背包问题.docx

1、背包问题背包问题详解0/1背包问题： 在M件物品取出若干件放在空间为W的背包里，每件物品的重量为W1，W2Wn，与之相对应的价值为P1,P2Pn。求出获得最大价值的方案。注意：在本题中，所有的重量值均为整数。算法分析： 对于背包问题，通常的处理方法是搜索。 用递归来完成搜索，算法设计如下： function make( i 处理到第i件物品 , j剩余的空间为j:integer) :integer; 初始时i=m , j=背包总容量 begin if i:=0 then make:=0; if j=wi then (背包剩余空间可以放下物品 i ) r1:=make(i-1,j-wi)+vi;

2、 (第i件物品放入所能得到的价值 ) r2:=make(i-1,j) (第i件物品不放所能得到的价值 ) make:=maxr1,r2 end; 这个算法的时间复杂度是o(2n)，我们可以做一些简单的优化。 由于本题中的所有物品的重量均为整数，经过几次的选择后背包的剩余空间可能会相等，在搜索中会重复计算这些结点，所以，如果我们把搜索过程中计算过的结点的值记录下来，以保证不重复计算的话，速度就会提高很多。这是简单的以空间换时间。 我们发现，由于这些计算过程中会出现重叠的结点，符合动态规划中子问题重叠的性质。 同时，可以看出如果通过第n次选择得到的是一个最优解的话，那么第n-1次选择的结果一定也是

3、一个最优解。这符合动态规划中最优子问题的性质。 考虑用动态规划的方法来解决，这里的： 阶段是：在前n件物品中，选取若干件物品放入背包中； 状态是：在前n件物品中，选取若干件物品放入所剩空间为w的背包中的所能获得的最大价值； 决策是：第n件物品放或者不放； 由此可以写出动态转移方程： 我们用fi,j表示在前 i 件物品中选择若干件放在所剩空间为 j 的背包里所能获得的最大价值 fi,j=maxfi-1,j-wi+pi (j=wi), fi-1,j 这样，我们可以自底向上地得出在前m件物品中取出若干件放进背包能获得的最大价值，也就是fm,w 算法设计如下： procedure make; begi

4、n for i:=0 to w do f0,i:=0; for i:=1 to m do for j:=0 to w do begin fi,j:=fi-1,j; if (j=wi) and (fi-1,j-wi+vifi,j) then fi,j:=fi-1,j-wi+vi; end; writeln(fm,wt); end; 由于是用了一个二重循环，这个算法的时间复杂度是o（n*w)。而用搜索的时候，当出现最坏的情况，也就是所有的结点都没有重叠，那么它的时间复杂度是o（2n)。看上去前者要快很多。但是，可以发现在搜索中计算过的结点在动态规划中也全都要计算，而且这里算得更多（有一些在最后没有

5、派上用场的结点我们也必须计算），在这一点上好像是矛盾的。 事实上，由于我们定下的前提是：所有的结点都没有重叠。也就是说，任意n件物品的重量相加都不能相等，而所有物品的重量又都是整数，那末这个时候w的最小值是：1+2+22+23+2n-1=2n -1 此时n*w2n，动态规划比搜索还要慢|所以，其实背包的总容量w和重叠的结点的个数是有关的。 考虑能不能不计算那些多余的结点 那么换一种状态的表示方式： 状态是：在前n件物品中，选取若干件物品放入所占空间为w的背包中的所能获得的最大价值； 阶段和决策：同上； 状态转移方程是： fi,j=maxfi-1,j-wi+pi (j+wi=wi) and (f

6、i,ws=fi-1,ws-wi+vi) then begin 输出解； ws:=ws-wi; end; end; writeln; end; 用这两种算法的前提是我们必须存住 fi,j 这一整个二维数组，但是如果用循环数组的话怎样输出解呢？ 显然，我们只需要存住一个布尔型的二维数组，记录每件物品在不同的状态下放或者不放就可以了。这样一来数组所占的空间就会大大降低。 解题收获： 1）在动态程序设计中，状态的表示是相当重要的，选择正确的状态表示方法会直接影响程序的效率。 2）针对题目的不同特点应该选择不同的解题策略，往往能够达到事半功倍的效果。像本题就应该把握住所有的重量值均为整数这个特点。 -背

7、包问题全攻略背包问题全攻略部分背包问题可有贪心法求解：计算PiWi 数据结构： wi第i个背包的重量； pi第i个背包的价值；(1)每个背包只能使用一次或有限次(可转化为一次)： A.求最多可放入的重量。 NOIP2001 装箱问题 有一个箱子容量为v(正整数，ov20000)，同时有n个物品(on30)，每个物品有一个体积 (正整数)。 要求从 n 个物品中，任取若千个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。 l 搜索方法 procedure search(k,vinteger); 搜索第k个物品，剩余空间为v var i,jinteger; begin if v best then best=v

8、; if v-(sn-sk-1) =best then exit; sn为前n个物品的重量和 if k =n then begin if v wk then search(k+1,v-wk); search(k+1,v); end; end; l DP FI,j为前i个物品中选择若干个放入使其体积正好为j的标志，为布尔型。 实现将最优化问题转化为判定性问题 FI,j=fi-1,j-wi (wI =j =v) 边界：f0,0=true. For I=1 to n do For j=wI to v do FI,j=fI-1,j-wI; 优化：当前状态只与前一阶段状态有关，可降至一维。 F0=tru

