行程问题经典例题.docx

1、行程问题经典例题8.如图 3-1，甲和乙两人分别从一圆形场所的直径两头点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了 100 米此后，他们第一次相遇，在甲走完一周前 60 米处又第二次相遇 .求此圆形场所的周长【剖析与解】注意察看图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完1 圈的行程，当甲、1+ 1 3 圈的行程2乙第二次相遇时，甲乙共走完22所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3，因此第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总行程的3 倍，即 1003=300米有甲、乙第二次相遇时， 共行走 (1 圈 60)+300，为3 圈，所以此圆形场所的周长为 4802米行程问题分类

2、例析河北欧阳庆红行程问题有相遇问题，追及问题，顺流、逆流问题，上坡、下坡问题等.在运动形式上分直线运动及曲线运用(如环形跑道 ). 相遇问题是相向而行 .相遇距离为两运动物体的距离和.追及问题是同向而行,分慢的在快的前面或慢的先行若干时间,快的再追及, S快 S慢 S追及距离 .顺逆流、顺风顶风、上下坡应注意运动方向，去时顺流，回时则为逆流.一、相遇问题例 1：两地间的行程为 360km，甲车从 A 地出发开往 B 地，每小时行72km；甲车出发25分钟后，乙车从 B 地出发开往 A 地，每小时履行 48km，两车相遇后，各自按本来速度持续履行，那么相遇此后，两车相距100km 时，甲车从出发

3、开始共行驶了多少小时剖析 ：利用相遇问题的关系式（相遇距离为两运动物体的距离和）成立方程.解答 ：设甲车共履行了 xh，则乙车履行了 ( x25)h .（如图 1）60图 1依题意，有 72x+48 (x25) =360+100,60解得 x=4.所以，甲车共履行了4h.说明 ：本题两车相向而行，相遇后持续履行100km ，仍属相遇问题中的距离，望读者认真体会.例 2:一架战斗机的贮油量最多够它在空中飞翔,飞机出航时顺风飞翔,在静风中的速度是575km/h, 风速 25 km/h, 这架飞机最多能飞出多少千米就应返回剖析 :列方程求解行程问题中的顺风顶风问题.顺风中的速度 =静风中速度 +风速

4、顶风中的速度 =静风中速度 -风速解答 :解法一 :设这架飞机最远飞出xkm 就应返回 .依题意，有xx4 65752557525.解得 :x=1320.答: 这架飞机最远飞出 1320km 就应返回 .解法二 : 设飞机顺风飞翔时间为 th.依题意 ,有(575+25)t=(575-25),解得 :t=.(575+25)t=600 =1320.答: 这架飞机最远飞出 1320km 就应返回 .说明 :飞机顺风与顶风的均匀速度是575km/h, 则有 2x4 6575. ,解得 x=.错误原由在于飞机均匀速度不是 575km/h, 而是2x2v顺 v逆2 600550(km / h)xxv顺

5、v逆600550574v顺v逆例 3:甲、乙两人在一环城公路上骑自行车，环形公路长为42km ，甲、乙两人的速度分别为21 km/h 、 14 km/h.(1) 假如两人从公路的同一地址同时反向出发，那么经几小时后,两人初次相遇(2)假如两人从公路的同一地址同时同向出发，那么出发后经几小时两人第二次相遇剖析 :这是环形跑道的行程问题 .解答 :(1)设经过 xh 两人初次相遇 .依题意 ,得(21+14)x=42,解得 :x=.所以 ,经过小时两人初次相遇 .(3)设经过 xh 两人第二次相遇 .依题意 ,得 21x-14x=42 2,解得 :x=12.所以 ,经过 12h 两人第二次相遇 .

