第二章 二元关系.docx

1、第二章 二元关系第二章 二元关系1. 设 A=1,2,3,4,A 上二元关系 R=(a,b)|a=b+2, x S=(x,y)|y=x+1 or y= 2 求 RS,SR,SRS,S2,S3,SRc。 RS=(3,2),(4,3),(4,1) SR=(2,1),(3,2) SRS=(2,2),(3,3),(3,1) S2=(1,1),(1,3),(2,2),(2,4),(3,2),(4,1),(4,3) S3=(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,3),(4,2),(4,4) SRc=(1,4),(2,3),(4,4) 2A=a,b,c,d,e,f,g,

2、h，给定 A 上关系 R 的 关系图如下： 关系图如下： 图 314 求最小正整数， ，使 求最小正整数，使mn。 1 16 个自回路， 这是因为 R15 是 8 个顶点以及 8 个自回路，相 当于左图的点各走了 当于左图的点各走了 5 圈，左图的点各走了 3 圈， R16 就成了原来的 R 证明： 证明：(1)(I A )n = I A (a, a ) I A , a A , (a, a ) I A ,., (a, a ) I A ,2 n( b , b ) I A , b A , ( b , b ) I A .n22( 2)I A R = R I A = R ( a , b ) R , Q

3、 a , b A , ( a , a ) I A , ( b , b ) I A , ( a , b ) I A R , (a , b ) R I A , 即 R I A R, R R I A ; (a, b ) I A R , 若(a, b ) R , 则(a, b ) I A R , 矛盾, 得I A R R;同理, R I A R .事实上， 有限时， 复合， 事实上，当|A|有限时，R 与 IA 复合，相当于矩阵与 有限时 单位矩阵相乘，不会变化。 单位矩阵相乘，不会变化。( 3)( R U I A )n = I A U R U R 2 U . U R n n=1 ( R U I A

4、) = I A U R; 设( R U I A )k = I A U R U R 2 U . U R k ( R U I A )k + 1 = (I A U R U R 2 U . U R k )( R U I A ) = ( R U R 2 U . U R k + 1 ) U (I A U R U R 2 U . U R k ) = I A U R U R 2 U . U R k U R k + 1判断下列等式是否成立（ 1,2 均是到的 判断下列等式是否成立（, 均是 （ 二元关系） 二元关系） (1)( R 1 U R 2 )c = R1 U R 2cc对, ( a , b ) ( R

5、1 U R 2 )c ( b , a ) R 1 U R 2 (b, a ) R 1 or (b, a) R 2 (a, b ) R 1 or (a, b ) R 2c c (a , b ) R 1 U R 2cc( 2)( R 1 I R 2 )c = R1 I R 2cc对 ( a , b ) ( R 1 I R 2 )c ( b , a ) R 1 I R 2 (b, a ) R 1 and (b, a ) R 2 (a, b ) R 1 and (a, b ) R 2c c (a , b ) R 1 I R 2cc23( 3)( R 1 R 2 )c = R1 R 2cc对 ( a ,

6、 b ) ( R 1 R 2 )c = ( R 1 I R 2 )c (b , a ) R 1 I R 2 (b , a ) R 1 , (b , a ) R 2 (a , b ) R 1 , (a , b ) R 2c c c c c (a , b ) R 1 I R 2 = R 1 R 2c(4)( A B )c = A B 否, 例 : A = 1,2, B = 3,4, A B = (1,3), ( 2,3), (1,4), ( 2,4) ( A B )c = ( 3,1), ( 3,2), (4,1), (4,2) ( 5 ) c = 否, c与的定义域, 值域对换了一下. (6)(

7、 R )c = ( R c ) 对, ( a , b ) ( R )c ( b , a ) R ( b , a ) R (a , b ) R c (a , b ) R c (7 )( R 1 R 2 )c = R 2 R 1c c否, R 2的定义域不一定与 R 1的值域相同 . (8)如果R 1 R 2 , 则R 1 R 2c c c对, (a, b ) R 1 , (b, a ) R1 R 2 , (a , b ) R 2 .c(9)如果R 1 R 2 , 则R 1 R 2c cc对, (a, b ) R 1 , (b, a ) R1 R 2 , (a , b ) R 2 ,cQ R 1