9、e; For I=1 to n do begin F1=f; For j=wI to v do If fj-wI then f1j=true; F=f1; End; B.求可以放入的最大价值。 C.求恰好装满的情况数。 (2)每个背包可使用任意次： A.求最多可放入的重量。 状态转移方程为 fI,j=maxfi-wj B.求可以放入的最大价值。 USACO 1.2 Score Inflation 进行一次竞赛，总时间T固定，有若干种可选择的题目，每种题目可选入的数量不限，每种题目有一个ti（解答此题所需的时间）和一个si（解答此题所得的分数），现要选择若干题目，使解这些题的总时间在T以内的前提

10、下，所得的总分最大，求最大的得分。 易想到：fi,j = max f i- kwj, j-1 + kvj (0 =k = i div wj) 其中fi,j表示容量为i时取前j种背包所能达到的最大值。 优化： Begin FillChar(problem,SizeOf(problem),0); Assign(Input,inflate.in); Reset(Input); Readln(M,N); For i=1 To N Do With problemi Do Readln(point,time); Close(Input); FillChar(f,SizeOf(f),0); For i=1

11、To M Do For j=1 To N Do If i-problemj.time =0 Then Begin t=problemj.point+fi-problemj.time; If t fi Then fi=t; End; Assign(Output,inflate.out); Rewrite(Output); Writeln(fM); Close(Output); End. C.求恰好装满的情况数。 Ahoi2001 Problem2 求自然数n本质不同的质数和的表达式的数目。 思路一，生成每个质数的系数的排列，在一一测试，这是通法。 procedure try(depinteger

12、); var i,jinteger; begin cal; 此过程计算当前系数的计算结果，now为结果 if now n then exit; 剪枝 if dep=l+1 then begin 生成所有系数 cal; if now=n then inc(tot); exit; end; for i=0 to n div prdep do begin xsdep=i; try(dep+1); xsdep=0; end; end; 思路二，递归搜索效率较高 procedure try(dep,restinteger); var i,j,xinteger; begin if (rest =0) or

13、 (dep=l+1) then begin if rest=0 then inc(tot); exit; end; for i=0 to rest div prdep do try(dep+1,rest-prdepi); end; 思路三：可使用动态规划求解 USACO1.2 money system V个物品，背包容量为n，求放法总数。 转移方程： Procedure update; var j,kinteger; begin c=a; for j=0 to n do if aj 0 then for k=1 to n div now do if j+nowk =n then inc(cj+

14、nowk,aj); a=c; end; main begin read(now); 读入第一个物品的重量 i=0; ai为背包容量为i时的放法总数 while i =n do begin ai=1; inc(i,now); end; 定义第一个物品重的整数倍的重量a值为1，作为初值 for i=2 to v do begin read(now); update; 动态更新 end; writeln(an); End. 部分背包问题可有贪心法求解：计算Pi/Wi 数据结构： wi:第i个背包的重量； pi:第i个背包的价值； (1)每个背包只能使用一次或有限次(可转化为一次)： A.求最多可放入

15、的重量。 NOIP2001 装箱问题 有一个箱子容量为v(正整数，ov20000)，同时有n个物品(on30)， 每个物品有一个体积 (正整数)。 要求从 n 个物品中，任取若千个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。 l 搜索方法 procedure search(k,v:integer); 搜索第k个物品，剩余空间为v var i,j:integer; begin if v=best then exit; sn为前n个物品的重量和 if kwk then search(k+1,v-wk); search(k+1,v); end; end; l DP FI,j为前i个物品中选择若干个放入使其体积

16、正好为j的标志，为布尔型。 实现:将最优化问题转化为判定性问题 FI,j=fi-1,j-wi (wI =j =v) 边界：f0,0:=true. For I:=1 to n do For j:=wI to v do FI,j:=fI-1,j-wI; 优化：当前状态只与前一阶段状态有关，可降至一维。 F0:=true; For I:=1 to n do begin F1:=f; For j:=wI to v do If fj-wI then f1j:=true; F:=f1; End; B.求可以放入的最大价值。 C.求恰好装满的情况数。 (2)每个背包可使用任意次： A.求最多可放入的重量。

17、状态转移方程为 fI,j=maxfi-wj B.求可以放入的最大价值。 USACO 1.2 Score Inflation 进行一次竞赛，总时间T固定，有若干种可选择的题目，每种题目可选入的 数量不限，每种题目有一个ti（解答此题所需的时间）和一个si（解答此题所得 的分数），现要选择若干题目，使解这些题的总时间在T以内的前提下，所得的 总分最大，求最大的得分。 *易想到： fi,j = max f i- k*wj, j-1 + k*vj (0 =k=0 Then Begin t:=problemj.point+fi-problemj.time; If t fi Then fi:=t; End

18、; Assign(Output,inflate.out); Rewrite(Output); Writeln(fM); Close(Output); End. C.求恰好装满的情况数。 Ahoi2001 Problem2 求自然数n本质不同的质数和的表达式的数目。 思路一，生成每个质数的系数的排列，在一一测试，这是通法。 procedure try(dep:integer); var i,j:integer; begin cal; 此过程计算当前系数的计算结果，now为结果 if now n then exit; 剪枝 if dep=l+1 then begin 生成所有系数 cal; if

19、now=n then inc(tot); exit; end; for i:=0 to n div prdep do begin xsdep:=i; try(dep+1); xsdep:=0; end; end; 思路二，递归搜索效率较高 procedure try(dep,rest:integer); var i,j,x:integer; begin if (rest0 then for k:=1 to n div now do if j+now*k =n then inc(cj+now*k,aj); a:=c; end; main begin read(now); 读入第一个物品的重量 i:=0; ai为背包容量为i时的放法总数 while i =n do begin ai:=1; inc(i,now); end; 定义第一个物品重的整数倍的重量a值为1，作为初值 for i:=2 to v do begin read(now); update; 动态更新 end; writeln(an); End.