6、说明 :在关闭的环形跑道上同向运动属追及问题， 反向运动属相遇问题 .从同一地址出发 ,相遇时,追及行程或相隔行程就是环形道的周长 ,第二次相遇 ,追及行程为两圈的周长 .风趣的行程问题【研究新知】例 1、甲、乙二人分别从相距 30 千米的两地同时出发相向而行， 甲每小时走 6 千米，乙每小时走 4 千米，问：二人几小时后相遇剖析与解： 出发时甲、乙二人相距 30 千米，此后两人的距离每小时都缩短 6410（千米），即两人的速度的和（简称速度和） ，所以 30 千米里有几个 10 千米就是几小时相遇 .30（ 64）30103（小时）答： 3 小时后两人相遇 .本题是一个典型的相遇问题 .在相

7、遇问题中有这样一个基本数目关系： 行程速度和时间 .例 2、如右下列图有一条长方形跑道，甲从 A 点出发，乙从 C 点同时出发，都按顺时针方向奔跑，甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 4.5 米。当甲第一次追上乙时，甲跑了多少圈（第二届希望杯试题）剖析与解：这是一道环形路上追及问题。 在追及问题问题中有一个基本关系式： 追击行程 =速度差追实时间。追及行程： 106=16（米）速度差： 5=（米）追击时间： 16=32（秒）甲跑了 532 （106） 2=5（圈）答：甲跑了 5 圈。例 3、一列货车清晨 6 时从甲地开往乙地，均匀每小时行 45 千米，一列客车从乙地开往甲地， 均匀每小时比货车快 15

8、 千米，已知客车比货车迟发 2 小时，正午 12 时两车同时经过途中某站，而后仍持续行进，问：当客车抵达甲地时，货车离乙地还有多少千米剖析与解： 货车每小时行 45 千米，客车每小时比货车快 15 千米，所以，客车速度为每小时 （4515）千米；正午 12 点两车相遇时， 货车已行了（ 126）小时，而客车已行（ 1262）小时，这样便可求出甲、乙两地之间的行程 .最后，再来求当客车行完整程抵达甲地时，货车离乙地的距离 .解：甲、乙两地之间的距离是：45（ 12 6）（ 45 15）（ 12 6 2）456604510（千米） .客车行完整程所需的时间是：510（ 4515）51060（小时）

9、 .客车到甲地时，货车离乙地的距离：51045（ 2） 510（千米） .答：客车到甲地时，货车离乙地还有37.5 千米 .例 4、两列火车相向而行，甲车每小时行36 千米，乙车每小时行54 千米.两车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了 14 秒，求乙车的车长剖析与解：第一应一致单位： 甲车的速度是每秒钟 36000 3600 10（米），乙车的速度是每秒钟 54000360015（米）.本题中，甲车的运动实质上能够看作是甲车乘客以每秒钟 10 米的速度在运动，乙车的运动则能够看作是乙车车头的运动，所以，我们只需研究下边这样一个运动过程即可： 从

10、乙车车头经过甲车乘客的车窗这一时辰起， 乙车车头和甲车乘客开始作反向运动 14 秒，每一秒钟，乙车车头与甲车乘客之间的距离都增大（ 10 15）米，所以， 14 秒结束时，车头与乘客之间的距离为（ 1015）14350（米） .又由于甲车乘客最后看到的是乙车车尾，所以，乙车车头与甲车乘客在这段时间内所走的行程之和应恰等于乙车车身的长度，即：乙车车长就等于甲、乙两车在 14 秒内所走的行程之和 . 解：（ 1015）14350（米）答：乙车的车长为 350 米 .例 5、某列车经过 250 米长的地道用 25 秒，经过 210 米长的地道用 23 秒，若该列车与另一列长 150 米.时速为 72

11、 千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟剖析与解： 解这种应用题，第一应明确几个观点：列车经过地道指的是从车头进入地道算起到车尾走开地道为止 .所以，这个过程中列车所走的行程等于车长加地道长； 两车相遇，错车而过指的是从两个列车的车头相遇算起到他们的车尾分开为止，这个过程其实是一个以车头的相遇点为起点的相背运动问题，这两个列车在这段时间里所走的行程之和就等于他们的车长之和 .所以，错车时间就等于车长之和除以速度之和。列车经过 250 米的地道用 25 秒，经过 210 米长的地道用 23 秒，所以列车行驶的行程为（ 250210）米时，所用的时间为（ 2523）秒 .由此可求得列车的车速为（ 25

