北师大版数学必修全套教案.docx

1、北师大版数学必修全套教案(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！)(北师大版)数学必修4全套教案1 周期现象与周期函数（1课时）教学目标：知识与技能（1）了解周期现象在现实中广泛存在；（2）感受周期现象对实际工作的意义；（3）理解周期函数的概念；（4）能熟练地判断简单的实际问题的周期；（5）能利用周期函数定义进行简单运用。过程与方法通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义；根据周期性的定义，再在实践中加以应用。情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有

2、数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。二、教学重、难点 重点: 感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。难点: 周期函数概念的理解，以及简单的应用。三、学法与教学用具学法：数学来源于生活，又指导于生活。在大千世界有很多的现象，通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在。并在此基础上学习周期性的定义，再应用于实践。教学用具:实物、图片、投影仪四、教学思路 【创设情境，揭示课题】同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象

3、就是我们今天要学到的周期现象。再比如，取出一个钟表,实际操作我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。(板书课题)【探究新知】1我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片（投影图片）， 注意波浪是怎样变化的？可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。请你举出生活中存在周期现象的例子。（单摆运动、四季变化等）（板书：一、我们生活中的周期现象）2那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？教师引导学生自主学习课本P3P4的相关内容，并思考回答下列问题：如何理解“散点图”？ 图1-

4、1中横坐标和纵坐标分别表示什么？ 如何理解图1-1中的“Hm”和“t(n0)的角，圆弧AB和AlBl的长分别为l和l1，点A和Al到点O的距离(即圆的半径)分别为r(r0)和rl(rl0)，由初中所学的弧长公式有lr，l1r1，所以，这表明以角为圆心角所对的弧长与其半径的比值，与所取的半径大小无关，只与角的大小有关 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同但它们既然是表示同一个角，那这二者之间就应该可以进行换算，下面我们来讨论角度与弧度的换算 3角度制与弧度制的换算 现在我们知道：1个周角360r，所以，(板书)3602r

5、ad，由此可以得到180rad，1001745rad，1rad（）57.305718。说明：在进行角度与弧度的换算时，关键要抓住180rad这一关系式 今后我们用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写这个角所对应的弧度数例如，角2就表示是2rad的角，sin就表示rad的角的正弦，但用角度制表示角时，“度”或“”不能省去而且用“弧度”为单位度量角时，常把弧度数写成多少的形式，如无特别要求，不必把写成小数，如45rad ，不必写成450785弧度前面我们介绍了角度制下的终边相同角的表示方法，而角度制与弧度制可以相互转化，所以与角终边相同的角(连同角在内)，也可以用弧度制来表

6、示但书写时要注意前后两项所采用的单位制必须一致角的概念推广后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数与它对应，例如这个角的弧度数或度数；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角与它对应，就是弧度数或度数等于这个实数的角。 【巩固深化，发展思维】 1例题讲评 例1把45化成弧度。解：4545radrad.例2把rad化成度。解： rad180108.例3利用弧度制证明扇形面积公式Slr，其中l是扇形的弧长，r是圆的半径。证：圆心角为1的扇形的面积为r2，又弧长为l的扇形的圆心角的大小为，扇形的面积Sr2lr.2学生课堂练习（1）填表度

7、04560180360弧度说明：一些特殊角的弧度数，大家要熟记，免得每次遇到都要去进行换算 （2）用弧度制写出终边落在y轴上和x轴上的角集合。五、归纳整理，整体认识（1）主要学习了弧度制的定义；角度与弧度的换算公式；特殊角的弧度数。（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？六、布置作业：习题13中的1、2、6.七、课后反思 4.1 锐角的正弦函数4.2 任意角的正弦函数4.3正弦函数ysinx的图像（2课时）教学目标：知识与技能（1）回忆锐角的正弦函数定义；（2）熟练运用锐角正弦函数的性质；（3）理解通过单位圆引入任意角的正

8、弦函数的意义；（4）掌握任意角的正弦函数的定义；（5）理解有向线段的概念；（6）了解正弦函数图像的画法；（7）掌握五点作图法，并会用此方法画出0，2上的正弦曲线。过程与方法初中所学的正弦函数，是通过直角三角形中给出定义的；由于我们已将角推广到任意角的情况，而且一般都是把角放在平面直角坐标系中，这样一来，我们就在直角坐标系中来找直角三角形，从而引出单位圆；利用单位圆的独特性，是高中数学中的一种重要方法，在第二节课的正弦函数图像，以及在后面的正弦函数的性质中都有直接的应用；讲解例题，总结方法，巩固练习。情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对正弦函数的概念有了一个新的认识；在由锐角的正弦函数推广

