高考真题 绝对值不等式 解答题全集 学生版 解析版.docx

1、高考真题 绝对值不等式 解答题全集 学生版 解析版2017-2021年高考真题 绝对值不等式 解答题全集 （学生版+解析版）1（2021乙卷）已知函数f（x）|xa|+|x+3|（1）当a1时，求不等式f（x）6的解集；（2）若f（x）a，求a的取值范围2（2020江苏）设xR，解不等式2|x+1|+|x|43（2020新课标）设a，b，cR，a+b+c0，abc1（1）证明：ab+bc+ca0；（2）用maxa，b，c表示a，b，c的最大值，证明：maxa，b，c4（2020新课标）已知函数f（x）|3x+1|2|x1|（1）画出yf（x）的图象；（2）求不等式f（x）f（x+1）的解集5（

2、2020新课标）已知函数f（x）|xa2|+|x2a+1|（1）当a2时，求不等式f（x）4的解集；（2）若f（x）4，求a的取值范围6（2020新课标）设数列an满足a13，an+13an4n（1）计算a2，a3，猜想an的通项公式并加以证明；（2）求数列2nan的前n项和Sn7（2020新课标）设a，b，cR，a+b+c0，abc1（1）证明：ab+bc+ca0；（2）用maxa，b，c表示a，b，c中的最大值，证明：maxa，b，c8（2019江苏）设xR，解不等式|x|+|2x1|29（2019新课标）设x，y，zR，且x+y+z1（1）求（x1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值

3、；（2）若（x2）2+（y1）2+（za）2成立，证明：a3或a110（2019新课标）已知f（x）|xa|x+|x2|（xa）（1）当a1时，求不等式f（x）0的解集；（2）当x（，1）时，f（x）0，求a的取值范围11（2019新课标）已知a，b，c为正数，且满足abc1证明：（1）a2+b2+c2；（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）32412（2018北京）设n为正整数，集合A|（t1，t2，tn），tk0，1，k1，2，n，对于集合A中的任意元素（x1，x2，xn）和（y1，y2，yn），记M（，）（x1+y1|x1y1|）+（x2+y2|x2y2|）+（xn+yn|xnyn

4、|）（）当n3时，若（1，1，0），（0，1，1），求M（，）和M（，）的值；（）当n4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，当，相同时，M（，）是奇数；当，不同时，M（，）是偶数求集合B中元素个数的最大值；（）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素，M（，）0，写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由13（2018新课标）已知f（x）|x+1|ax1|（1）当a1时，求不等式f（x）1的解集；（2）若x（0，1）时不等式f（x）x成立，求a的取值范围14（2018新课标）设函数f（x）5|x+a|x2|（1）当a1时，求不等式f（x）0的解集；（

5、2）若f（x）1，求a的取值范围15（2017新课标）已知函数f（x）x2+ax+4，g（x）|x+1|+|x1|（1）当a1时，求不等式f（x）g（x）的解集；（2）若不等式f（x）g（x）的解集包含1，1，求a的取值范围16（2017新课标）已知a0，b0，a3+b32证明：（1）（a+b）（a5+b5）4；（2）a+b217（2017新课标）已知函数f（x）|x+1|x2|（1）求不等式f（x）1的解集；（2）若不等式f（x）x2x+m的解集非空，求m的取值范围2017-2021年高考真题 绝对值不等式 解答题全集 （学生版+解析版）参考答案与试题解析1（2021乙卷）已知函数f（x）|

6、xa|+|x+3|（1）当a1时，求不等式f（x）6的解集；（2）若f（x）a，求a的取值范围【解答】解：（1）当a1时，f（x）|x1|+|x+3|，f（x）6，或或，x4或x2，不等式的解集为（，42，+）（2）f（x）|xa|+|x+3|xax3|a+3|，若f（x）a，则|a+3|a，两边平方可得a2+6a+9a2，解得a，即a的取值范围是（，+）2（2020江苏）设xR，解不等式2|x+1|+|x|4【解答】解：2|x+1|+|x|2|x+1|+|x|4，或或，或1x0或2x1，2x，不等式的解集为x|2x3（2020新课标）设a，b，cR，a+b+c0，abc1（1）证明：ab+b