12、0210）（ 25 23） 20（米 / 秒） .再依据前面的剖析可知：列车在 25 秒内所走的行程等于地道长加上车长，所以，这个列车的车长为 2025 250250（米），进而可求犯错车时间。解：依据另一个列车每小时走 72 千米，所以，它的速度为：72000360020（米 / 秒），某列车的速度为：（250210）（ 2523） 40220（米 / 秒）某列车的车长为：2025-250500-250 250（米）两列车的错车时间为：（250150）（ 2020） 400 4010（秒） .答：错车时间为 10 秒 .例 6、甲、乙两人分别从相距 260 千米的 A、B 两地同时沿笔挺的公

13、路搭车相向而行，各自前去 B 地、 A 地。甲每小时行 32 千米，乙每小时行 48 千米。甲、乙各有一个对讲机，当他们之间的距离小于络。问：20 千米时，两人可用对讲机联(1)两人出发后多久能够开始用对讲机联系(2)他们用对讲机联系后，经过多长时间相遇(3)他们可用对讲机联系多长时间（第四届希望杯试题）剖析与解：(1)(260-20) (32+48)=3(小时)。(2)20 (32+48)=(小时 )。(3)从甲、乙相碰到他们第二次相距 20 千米也用小时所以他们一共可用对讲机联系+=(小时 )。例 7、甲、乙两车同时从 A、B 两地出发相向而行，两车在离 B 地 64 千米处第一次相遇 .

14、相遇后两车仍以原速持续行驶，而且在抵达对方出发点后，立刻沿原路返回，途中两车在距 A 地 48 千米处第二次相遇，问两次相遇点相距多少千米剖析与解： 甲、乙两车共同走完一个 AB 全程时，乙车走了 64 千米，从上图能够看出：它们到第二次相遇时共走了 3 个 AB 全程，所以，我们能够理解为乙车共走了 3 个 64 千米，再由上图可知：减去一个 48 千米后，正好等于一个AB全程 .解： AB 间的距离是64 3 48 19248 144（千米） .两次相遇点的距离为1444864 32（千米） .答：两次相遇点的距离为32 千米.例 8 赵伯伯为锻炼身体，每日步行 3 小时，他先走平路，而后

15、上山，最后又回沿原路返回，假定赵伯伯在平路上每小时行 4 千米，上山每小时行 3 千米，下山每小时行 6 千米，在每日锻炼中，他共行走多少米（第五届希望杯试题）剖析与解： 赵伯伯上山和下山走的行程同样，上山速度为 3 千米，下山速度为 6 千米，上山与下山的均匀速度是多少 （这是一个易错题） 能够经过“设数”的方法让四年级同学理解。设上山行程为 6 千米，（想想为何设 6 千米还能够设几千米）上山时间为： 6 3=2（时）下山时间为： 6 6=1（时）上下山的均匀速度为：（66）（ 21）=4 千米又由于平路的速度也为 4 千米 / 小时，所以赵伯伯每日锻炼走的行程为：4 3=12 千米。【挑

16、战自我】1、小明、小华和小新三人家在同一条街道上，小明家在小华家西300米处，小新家在小明家东 400 米处，则小华家和小新家相距多少米（第三届希望杯试题）答案：绘图得 100 米。2、小明家离学校 2 千米，小光家离学校 3 千米，小明和小光的家相距多少千米（第一届希望杯试题）答案： 1 千米与 5 千米之间。分类议论，一题多解。当小明家与小光家在同一侧时，距离近来为1 千米。当小明家与小光家方向相反时，距离最远为5 千米。1可是小明和小光家可能不在一条直线上，所以小明与小光家的距离应在千米至 5 千米之间。3、甲乙两个港口相距 400 千米，一艘轮船从甲港顺流而下， 20 小时可抵达乙港。

17、已知顺流船速是逆水船速的 2 倍。有一次，这艘船在由甲港驶向乙港途中碰到突发事件，反向航行一段距离后，再掉头驶向乙港，结果晚到 9 个小时。轮船的此次航行比正常状况多行驶了多少千米（第四届希望杯试题 ）答案：顺流速度是 40020=20（千米）逆水速度是 202=10（千米）反向航行一段距离顺流时用的时间是 9（ 2 1） =3（小时）比正常状况多行驶的行程是 2032=120（千米）4、两列同样而行的火车恰幸亏某站台相遇。假如甲列车长行驶 25 米，乙列车每秒行驶 20 米，甲、乙两列车错车时间是（1）乙列车长多少米（2）甲列车经过这个站台用多少秒（3）坐在甲列车上的小明看到乙列车经过用了多