8、R 2 , (c, d ) R 2 , (c, d ) R 1 , ( d , c ) R 2 , 而( d , c ) R 1 .c c24(10)R 1 R 2 = R 2 R 1 否, R 2的定义域不一定与 R 1的值域相同.5. 设 R1,R2 是集合 A 上的二元关系，如果 R 2 R 1 ， 上的二元关系， 分别是自反闭包，对称闭包， 其中 r,s,t 分别是自反闭包，对称闭包，传递闭包的 记号。试证明: 记号。试证明(1) r( R 2 ) r( R 1 ) Q R 2 R1 , I A I A , R 2 U I A R1 U I A( 2 ) s( R 2 ) s( R 1

9、 ) Q R 2 R1 , R 2 R1c c c c R 2 U R 2 R1 U R1( 3)t( R 2 ) t( R 1 )Q R 2 R 1 ( R 2 )1 ( R 1 )1 (即R 2 U R 2 R1 U R1 )2 2 (a, b ) R 2 R 1 ( R 1 )1 2 (a, b ) ( R 2 )1 (a, b ) R 2 , c A , (a, c), (c, b ) R 2 R 1 , 2 (a, b ) R 1 , (a, b ) ( R1 )1 (a, b ) t( R 2 ), k , 使(a, b ) ( R 2 )k ( R 1 )k t( R1 ) .6

10、. 设 R1,R2,R3,R4 分别是 A 到 B，B 到 C，B 到 C， ， ， ， 的二元关系，证明 到 D 的二元关系，证明 (1)R 1 ( R 2 U R 3 ) = R 1 R 2 U R 1 R 3 ( x, y ) R 1 ( R 2 U R 3 ) z , ( x, z ) R 1 , ( z , y ) R 2 or ( z , y ) R 3 z , ( x, z ) R 1 , ( z , y ) R 2 or ( x, z ) R 1 , ( z , y ) R 3 ( x, y ) R 1 R 2 or ( x, y ) R 1 R 3 ( x, y ) R 1

11、R 2 U R 1 R 325( 2 )R 1 ( R 2 I R 3 ) R 1 R 2 I R 1 R 3 ( x , y ) R 1 ( R 2 I R 3 ) z , ( x, z ) R 1 , ( z , y ) R 2 and ( z , y ) R 3 z , ( x, z ) R 1 , ( z , y ) R 2 and ( x, z ) R 1 , ( z , y ) R 3 ( x, y ) R 1 R 2 and ( x, y ) R 1 R 3 ( x, y ) R 1 R 2 I R 1 R 3(3)(4)类(1)(2)证明。 类 证明。 证明 7. 设 R 是

12、A 上的二元关系，证明对任意自然数 m,n， 上的二元关系， ，(1)R m R n = R m + n ( 2)(R m )n = R m n由归纳定义： 由归纳定义：(1) 1)n = 1, R m + 1 = R m R 2)假定R m R n = R m + n = (a, b ) | c A , (a, c) R m , (c, b ) R n R m R n + 1 = (a, b ) | c A, (a, c) R m , (c, b ) R n + 1 其中, R n + 1 = (c, b ) | d A, (c, d ) R n , (d, b ) R R m R n +

13、1 = (a, b ) | c, d A, (a, c) R m , (c, d ) R n , (d, b ) R = (a, b ) | d A, (a, d ) R m + n , (d, b ) R = R m + n R = R ( m + n ) + 1 = R m + ( n + 1)( 2) 1)n = 1, R m = R m 2)假定( R m )n = R mn ( R m )n+1 = ( R m )n R m = R mn R m 由(1) mn+ m R = R m( n+1)8. 设 R 是 A 上的二元关系， ，证明存在 上的二元关系， n， ，A 自然数 s,

14、t，使 R = R , 且0 s t 2 ，s t n2，其中定义R = (a, a ) | a A 。026 0 证 : R = (rij )nn , rij = 1 2 2 2(a i , a j ) R (a i , a j ) R 至多有 2n 个不同的R k (k N )出现, 0 k 2n ,由鸽洞原理 , ( 2n + 1)个R k中必存在s, t , 0 s (a,a) T 若(a,a) T, (a,b)(b,a) R , 即(b,a)(a,b) R28=(b,a)T 若(a,b)(b,c) T, (a,b)(b,a)(b,c)(c,b) R = (a,c) R, (c,a)

