失也充分大，所以不允许缺货。 将所给的数据代入（4.6）式得到 t?33天,q?333件,c?301.7元。 4.3森林救火模型 本节讨论森林救火问题。森林失火了，消防站接到报警后派多少消防队员前去

17、救火呢?队员派多了，森林的损失小，但是救火的开支增加了；队员派少了，森林的损失大，救火的开支相应减小。所以需要综合考虑森林损失和救火队员开支之间的关系，以总费用最小来确定派出队员的多少。 从问题中可以看出，总费用包括两方面，烧毁森林的损失，派出救火队员的开支。烧毁森林的损失费通常正比于烧毁森林的面积，而烧毁森林的面积与失火的时间、灭火的时间有关，灭火时间又取决于消防队员数量，队员越多灭火越快。通常救火开支不仅与队员人数有关，而且与队员救火时间的长短也有关。记失火时刻为t?0，开始救火时刻为t?t1，火被熄灭的时刻为t?t2。设t时刻烧毁森林的面积为b(t)，则造成损失的森林烧毁的面积为b(t2

18、)。下面我们设法确定各项费用。 先确定b(t)的形式，研究b(t)比b(t)更直接和方便。b(t)是单位时间烧毁森林的面积，取决于火势的强弱程度，称为火势蔓延程度。在消防队员到达之前，即0?t?t1，火势越来越大，即b(t)随t的增加而增加；开始救火后，即t1?t?t2，如果消防队员救火能力充分强，火势会逐渐减小，即b(t)逐渐减小，且当t?t2时，b(t)?0。 救火开支可分两部分：一部分是灭火设备的消耗、灭火人员的开支等费用，这笔费用与队员人数及灭火所用的时间有关；另一部分是运送队员和设备等的一次性支出，只与队员人数有关。 模型假设 需要对烧毁森林的损失费、救火费及火势蔓延程度的形式做出假

19、设。 b(t) (1) 损失费与森林烧毁面 c1，c1即烧毁单积b(t2)成正比，比例系数为 位面积森林的损失费，取决于森林的疏密程度 和珍贵程度。 (2) 对于0?t?t1，火势蔓延程度b(t)与时间t成正比，比例系数?称为火势蔓延速度。（注：对这个假设我们作一些说明，火势以着火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，所以蔓延的半径与时间成正比，因为烧毁森林的面积与过火区域的半径平方成正比，从而火势蔓延速度与时间成正比）。 (3) 派出消防队员x名，开始救火以后，火势蔓延速度降为?x，其中?称为每个队员的平均救火速度，显然必须x?/?，否则无法灭火。 （4）每个消防队员单位时间的费用为c2，于

20、是每个队员的救火费用为c2(t2?t1)，每个队员的一次性开支为c3。 模型建立 根据假设条件（2）、（3），火势蔓延程度在0?t?t1时线性增加，在t1?t?t2时线性减小，具体绘出其图形见图4.3。 记t?t1时，b(t)?b。烧毁森林面积 b(t2)?02b(t)dt 正好是图中三角形的面积，显然有 b(t2)?而且 t2?t1?因此 1b2 b(t2)?bt1? 22(?x?) t 1bt 22b ?x? 根据条件（1）、（4）得到，森林烧毁的损失费为c1b(t2)，救火费为c2x(t2?t1)?c3x据此计算得到救火总费用为 c1b2cbx1 ?2?c3x （4.7） c(x)?c1

21、bt1? 22(?x?)?x? 问题归结为求x使c(x)达到最小。令 dc ?0 dx 得到最优的派出队员人数为x? c1?b?2c2?b2c3?2 ? ? （4.8） ? 模型解释 （4.8）式包含两项，后一项是能够将火灾扑灭的最低应派出的队员人数，前一项与相关的参数有关，它的含义是从优化的角度来看：当救火队员的灭火速度?和救火费用系数c3增大时，派出的队员数应该减少；当火势蔓延速度?、开始救火时的火势b以及损失费用系数c1增加时，派出的队员人数也应该增加。这些结果与实际都是相符的。 实际应用这个模型时，c1,c2,c3都是已知常数，?,?由森林类型、消防人员素质等因素确定。 4.4消费者的

22、选择 本节利用无差别曲线的概念讨论消费者的选择问题。如果一个消费者用一定数量的资金去购买两种商品，他应该怎样分配资金才会最满意呢？ 记购买甲乙两种商品的数量分别为q1,q2，当消费者占有它们时的满意程度，或者说给消费者带来的效用是q1,q2的函数，记作u(q1,q2)，经济学中称之为效用函数。u(q1,q2)?c的图形就是无差别曲线族，如图4.4所示。类似于第二章中无差别曲线的作法，可以作出效用函数族，它们是一族单调下降、下凸、不相交的曲线。在每一条曲线上，对于不同的点，效用函数值不变，即满意程度不变。而随着曲线向右上方移动，u(q1,q2)的值增加。曲线下凸的具体形状则反映了消费者的偏爱情况