7、c+ca0；（2）用maxa，b，c表示a，b，c的最大值，证明：maxa，b，c【解答】证明：（1）a+b+c0，（a+b+c）20，a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc0，2ab+2ac+2bc（a2+b2+c2），abc1，a，b，c均不为0，2ab+2ac+2bc（a2+b2+c2）0，ab+ac+bc0；（2）不妨设ab0c，则ab，a+b+c0，abc，而ab2，与假设矛盾，故maxa，b，c4（2020新课标）已知函数f（x）|3x+1|2|x1|（1）画出yf（x）的图象；（2）求不等式f（x）f（x+1）的解集【解答】解：函数f（x）|3x+1|2|x1|，图象如图所示（

8、2）由于f（x+1）的图象是函数f（x）的图象向左平移了一个单位所得，（如图所示）直线y5x1向左平移一个单位后表示为y5（x+1）15x+4，联立，解得横坐标为x，不等式f（x）f（x+1）的解集为x|x5（2020新课标）已知函数f（x）|xa2|+|x2a+1|（1）当a2时，求不等式f（x）4的解集；（2）若f（x）4，求a的取值范围【解答】解：（1）当a2时，f（x）|x4|+|x3|，当x3时，不等式f（x）4化为2x+74，即x，x；当3x4时，不等式f（x）4化为14，此时x；当x4时，不等式f（x）4化为2x74，即x，x综上，当a2时，不等式f（x）4的解集为x|x或x；（

9、2）f（x）|xa2|+|x2a+1|xa2（x2a+1）|（a1）2|（a1）2又f（x）4，（a1）24，得a12或a12，解得：a1或a3综上，若f（x）4，则a的取值范围是（，13，+）6（2020新课标）设数列an满足a13，an+13an4n（1）计算a2，a3，猜想an的通项公式并加以证明；（2）求数列2nan的前n项和Sn【解答】解：（1）法一：数列an满足a13，an+13an4n，则a23a145，a33a2427，猜想an的通项公式为an2n+1证明如下：（i）当n1，2，3时，显然成立，（ii）假设nk时，ak2k+1（kN+）成立，当nk+1时，ak+13ak4k3（

10、k+1）4k2k+32（k+1）+1，故nk+1时成立，由（i）（ii）知，an2n+1，猜想成立，所以an的通项公式an2n+1法二：数列an满足a13，an+13an4n，则a23a145，a33a2427，猜想an的通项公式为an2n+1证明：设an+1+（n+1）+3（an+n+），可得an+13an+2n+2，解得，an+12（n+1）13（an2n1），（不能说明an2n1是等比数列）a13，a12110，并且a22（2+1）10，所以an2n+1恒成立所以an2n+1（2）令bn2nan（2n+1）2n，则数列2nan的前n项和Sn321+522+（2n+1）2n，两边同乘2得，

11、2Sn322+523+（2n+1）2n+1，得，Sn32+222+22n（2n+1）2n+16（2n+1）2n+1，所以Sn（2n1）2n+1+27（2020新课标）设a，b，cR，a+b+c0，abc1（1）证明：ab+bc+ca0；（2）用maxa，b，c表示a，b，c中的最大值，证明：maxa，b，c【解答】证明：（1）a+b+c0，（a+b+c）20，a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc0，2ab+2ac+2bc（a2+b2+c2），abc1，a，b，c均不为0，2ab+2ac+2bc（a2+b2+c2）0，ab+ac+bc0；（2）不妨设ab0c，则ab，a+b+c0，abc，而