15、R =(a,c) T 16. 设 R 是 A 上一个二元关系，设 上一个二元关系， S=(a,b)对某个 C，(a,c)R 且(c,b)R ， 证明如果 R 是等价关系，则也是等价关系。 是等价关系， 也是等价关系。 a, (a,a) R, (a,a) R = (a,a) S 若(a,b) S , 存在 c, (a,c)(c,b) R 对称, 所以(b,a) S 由 R 对称 (b,c)(c,a) R , 所以 若 (a,b)(b,c) S 存在 d,e (a,d)(d,b)(b,e)(e,c) R 传递(a,b)(b,c) R 所以 所以(a,c) S 由 R 传递 17. 设 R 是 A

16、上的二元关系，对所有的 xi,xj,xkA， 上的二元关系， ， 为循环关系， 如果 xiRxjxjRxkxkRxi，则称 R 为循环关系， 是等价关系时， 才是自反的和循环的。 （其中 试证明当且仅当 R 是等价关系时，R 才是自反的和循环的。 其中 aRb （ 表示(a,b)） 表示 。 等价, 当然自反， 则由传递性， R 等价 当然自反，如果 xiRxj 且 xjRxk 则由传递性， xiRxk, 由对称性 xkRxi， R 是自反 循环的； 是自反, 循环的； 若(a,b) R, 由 R 自反 a, (a,a) R, 又(a,b) R, 由循环(b,a) R，对称， 由循环 ，对称，

17、 由对称(a,c) R， 若(a,b)(b,c)R，由循环 ，由循环(c,a) R, 由对称 ， 传递。 传递。 18设 R1，R2 是 A 上二元关系，证明 上二元关系，证明 (1)r( R 1 U R 2 ) = r( R 1 ) U r( R 2 )( 2)s( R 1 U R 2 ) = s( R 1 ) U s( R 2 ) ( 3)t( R 1 U R 2 ) t( R 1 ) U t( R 2 ) (1) r( R 1 U R 2 ) = ( R 1 U R 2 ) U I A = R 1 U I A U R 2= R 1 U ( I A U I A ) U R 2 = ( R

18、1 U I A ) U (I A U R 2 ) = ( R 1 U I A ) U ( R 2 U I A ) = r( R 1 ) U r(R 2 ) ( 2) s( R 1 U R 2 ) = ( R 1 U R 2 ) U ( R 1 U R 2 )cc = R1 U R 2 U R1 U R c 2 c = ( R 1 U R 1 ) U ( R 2 U R c ) = s( R 1 ) U s( R 2 ) 2( 3) ( R 1 U R 2 ) 2 = (a, b ) | c, (a, c) R 1 or R 2 , (c, b ) R 1 or R 2 2 = R1 U R 2

19、 U R1 R 2 U R 2 R1 2292 R 1 U R 2 (R 1 U R 2 )2 2 用归纳法可证 R 1 U R 2 ( R 1 U R 2 )n nnn , 可得 t( R 1 ) U t( R 2 ) t( R 1 U R 2 )19. 设 A=a,b,c,d,A 上二元关系 R=(a,b),(b,a),(b,c),(c,d) （） 用矩阵算法和作图法求 r(R),s(R),t(R)。 。 （）用 Warshall 算法求 t(R)。 。 1 1 r(R) = 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 01 0 0 0 1 1 0 1 1 0 s(

20、R)= 0 1 0 1 1 0 0 1 0 00 1 0 i = 1 1 0 1 0 1 0 j= 2 0 0 0 1 1 1 i = 3 1 1 0 0 0 1 j= 2 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 00 0 1 1 1 1 1 0 t(R)= 0 0 0 1 1 0 0 01 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 01 1 1 1 0 1 0 0 1 i = 3 1 0 j= 2 00 1 1 i = 2 1 0 1 0 1 0 j = 1 ,2 0 0 0 1 1 i = 4 1 1 0 1 j = 1 ,2 ,3 0 0 1 1 0 01 1 1 0 20. 讨论正实数集上二元关系的几何意义。 讨论正实数集上二元关系的几何意义。 ）是自反的 是自反的 （）是自反的 ）是对称 是对称的 （）是对称的 ）是传递的 是传递的 （）是传递的 提示：以第一象限的点讨论） （提示：以第一象限的点讨论） (1)第一象限角平分线 第一象限角平分线 (2)关于对角平分线对称的点对集合 关于对角平分线对称的点对集合 (3)若有 P 1 (x 1 ,y 1 )、 P 2 (x 2 ,y 2 ), 若 x 2 =y 1 , 若有 、 必有第三个点 P3(x1,y2)30