23、。这里假设消费者u(q1,q2)，即无差别曲线族已 设甲乙两种商品的单价分费者有资金s元。当消费者用商品时所作的选择，即分别用应该使效用函数u(q1,q2)达到 s/对甲乙两种商品的效用函数经完全确定了。 别为p1,p2元，消这些钱买这两种多少钱买甲和乙，最大，即达到最大 的满意度。经济学上称这种最优状态为消费者 均衡。 当消费者购买两种商品量为q1,q2时，他用的钱分别为p1q1和p2q2，于是问题归结为在条件 p1q1?p2q2?s（4.9） 下求比例p1q1/p2q2，使效用函数达到最大。 这是二元函数求条件极值问题，用乘子法不难得到最优解应满足 p?u?u /?1（4.10） ?q1?

24、q2p2 当效用函数u(q1,q2)给定后，由（4.10）式即可确定最优比例p1q1/p2q2。 上述问题也可用图形法求解。约束条件（4.9）在图4.4中是一条直线，此直线必与无差别曲线族中的某一条相切（见图4.4中的q点），则q1,q2的最优值必在切点q处取得。 图解法的结果与（4.10）式是一致的。因为在切点q处直线与曲线的斜率相同，直线的斜率为?p1/p2，曲线的斜率为? 经济学中 ?u?u /，在q点，利用相切条件就得到（4.10）式。 ?q1?q2 ?u?u ,称为边际效用，即商品购买量增加1单位时效用函数的增量。（4.10）?q1?q2 式表明，消费者均衡状态在两种商品的边际效用之

25、比正好等于价格之比时达到。从以上的讨论可以看出，建立消费者均衡模型的关键是确定效用函数u(q1,q2)。构造效用函数时应注意到它必须满足如下的条件： 条件a ： u(q1,q2)?c所确定的一元函数q2?q(q1)是单调递减的，且曲线是呈下凸的。 条件a是无差别曲线族u(q1,q2)?c的一般特性，这个条件可以用下面更一般的条件代替。 条件b：【篇三：数学模型第四版课后答案姜启源版】t第二章(1)（2012年12月21日） 1 学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍.学生们 要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）. 按比例分

26、配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. 1中的q值方法； （3）.dhondt方法：将a、b、c各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,?相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中a、b、c行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？ 如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较. 解：先考虑n=10的分配方案， p1?235,p2?333,p3?432,方法一（按比例分配）q1? ?p i?1 3 i ?1000. p1n ?p i?1 3

27、 ?2.35,q2? p2n i ?p i?1 3 ?3.33, q3? p3n i ?p i?1 3 ?4.32 i 分配结果为： n1?3, n2?3, n3?4 方法二（q值方法） 9个席位的分配结果（可用按比例分配）为： n1?2,n2?3, n3?4 第10个席位：计算q值为 235233324322 q1?9204.17, q2?9240.75, q3?9331.2 2?33?44?5 q3最大，第10个席位应给c.分配结果为 n1?2,n2?3,n3?5 方法三（dhondt方法） 此方法的分配结果为：n1?2,n2?3,n3?5 此方法的道理是：记pi和ni为各宿舍的人数和席位

28、（i=1,2,3代表a、b、c宿舍）. pi 是ni 每席位代表的人数，取ni?1,2,?,从而得到的近. pip 中选较大者，可使对所有的i,i尽量接nini 再考虑n?15的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下： 2 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本. 考虑t到t?t时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得vdt?(r?wkn)2?kdn,两边积分，得 ? t vdt?2?k?(r?wkn)dn n 2?rk?wk22n2 2vv 数学模型作业解答 第三章1（2

29、008年10月14日） 1. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货 批量证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少 解：设购买单位重量货物的费用为k,其它假设及符号约定同课本 10 对于不允许缺货模型，每天平均费用为： c(t)? c1c2rt?kr t2 ccrdc ?12?2 dt2t 令 dc ?0 ， 解得 t*?dt 2c1 c2r2c1r c2 由q?rt ， 得q?rt? 与不考虑购货费的结果比较，、的最优结果没有变 20 对于允许缺货模型，每天平均费用为： 1 c(t,q)? t ?c2q2c32c?(rt?q)?kq?1? 2r2r? c1c2q2c3rc3q2kq?c ?2?2 22?t2t2rt2rtt cqk?cc2q ?c3?3? ?qrtrtt ?c ?0?t 令? ， 得到驻点： ?c ?0?q ? ? ?q? t? ? 2c1c2?c3k2 ? rc2c3c2c3 2 2 c3kr2c1rc3kr ? c2c2?c3c2(c2?c3)c2?c3 与不考虑购货费的结果比较，、的最优结果减少 2建立不允许缺货的生产销售存贮模型设生产速率为常数k，销售速率为常数r， k?r在每个生