9、到任意角的正弦函数的过程中，体会特殊与一般的关系，形成一种辩证统一的思想；通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力。 二、教学重、难点 重点: 1.任意角的正弦函数定义，以及正弦函数值的几何表示。 2.正弦函数图像的画法。难点: 1.正弦函数值的几何表示。 2.利用正弦线画出ysinx，x0， 2的图像。三、学法与教学用具在初中，我们知道直角三角形中锐角的对边比上斜边就叫着这个角的正弦，当把锐角放在直角坐标系中时，角的终边与单位圆交于一点，正弦函数对应于该点的纵坐标，当是任意角时，通过函数定义的形式引出正弦函数的定义；作正弦函数ysinx图像

10、时，在正弦函数定义的基础上，通过平移正弦线得出其图像，再归结为五点作图法。教学用具:投影机、三角板第一课时 4.1 锐角的正弦函数 4.2 任意角的正弦函数一、教学思路 【创设情境，揭示课题】我们学习角的概念的推广和弧度制，就是为了学习三角函数。请同学们回忆（1）角的概念的推广及弧度制、象限角等概念；（2）初中所学的正弦函数是如何定义的？并想一想它有哪些性质？学生思考回答以后，教师小结。（板书课题）【探究新知】 在初中，我们学习了锐角的正弦函数值：sin，如图：sinA，由于a是直角边，c是斜边，所sinA(0，1)。由于我们通常都是将角放到平面直角坐标系中，我们来看看会发生什么？ 在直角坐标

11、系中，（如图所示），设角（0，）的终边与半经为r的圆交于点P（a，b），则角的正弦值是：sin.根据相似三角形的知识可知，对于确定的角，都不会随圆的半经的改变而改变。为简单起见，令r1(即为单位圆)，那么sinb，也就是说，若角的终边与单位圆相交于P，则点P的纵坐标b就是角的正弦函数。 直角三角形显然不能包含所有的角，那么，我们可以仿照锐角正弦函数的定义你认为该如何定义任意角的正弦函数?一般地，在直角坐标系中（如上图），对任意角，它的终边与单位圆交于点P（a，b），我们可以唯一确定点P（a，b）的纵坐标b，所以P点的纵坐标b是角的函数，称为正弦函数，记作ysin(R)。通常我们用x，y分别表示

12、自变量与因变量，将正弦函数表示为ysinx.正弦函数值有时也叫正弦值. 请同学们画图，并利用正弦函数的定义比较说明：角与角的终边与单位圆的交点的纵坐标有什么关系？它们的正弦值有什么关系？角和角呢？角和角呢？角和角呢？通过上述问题的讨论，容易得到：终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(2k)sin (kZ)，说明对于任意一个角，每增加2的整数倍，其正弦函数值不变。所以，正弦函数是随角的变化而周期性变化的，正弦函数是周期函数，2k（kZ，k0）为正弦函数的周期。2是正弦函数的正周期中最小的一个，称为最小正周期。一般地，对于周期函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数

13、就叫作f(x)的最小正周期。【巩固深化，发展思维】课本P17的思考与交流。课本P18的练习。3若点P(3，y)是终边上一点，且sin，求y值4若角的顶点为坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在函数y3x (x0)的图像上，则sin 。二、归纳整理，整体认识（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？三、课后反思第二课时 4.3正弦函数ysinx的图像一、教学思路 【创设情境，揭示课题】三角函数是一种重要的函数，从第一节我们就知道在实际生活中，有许多

14、地方用到三角函数。今天我们来学正弦函数ysinx的图像的做法。在前一节，我们知道正弦函数是一个周期函数，最小正周期是2，所以，关键就在于画出0，2上的正弦函数的图像。请同学们回忆初中作函数图像的方法是怎样的？作函数图像的三步骤：列表，描点，连线。【探究新知】 正弦函数线MP下面我们来探讨正弦函数的一种几何表示如右图所示，角的终边与单位圆交于点P（x，y），提出问题线段MP的长度可以用什么来表示?能用这个长度表示正弦函数的值吗?如果不能，你能否设计一种方法加以解决?引出有向线段的概念有向线段：当的终边不在坐标轴上时，可以把MP看作是带方向的线段，y0时，把MP看作与y轴同向(多媒体优势，利用计算

15、机演示角终边在一、二象限时MP从M到P点的运动过程让学生看清后定位，运动的方向表明与y轴同向)y0时，把MP看作与y轴反向(演示角终边在三、四象限时MP从M到P点的运动过程让学生看清后定位，运动的方向表明与y轴反向) 师生归纳：MP是带有方向的线段，这样的线段叫有向线段MP是从MP，而PM则是从PM。不论哪种情况，都有MPy依正弦定义，有sinMPy，我们把MP叫做的正弦线(投影仪出示反馈练习) 当为特殊角，即终边在坐标轴上时，找出其正弦线。演示运动过程，让学生清楚认识到：当终边在x轴上时，正弦线变为一个点，即 sin0。2作图的步骤边作边讲（几何画法）y=sinx x0,2作单位圆，把O十二