18、少秒（第二届希望杯试题）答案：（1）乙列车长 180 米（ 2）甲列车经过这个站台用多甲列车上的小明看到乙列车经过用了 4 秒225 米，每秒9 秒。求：9 秒（3）坐在5、甲、乙两车同时从 A、B 两地沿同样的方向行驶，甲车假如每小时行60 千米，则 5 小时可追上前面的乙车；假如每小时行驶 70 千米，则 3 小时可追上前面的乙车。由上可知，乙车每小时行驶多少千米（第三届希望杯试题）答案：乙车每小时行驶 45 千米。【综合练习】1、甲、乙两车分别从相距 240 千米的 A、B 两城同时出发，相向而行，已知甲车抵达 B 城需 4 小时，乙车抵达 A 城需 6 小时，问：两车出发后多长时间相遇

19、答案： 240（ 240 4 240 6）（小时） .2、小明家在学校东 400 米处，小红加在小明家的西 200 米处，那么小红家距离学校多少米 （第三届希望杯试题）答案：绘图解题，小红家距学校 200 米。3、甲、乙二人以均匀的速度分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地址离 A 地 4 千米，相遇后二人持续行进，走到对方出发点后立刻返回，在距 B 地 3 千米处第二次相遇，求两次相遇地址之间的距离答案： A、B 两地间的距离： 43 39（千米） .两次相遇点的距离： 9 4 3 2（千米） .4、周老师和王老师沿着学校的环形林荫道漫步，王老师每分钟走 55 米，周老师每

20、分钟走 65 米。已知林荫道周长是 480 米，他们从同一地址同时背向而行。在他们第 10 次相遇后，王老师再走多少米就回到出发点（第四届希望杯试题）答案：几分钟相遇一次： 480（5565）=4（分钟）10 次相遇共用： 4 10=40（分钟）王老师 40 分钟行了： 5540=2200（米）2200 480=4（圈） 280（米）所以正好走了 4 圈还多 280 米， 480280=200（米）答：再走 200 米回到出发点。5、“希望号”和“奥运号”两列火车相向而行， “希望号”车的车身长 280 米，“奥运号”车的车身长 385 米，坐在“希望号”车上的小明看见“奥运号”车驶过的时间是

21、 11 秒，求：（1）“希望号”和“奥运号”车的速度和（2）坐在“奥运号”车上的小强看见“希望号”车驶过的时间（3）两列火车的会车的时间答案：（1）速度和 35 米/ 秒；（2）8 秒；（3）会车时间 19 秒。5小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间来回行走（抵达另一村后就立刻返回），他们在离甲村千米处第一次相遇， 在离乙村 2 千米处第二次相遇 .问他们两人第四次相遇的地址离乙村多远（相遇指迎面相遇）解：画表示图以下 .第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的 3 倍，所以张走了 3（千米） .从图上可看出，第二次相遇处离乙村 2 千米 .所以，甲、乙两村距离是（千米） .每次要再

22、相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离 2 倍的行程 .第四次相遇时，两人已共同走了两村距离（ 3 22）倍的行程 .此中张走了 7（千米），=（千米） .就知道第四次相遇处，离乙村（千米） .答：第四次相遇地址离乙村1千米.35甲、乙、丙是一条路上的三个车站，乙站到甲、丙两站的距离相等，小强和小明同时分别从甲、丙两站出发相向而行，小强经过乙站 100 米时与小明相遇，而后两人又持续行进，小强走到丙站立刻返回，经过乙站 300 米时又追上小明，问：甲、乙两站的距离是多少米先绘图以下：剖析与解：联合上图，我们能够把上述运动分为两个阶段来观察：第一阶段从出发到二人相遇：小强走的行程 =一个甲、乙距离