12、ab2，与假设矛盾，故maxa，b，c8（2019江苏）设xR，解不等式|x|+|2x1|2【解答】解：|x|+|2x1|，|x|+|2x1|2，或或，x1或x或x，不等式的解集为x|x或x19（2019新课标）设x，y，zR，且x+y+z1（1）求（x1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值；（2）若（x2）2+（y1）2+（za）2成立，证明：a3或a1【解答】解：（1）x，y，zR，且x+y+z1，由柯西不等式可得（12+12+12）（x1）2+（y+1）2+（z+1）2（x1+y+1+z+1）24，可得（x1）2+（y+1）2+（z+1）2，即有（x1）2+（y+1）2+（z+1）2

13、的最小值为；（2）证明：由x+y+z1，柯西不等式可得（12+12+12）（x2）2+（y1）2+（za）2（x2+y1+za）2（a+2）2，可得（x2）2+（y1）2+（za）2，即有（x2）2+（y1）2+（za）2的最小值为，由题意可得，解得a1或a310（2019新课标）已知f（x）|xa|x+|x2|（xa）（1）当a1时，求不等式f（x）0的解集；（2）当x（，1）时，f（x）0，求a的取值范围【解答】解：（1）当a1时，f（x）|x1|x+|x2|（x1），f（x）0，当x1时，f（x）2（x1）20，恒成立，x1；当x1时，f（x）（x1）（x+|x2|）0恒成立，x；综上，

14、不等式的解集为（，1）；（2）当a1时，f（x）2（ax）（x1）0在x（，1）上恒成立；当a1时，x（a，1），f（x）2（xa）0，不满足题意，a的取值范围为：1，+）11（2019新课标）已知a，b，c为正数，且满足abc1证明：（1）a2+b2+c2；（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）324【解答】证明：（1）分析法：已知a，b，c为正数，且满足abc1要证（1）a2+b2+c2；因为abc1就要证：a2+b2+c2；即证：bc+ac+aba2+b2+c2；即：2bc+2ac+2ab2a2+2b2+2c2；2a2+2b2+2c22bc2ac2ab0（ab）2+（ac）2+（b

15、c）20；a，b，c为正数，且满足abc1（ab）20；（ac）20；（bc）20恒成立；当且仅当：abc1时取等号即（ab）2+（ac）2+（bc）20得证故a2+b2+c2得证（2）证（a+b）3+（b+c）3+（c+a）324成立；即：已知a，b，c为正数，且满足abc1（a+b）为正数；（b+c）为正数；（c+a）为正数；（a+b）3+（b+c）3+（c+a）33（a+b）（b+c）（c+a）；当且仅当（a+b）（b+c）（c+a）时取等号；即：abc1时取等号；a，b，c为正数，且满足abc1（a+b）2；（b+c）2；（c+a）2；当且仅当ab，bc；ca时取等号；即：abc1时取

16、等号；（a+b）3+（b+c）3+（c+a）33（a+b）（b+c）（c+a）3824abc24；当且仅当abc1时取等号；故（a+b）3+（b+c）3+（c+a）324得证故得证12（2018北京）设n为正整数，集合A|（t1，t2，tn），tk0，1，k1，2，n，对于集合A中的任意元素（x1，x2，xn）和（y1，y2，yn），记M（，）（x1+y1|x1y1|）+（x2+y2|x2y2|）+（xn+yn|xnyn|）（）当n3时，若（1，1，0），（0，1，1），求M（，）和M（，）的值；（）当n4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，当，相同时，M（，）是奇数；当，不同时，

17、M（，）是偶数求集合B中元素个数的最大值；（）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素，M（，）0，写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由【解答】解：（I ） M（，）1+1+02，M（，）0+1+01（II）考虑数对（xk，yk）只有四种情况：（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1），相应的分别为0、0、0、1，所以B中的每个元素应有奇数个1，所以B中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）：（1，0，0，0 ）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1），（0，1，1，1）、（1，0，1，1）、（1，1，0，1）、（1，1