16、等分（当然分得越细，图像越精确）十二等分后得对应于0, , , ,2等角，并作出相应的正弦线，将x轴上从0到2一段分成12等份(26.28)，若变动比例，今后图像将相应“变形”取点，平移正弦线，使起点与轴上的点重合描图（连接）得y=sinx x0,2（6）由于终边相同的三角函数性质知 y=sinx x2k，2(k+1) （kZ，k0）与函数y=sinx x0,2图像相同，只是位置不同每次向左（右）平移2单位长。可以得到ysinx在R上的图像五点作图法：由上图我们不难发现，在函数y=sinx，x0,2的图像上，起着关键作用的有以下五个关键点： (0,0) (,1) (,0) (,-1) (2,0

17、)。描出这五个点后，函数y=sinx，x0,2的图像的形状就基本上确定了。因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就得到这个函数的简图。我们称这种画正弦曲线的方法为“五点法”。【巩固深化，发展思维】 1例题讲评 例1用“五点法”画出下列函数在区间0，2上的简图。 （1）ysinx （2）y1sinx 解：（1）列表x02ysinx01010 描点得ysinx 的图像：（略，见教材P22） 2学生练习 教材P22二、归纳整理，整体认识（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不

18、太明白的地方，请向老师提出。（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？三、布置作业作业：习题14第1,2题 四、课后反思 4.4 正弦函数的性质（2课时）教学目标：知识与技能（1）进一步熟悉单位圆中的正弦线；（2）理解正弦诱导公式的推导过程；（3）掌握正弦诱导公式的运用；（4）能了解诱导公式之间的关系，能相互推导；（5）理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、最大（小）值、单调性、奇偶性；（6）能熟练运用正弦函数的性质解题。过程与方法通过正弦线表示,2,从而体会各正弦线之间的关系；或从正弦函数的图像中找出,2，让学生从中发现正弦函数的诱导公式；通过正弦函数在R上的图像，让学生探索出正弦函

19、数的性质；讲解例题，总结方法，巩固练习。情感态度与价值观通过本节的学习，培养学生创新能力、探索归纳能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。 二、教学重、难点 重点: 正弦函数的诱导公式，正弦函数的性质。难点: 诱导公式的灵活运用，正弦函数的性质应用。三、学法与教学用具在上一节课的基础上，运用单位圆中正弦线或正弦函数图像中角的关系，引发学生探索出正弦函数的诱导公式；通过例题和练习掌握诱导公式在解题中的作用；在正弦函数的图像中，直观判断出正弦函数的性质，并能上升到理性认识；理解掌握正弦

20、函数的性质；以学生的自主学习和合作探究式学习为主。教学用具:投影机、三角板第一课时 正弦函数诱导公式一、教学思路 【创设情境，揭示课题】在上一节课中，我们已经学习了任意角的正弦函数定义，以及终边相同的角的正弦函数值也相等，即sin(2k)sin (kZ)，这一公式体现了求任意角的正弦函数值转化为求0360的角的正弦函数值。如果还能把0360间的角转化为锐角的正弦函数，那么任意角的正弦函数就可以查表求出。这就是我们这一节课要解决的问题。【探究新知】复习：（公式1）sin(360k+) = sin对于任一0到360的角，有四种可能（其中为不大于90的非负角） （以下设为任意角）公式2： 设的终边与

21、单位圆交于点P(x,y)，则180+终边与单位圆交于点P(-x,-y)，由正弦线可知： sin(180+) = sin4公式3： 如图：在单位圆中作出与角的终边，同样可得： sin() = sin, 公式4：由公式2和公式3可得：sin(180) = sin180+() = sin() = sin, 同理可得： sin(180) = sin, 6公式5：sin(360) = sin【巩固深化，发展思维】例题讲评求下列函数值（1）sin(1650)； （2）sin(15015)； (3)sin() 解：（1）sin(1650)sin1650sin(4360210)sin210 sin(18030

22、)sin30 (2) sin(15015)sin15015sin(1802945)sin29450.4962 (3) sin()sin(2)sin例2化简： 解：（略，见教材P24）学生练习教材P24练习1、2、3二、归纳整理，整体认识（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？三、课后反思第二课时 正弦函数的性质教学思路 【创设情境，揭示课题】同学们，我们在数学一中已经学过函数，并掌握了讨论一个函数性质的几个角度，你还记得有哪些吗？在上一次课中，