23、 +100 米，小明走的行程 =一个甲、乙距离 -100 米。第二阶段从他们相碰到小强追上小明， 小强走的行程 =2 个甲、乙距离 -100 米 +300米=2 个甲、乙距离 +200 米， 小明走的行程 =100+300=400（米）。从小强在两个阶段所走的行程能够看出：小强在第二阶段所走的路是第一阶段的 2 倍，所以，小明第二阶段所走的路也是第一阶段的 2 倍，即第一阶段应走 4002 200（米），从而可求出甲、乙之间的距离为 200 100=300（米）。47、此刻是 3 点，什么时候时针与分针第一次重合剖析与解： 3 点时分针指 12，时针指 3。分针在时针后 53 15（个）格.4

24、8、有一座时钟此刻显示10 时整。那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合解： 10 时整，分针与时针距离是 10 格，需要追击的距离是（60-10 ）格，分针走60 格，时针走 5 格，即分针走 1 格，时针走 5/60=1/12 格。第一次重合经过 （ 60-10 ）/ （1-1/12） =54（ 6/11）（分）第二次重合再经过 60/ （1-1/12）=65（ 5/11）（分）答：经过 54（ 6/11）分钟，分针与时针第一次重合；再经过65（ 5/11）分钟，分针与时针第二次重合。2点钟此后，什么时辰分针与时针第一次成直角剖析与解：在 2 点整时

25、，分针落伍时针 52=10（个）格，当分针与时针第一次成直角时，分针超出时针 60（90360） =15（个）格，所以在这段时间内分针要比时针多走 10+15=25（个）格，所以抵达这一时辰所用的时间为：49、在 9 点与 10 点之间的什么时辰，分针与时针在一条直线上剖析与解：分两种状况进行议论。分针与时针的夹角为 180角：当分针与时针的夹角为 180角时，分针落伍时针 60（ 180360） =30（个）格，而在 9点整时，分针落伍时针 59=45（个）格 .所以，在这段时间内分针要比时针多走 45-30=15（个）格，而每分钟分针比时针多走（分钟）。分针与时针的夹角为0，即分针与时针重

26、合：9 点整时，分针落伍时针5 9=45（个）格，而当分针与时针重合时，分针要比时针多走45个格，所以抵达这一时辰所用的时间为：45(1-/12) 49 又 1/11（分钟）19、甲、乙二人分别从A、 B 两地同时出发，假如两人同向而行，甲26 分钟追上乙；假如两人相向而行， 6 分钟可相遇，又已知乙每分钟行50 米，求 A、 B 两地的距离。解： 先绘图以下：【方法一】 若设甲、 乙二人相遇地址为 C，甲追及乙的地址为 D，则由题意可知甲从 A 到 C用 6 分钟 .而从 A 到 D 则用 26 分钟，所以，甲走 C 到 D 之间的行程时， 所用时间应为：（ 26-6）=20（分）。同时，由

27、上图可知， C、 D 间的行程等于 BC加 BD.即等于乙在 6 分钟内所走的行程与在26 分钟内所走的行程之和，为 50（26 6） =1600（米） .所以，甲的速度为 1600 2080（米 / 分），由此可求出 A、 B 间的距离。50（ 26+6）（ 26-6） =503220 80（米 / 分）（80+50）6 1306=780（米）答： A、 B 间的距离为 780 米。【方法二】设甲的速度是 x 米 / 分钟那么有 (x-50) 26=(x+50) 6解得 x=80所以两地距离为 (80+50) 6=780 米5小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间来回行走（抵达另一村后就立刻返回），他们在离甲村千米处第一次相遇， 在离乙村 2 千米处第二次相遇 .问他们两人第四次相遇的地址离乙村多远（相遇指迎面相遇）解：画表示图以下 .第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的 3 倍，所以张走了 3（千米） .从图上可看出，第二次相遇处离乙村 2 千米 .所以，甲、乙两村距离是（千米） .每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离 2 倍的行程 .第四次相遇时，两人已共同走了两村距离（ 3 22）倍的行程 .此中张走了 7（千米），=（千米） .就知道第四次相遇处，离乙村（千米） .答：第四次相遇地址离乙村 1千米.例 20 从甲市到乙市有一条