应用泛函分析报告复习小结.docx

1、应用泛函分析报告复习小结第一章 实分析概要本章将简要的介绍数学分析与实变函数的一些基础知识，特别是点集的勒贝格 测度与勒贝格积分理论。这些知识不仅是学习泛函分析的必要准备，而且在数学及 其它学科中有直接的应用。第一节 集合及其运算 第二节 实数的完备性 第三节 可数集与不可数集第四节 直线上的点集与连续函数 第五节 点集的勒贝格测度与可测函数1第六节 勒贝格积分第一节 集合及其运算1） A A = A, A A = A;2） A = A, A = ；3）若 A B ，则 A B = B, A B = A, A B = ；4) 设 X 为基本集，则A AC = X , A AC = , ( AC

2、 )C = A, A B = A BC又若 A B ，则 AC BC 。集合的运算法则：2交换律A B = B A, A B = B A ；结合律( A B) C = A (B C) = A B C ；( A B) C = A (B C) = A B C ；分配律( A B) C = ( A C) (B C) ；( A B) C = ( A C) (B C) ；( A B) C = ( A C) (B C) .定理 1.1设 X 为基本集，A为任意集组，则1)( U A )C = I ( A )C(1.6)II2)( I A )C = U ( A )C(1.7)IIA ( A B) = A I

3、 B3第二节 实数的完备性2.1 有理数的稠密性2.2 实数的完备性定理定义 2.1 (闭区间套)设an ,bn (n = 1,2,L, ) 是一列闭区间， an 0 ，必存在6A 中的数 x ，使得 x M (x 0 ，都能找到 ( ) 0（注意 ( ) 与点 x 无关），使得对于 E 中的任意两点 x1 与 x2 ，只要x1 x2 ，就有f (x1 ) f (x2 ) 0 ，都能找到正整数 N ( ) ，使得当 n N ( ) 时，不等式fn (x) f (x) 0 ，存在正整数 N ( ) ，使得当 m, n N ( ) 时，不等式fm (x) fn (x) （1.17）对于所有 x E

4、 的成立.定理 4.10 设 fn (x) 是 E 上的一个连续函数列，如果在 E 上它一致收敛于函数 f (x) ，那么极限函数 f (x) 也在集 E 上连续。定理 4.11 设 fn (x) 是区间a,b 上的连续函数列，若 fn (x) 在a,b 上一致收敛于 f (x) ，则极限函数 f (x) 在a,b 上可积，并且16b f (x)dx = lim bfn (x)dx(1.18)an a或写成b ba limn fn (x)dx = limn a fn (x)dx第五节 点集的勒贝格测度与可测函数本节将简要地介绍点集的勒贝格测度与可测函数的基本理论，它不但是建立勒贝格积分的必要准

5、备，而且在其他的学科（如概率论与随机过程）中也经常用到。5.1 从黎曼积分到勒贝格测度17命题5.1 如果 f (x) 在区间a,b 上连续，那么 f (x) 在a,b 上必R可积。5.2 点集的勒贝格测度定义 5.1 设G 为直线上的有界开集，定义 G 的测度为它的一切构成区间的长度之和，也就是说，若 G = U(k , k ) ，其中 ( , k ) 是 G 的构成区间，则kmG = ( k k )（1.23）k定义 5.2设 F 为直线上的有界闭集，F (a,b) ，则 G = (a,b) F 是有界开集，定义F 的测度为18mF = (b a) mG（1.24）定义 5.3 设 E 为

6、直线上的任一有界点集，我们称所有包含 E 的开集的测度的下确界为集 E 的外测度，记作 m E ：m E = infmG | G E,G为开集而把所有含于 E 中的闭集的测度的上确界称为集 E 的内侧度，记作 m E ：m E = supmF | F E, F为闭集定义 5.4 设 E 直线上的有界点集，若 m E = m E ，则称 E 为勒贝格可测集，简称为 L 可测集，它的外测度与内侧度的共同值称为 E 的勒贝格测度，简称为 L 测度，19记作 mEmE = m E = m E定理 5.1 设 X = (a,b) 为基本集， E , E1 与 E2 为 X 的子集。1） 若 E 可测，则

7、其余集 E C 也可测；2） 若 E1 , E2 可测，则 E1 U E2 , E1 I E2 , E1 E2 均可测；又若 E1 I E2 = ，则m(E1 U E2 ) = mE1 + mE2205.3 可测函数定义 5.5 设 E 为直线上的可测集（有界或无界）， f (x) 是定义在 E 上的实值函数，如果对于任何实数 ，集合E( f ) = x | f (x) , x E都是勒贝格可测的，那么称 f (x) 是 E 上的勒贝格可测函数，简称为可测函数。定理 5.4 函数 f (x) 在可测集上可测的充要条件是对于任何实数 与 ，集合E( f ) = x | f (x) ) = x | f (x) , x E是可测集；2） E( f ) = x | f (x) , x E 是可测集：3） E( f ) = x | f (x) 0 ，则称集合S(x0 , r) = x | x X , (x, x0 ) 0 ，存在 0 ，使得当 (x, x0 ) 时，有1 (Tx,Tx0 ) 0 ，存在正整数 N ，使得当m,nm, n N 时，有 (xm , xn ) ，则称xn