23、我们已经学习了正弦函数的ysinx在R上图像，下面请同学们根据图像一起讨论一下它具有哪些性质？【探究新知】让学生一边看投影，一边仔细观察正弦曲线的图像，并思考以下几个问题：正弦函数的定义域是什么？正弦函数的值域是什么？它的最值情况如何？它的正负值区间如何分？(x)0的解集是多少？师生一起归纳得出：定义域：y=sinx的定义域为R值域：引导回忆单位圆中的正弦函数线，结论：|sinx|1（有界性） 再看正弦函数线（图象）验证上述结论，所以ysinx的值域为-1，13最值：1对于ysinx 当且仅当x2k,kZ时 ymax1当且仅当时x2k, kZ时 ymin12当2kx(2k+1) (kZ)时 y

24、sinx0当(2k-1)x2k (kZ)时 ysinx04周期性：（观察图象） 1正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；2规律是：每隔2重复出现一次（或者说每隔2k,kZ重复出现）3这个规律由诱导公式sin(2kx)sinx也可以说明结论：ysinx的最小正周期为2 5.奇偶性 sin(x)sinx (xR) ysinx (xR)是奇函数 6单调性x0sinx10101增区间为2k，2k（kZ），其值从1增至1；减区间为2k，2k（kZ），其值从1减至1。【巩固深化，发展思维】例题讲评例1利用五点法画出函数ysinx1的简图，根据函数图像和解析式讨论它的性质。解：（略，见教材P26）2课堂练习

25、教材P27的练习1、2、3二、归纳整理，整体认识（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有哪些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？三、布置作业：习题14第3、4、5、6、7题 四、课后反思5 余弦函数（2课时）教学目标：知识与技能（1）了解任意角的余弦函数概念；（2）理解余弦函数的几何意义；（3）掌握余弦函数的诱导公式；（4）能利用五点作图法作出余弦函数在0，2上的图像；（5）熟练根据余弦函数的图像推导出余弦函数的性质；（6）能区别正、余弦函数之间的关系；（7）掌握利用数形结合思想分析问

26、题、解决问题的技能。过程与方法类比正弦函数的概念，引入余弦函数的概念；在正、余弦函数定义的基础上，将三角函数定义推广到更加一般的情况；让学生通过类比，联系正弦函数的诱导公式，自主探究出余弦函数的诱导公式；能学以致用，尝试用五点作图法作出余弦函数的图像，并能结合图像分析得到余弦函数的性质。情感态度与价值观使同学们对余弦函数的概念有更深的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。二、教学重、

27、难点 重点:余弦函数的概念和诱导公式，以及余弦函数的性质。难点: 余弦函数的诱导公式运用和性质应用。 三、学法与教学用具我们已经知道正弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正弦函数的概念作比较，得出余弦函数的概念；同样地，可以仿照正弦函数的诱导公式推出余弦函数的诱导公式。用五点作图的方法作出ycosx在0，2上的图像，并由图像直观得到其性质。教学用具:投影机、三角板第一课时 余弦函数的概念和诱导公式一、教学思路 【创设情境，揭示课题】在初中，我们不但学习了正弦函数，也学习了余弦函数，sin。同样地，当我们把角放在平面直角

28、坐标系中以后，就可以得到余弦函数的定义。下面请同学们类比正弦函数的定义，自主学习课本P30P31.【探究新知】1余弦函数的定义在直角坐标系中，设任意角与单位圆交于点P（a，b）, 那么点P的横坐标a叫做角余弦函数，记作：acos(R).通常我们用x，y分别表示自变量与因变量，将余弦函数表示为ycosx(xR). 如图，有向线段OM称为角的余弦线。其实，由相似三角形的知识，我们知道，只要已知角的终边上任意一点P的坐标（a，b），求出|OP|，记为r，则角的正弦和余弦分别为：sin，cos.在今后的解题中，我们可以直接运用这种方法，简化运算过程。2余弦函数的诱导公式从右图不难看出，角和角2，2，（

29、）的终边 与单位圆的交点的横坐标是相同的，所以，它们的余弦函数值相等；角和角，的终边与单位圆的交点的横坐标是相反数，所以，它们的余弦函数值互为相反数。由此归纳出公式： cos(2)cos cos() cos cos(2) cos cos() cos cos() cos 请同学们观察右图，角与角的正弦、余弦函数值有什么关系？由图可知，RtOMPRtOMP,点P的横坐标cos与点P的纵坐标sin()相等；点P的纵坐标sin与点P的横坐标cos()互为相反数。我们可以得到： sin()cos cos()sin问题与思考：验证公式 sin()cos cos()sin以上公式统称为诱导公式，其中可以是任意角。利用诱导公式，可以将任意角的正、余弦函数问题转化为锐角的正、余弦函数问题。【巩固深化，发展思维】例题讲评例1已