球与各种几何体切接问题专题.docx

1、球与各种几何体切接问题专题球与各种几何体切、接问题近几年全国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见。首先明确定义1:若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。定义2 :若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球 一、球与柱体的切接规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形 态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关 问题1、 球与正方体（1）正方体的内切球，如图 1. 位置关系

2、：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心 与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为 a，球的半径为r，这时有2r a.（2）正方体的棱切球，如图 2.位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球 心重合； 数据关系：设正方体的棱长为 a，球的半径为r,这时有2r /2a.91与球心重合;【解析】由题意可知球为正方体的尸面八4载面所得圜面的半径AA，DDi的中点，则直线EF被球0截得的线段长为(凹二f 二面山皿-直线FF杆虫得的线段為球的截面13的直径2Jt = V2-点评*本题肴查球与正方体血护的间题丹球的截面性质，转化成曲求球直径.2、球与长方体例2自半径为R的球面上一点 M，引球

3、的三条两两垂直的弦 MA,MB,MC，求MA2 MB2 MC2 的值.【解析】以AM MB. J/C为从一个顶点出发的三彌r将三棱镀SJ -ABC补应一个长方也 则另外四个 顶点在球面上，故长右体是琼的內接艮右库，刚按方陳的刘牟线農是球的直径.二、H -価 +J/CZ = (2A): = 4j?c3-/2冥丘x3十上冥上 臥 尺二二一二丽一丄3 3 3 ：占十3-.=4苗=4jt(6-2): =g(5-2/6X. /. J-：=-疫 二一双岳一以r 、 i r r厲 1点评：球心是决定球的位置羌键轧 本匝利用辣心到正三梗维四个面的距离相等且耦半径Jt来求出乩 以球心的位直特点来抓球闌基本鑿 趁

4、是解決球有关|刁题常用餉方法. 例9 (福建高考题)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 .3，则其外接球的表面积是 思路分析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法 三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，由侧棱长均相等，所以可构造正方体模型 【解崭蓝甬二解法，需要作出棱雜的高，然后臣设出球心利用直角三角形计算球的半径.而作为塡 空题我们更劉吏用鮫为便捷的方法I所囚三条狈悽两两垂直 使我们很快联想郢长有体的一个角I马上 构造长方解 且侧棱长均相芋 所以可枸造正方体理 如图h JIJAC

5、-BC=CD = 73*那么三棱锥的外 接球的直径即为正寿惟的体对角餵，故所求恙曲积是9,丁.(如图1)点评：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中计算问题，这 是解决几何体与球切接问题常用的方法.例10【2012年新课标高考卷】 已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球 O的球面上， ABC是边长为1的正三角形，SC是球O的直径，且SC 2 ;则此棱锥的体积为（ ）近 罷 丘 近A. B. C. 2 D. 26 6 3 2思路分析： ABC的外接圆是球面的一个小圆， 由已知可得其半径， 从而得到点O到面ABC的距离由SC为球O的直径 点S到面ABC的距离即可求得棱锥的体积

6、 .【解析】閑夕隈圆半径対r =、6点o到面挫匸的距孕亠JF二坐-比为球。的直径R p 3 jTE点S到瓯ME的距离2d=:r此棱锥的体积为药=1S远：X2T = 1 /匸亠6厂=2念- 平方整理再平方得11,亠6036=0解得勺或-6 （舎掉）.故答.11 11点评本题通过分析球心的位罠根据它们构成的几何体特征.转化戚平商几何中三角形边角关系，利用 方程思想得解.例12把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离.思路分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体

7、的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和 2.【解析】四球尤朝成棱长为2的正四面体的四个顶点贝怔四面体的高丹= 而第四吓球创最高点到第四个球的球心距离为求的半徨1，丘二个球心到桌面的距离都为L故第四牛球的 最高廉与桌面的距离为远.J直评：；$题难度不大，主寰是利用转化与rtia思想鬲棱椎高圧用球的几何性质计聲得到.四、球与几何体的各条棱相切问题球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解 如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：r a.4例13把一个皮球放入如图 10所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四

8、棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（ ）A. 10 3 cm B. 10 cmC. 10、2 cm D. 30cm思路分析：根据题意球心 O在图中AP上，过O作BP的垂线ON垂足为N, ON=R OM=R由各个棱都为 20,得到 AM=10 BP=20,BM=1Q AB=IOj2,设 BPA ，在 Rt BPM中，由BP2BM2PM2,得 PM10.3.在RtPAM中,由 PM 2 AM2 AP2,得PA10.2.在RtABP中得,sinAB10.2.2在 Rt ONP中得,BP202sinONR,从而R2OP,2R.在2 2 2Rt OAM中,由 OM AO AM

9、OPOPOP2建立方程R2 （10.2 、2R）2 100即可得解.【解析】如图所示，由题意球心在A?上球心为0,过0作芳的垂SON垂足为X, 0、吕 0M-R.因河各个棱郎次孤 所法.AM=15, 3?-2Cr;BM-ll, 105 =设一丹F显二 G，在AfA3?M中，孑戸二少J；+Rlf所以刃J二10J5 JS盘注？AXI中；FV；ddI；-P所以= 10疋,在说口 ASF 中，sincc = = 12?* . j 在RrUP 中.sinc? = = - .0rlzASP 20 2 OF OF所以少三J5乩在卅2oaxi中：0“飞用0+加&所1儿，m（ioJI-J5h）Too：解得，J!

10、 =10或刃（舍）所从 R =J0cr*选了p点评本題唯匱较大，主耍是刑用转化2化匸猩想,将间题转化成平面几何间题，应用三曲把中的边弟关 系，建立R的方程.五、 球与旋转体切接问题首先画出球及其它旋转体的公共轴截面，然后寻找几何体与几何体几何元素之间的关系.例14求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比.思路分析：首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系.【解析】如图，等边沁圆锥的轴载面，此截面截园柱得正方l&GCDDy载球面得球的丸圆圆0 设珈的半径OO-=R,则它的外切同柱的高2R,底酝丰径为卫OB 二 q0-gt3L 二石此 SO 二

11、OEF 时二母忑二 3民r; 】订=；二厲矽4二曲,点评；本题充分利申轴戡面，将向题转化成平面几何I句题，应用三角形中的迦角关系，建立与球半径R的 联系.例15在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切. (1)求两球半径之和；(2)球的半径为多少时，两球体积之和最小.思路分析：此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面，得如图的截面图，在图中，观察R与r和棱长间的关系即可.【解析】如罰 球心6和0在忧上，讨切 Q咎别作AD. SC的垂线交于EF.设两球体积之和竟F ,刚r二二卫卅-內=匚鼠一站芒

12、-Ry f r：）注兌兰F込- 飞 7 I T1一 = 心咔R寻:时，炜針当恥字时，栩之和有針值.点评：耳题充分和用雜旣面，将问题转ft吐平百几何间题，应用三角肠中的迫角关系，建立与球半径巴疋的 联爲 将球的怵积之和用F醯说表示，应用二姬甑舶團象和性质确定其最小值.本題综台性擾强，是画 数与立体几何相结合的典例.综合上面的五种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决 如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题解决这类问题的关键是 抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.发挥好空间想象力，借助于 数形结合进行转化，问题即可得解如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以 借助结论直接求解，此时结论的记忆必须准确高考题往往与三视图相结合，题目的难易不一, 在复习中切忌好高骛远，应重视各种题型的备考演练，重视高考信息的搜集，不断充实题目 的类型，升华解题的境界