18、，1，0），对于任意两个只有1个1的元素，都满足M（，）是偶数，所以四元集合B（1，0，0，0）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1）满足 题意，假设B中元素个数大于等于4，就至少有一对互补元素，除了这对互补元素之外还有至少1个含有3个1的元素，则互补元素中含有1个1的元素与之满足M（，）1不合题意，故B中元素个数的最大值为4（） B（0，0，0，0），（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，10），（0，0，0，1），此时B中有n+1个元素，下证其为最大对于任意两个不同的元素，满足M（，）0，则，中相同位置上的数字不能同时为1，假设存在B有多于n+1个元素，由

19、于（0，0，0，0）与任意元素都有M（，）0，所以除（0，0，0，0）外至少有n+1个元素含有1，根据元素的互异性，至少存在一对，满足xiyil，此时M（，）1不满足题意，故B中最多有n+1个元素13（2018新课标）已知f（x）|x+1|ax1|（1）当a1时，求不等式f（x）1的解集；（2）若x（0，1）时不等式f（x）x成立，求a的取值范围【解答】解：（1）当a1时，f（x）|x+1|x1|，由f（x）1，或，解得x，故不等式f（x）1的解集为（，+），（2）当x（0，1）时不等式f（x）x成立，|x+1|ax1|x0，即x+1|ax1|x0，即|ax1|1，1ax11，0ax2，x（0

20、，1），a0，0x，a2，0a2，故a的取值范围为（0，214（2018新课标）设函数f（x）5|x+a|x2|（1）当a1时，求不等式f（x）0的解集；（2）若f（x）1，求a的取值范围【解答】解：（1）当a1时，f（x）5|x+1|x2|当x1时，f（x）2x+40，解得2x1，当1x2时，f（x）20恒成立，即1x2，当x2时，f（x）2x+60，解得2x3，综上所述不等式f（x）0的解集为2，3，（2）f（x）1，5|x+a|x2|1，|x+a|+|x2|4，|x+a|+|x2|x+a|+|2x|x+a+2x|a+2|，|a+2|4，解得a6或a2，故a的取值范围（，62，+）15（2

21、017新课标）已知函数f（x）x2+ax+4，g（x）|x+1|+|x1|（1）当a1时，求不等式f（x）g（x）的解集；（2）若不等式f（x）g（x）的解集包含1，1，求a的取值范围【解答】解：（1）当a1时，f（x）x2+x+4，是开口向下，对称轴为x的二次函数，g（x）|x+1|+|x1|，当x（1，+）时，令x2+x+42x，解得x，g（x）在（1，+）上单调递增，f（x）在（1，+）上单调递减，此时f（x）g（x）的解集为（1，；当x1，1时，g（x）2，f（x）f（1）2当x（，1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（1）f（1）2综上所述，f（x）g（x）的解集为1，；

22、（2）依题意得：x2+ax+42在1，1恒成立，即x2ax20在1，1恒成立，则只需，解得1a1，故a的取值范围是1，116（2017新课标）已知a0，b0，a3+b32证明：（1）（a+b）（a5+b5）4；（2）a+b2【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）（）2（a3+b3）24，当且仅当，即ab1时取等号，（2）a3+b32，（a+b）（a2ab+b2）2，（a+b）（a+b）23ab2，（a+b）33ab（a+b）2，ab，由均值不等式可得：ab（）2，（a+b）32，（a+b）32，a+b2，当且仅当ab1时等号成立17（2017新课标）已知函数f（x）|x+

23、1|x2|（1）求不等式f（x）1的解集；（2）若不等式f（x）x2x+m的解集非空，求m的取值范围【解答】解：（1）f（x）|x+1|x2|，f（x）1，当1x2时，2x11，解得1x2；当x2时，31恒成立，故x2；综上，不等式f（x）1的解集为x|x1（2）原式等价于存在xR使得f（x）x2+xm成立，即mf（x）x2+xmax，设g（x）f（x）x2+x由（1）知，g（x），当x1时，g（x）x2+x3，其开口向下，对称轴方程为x1，g（x）g（1）1135；当1x2时，g（x）x2+3x1，其开口向下，对称轴方程为x（1，2），g（x）g（）1；当x2时，g（x）x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x2，g（x）g（2）4+2+31；综上，g（x）max，m的取值范围为（，