完整版第34届全国中学生物理竞赛复赛试题doc.docx

1、完整版第34届全国中学生物理竞赛复赛试题doc第 34 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答2017 年 9 月 16 日一、（ 40 分）一个半径为 r 、质量为 m 的均质实心小圆柱被置于一个半径为 R 、质量为 M 的薄圆筒中， 圆筒和小圆柱的中心轴均水平，横截面如图所示。重力加速度大小为 g 。试在下述两种情形下，求小圆柱质心在其平衡位置附近做微振动的频率：（1）圆筒固定，小圆柱在圆筒内底部附近作无滑滚动；（2）圆筒可绕其固定的光滑中心细轴转动，小圆柱仍在圆筒内底部附近作无滑滚动。R1二、（ 40 分）星体 P（行星或彗星）绕太阳运动的轨迹为圆锥曲线rkP1cosC式中， r 是

2、P 到太阳 S 的距离，是矢径 SP 相对于极r轴 SA 的夹角（以逆时针方向为正） ，kL22 ,L 是BAGMmS10 11 m3kg 1s 2 为P 相对于太阳的角动量， G 6.67RE引 力 常 量 ， M 1.99 1030 kg为 太 阳 的 质 量 ，D2 EL2为偏心率， m 和 E 分别为 P 的质量12M2 3Gm和机械能。假设有一颗彗星绕太阳运动的轨道为抛物线，地球绕太阳运动的轨道可近似为圆，两轨道相交于C、 D 两点，如图所示。已知地球轨道半径RE 1.491011 m ，彗星轨道近日点A 到太阳的距离为地球轨道半径的三分之一，不考虑地球和彗星之间的相互影响。求彗星（

3、1）先后两次穿过地球轨道所用的时间；（2）经过 C、 D 两点时速度的大小。已知积分公式xdx23/21/2x axa2a x aC ，式中 C 是任意常数。32三、（ 40 分）一质量为 M 的载重卡车 A 的水平车板上载有一质量为 m 的重物 B，在水平直公路上以速度 v0 做匀速直线运动，重物与车厢前壁间的距离为 L （ L 0 ）。因发生紧急情况，卡车突然制动。已知卡车车轮与地面间的动摩擦因数和最大静摩擦因数均为B LA1 ，重物与车厢底板间的动摩擦因数和最大静摩擦因数均为 2 （ 2 1 ）。若重物与车厢前壁发生碰撞，则假定碰撞时间极短，碰后重物与车厢前壁不分开。重力加速度大小为 g

4、 。（1）若重物和车厢前壁不发生碰撞，求卡车从制动开始到卡车停止的过程所花的时间和走过的路程、重物从制动开始到重物停止的过程所花的时间和走过的路程，并导出重物 B 与车厢前壁不发生碰撞的条件；（2）若重物和车厢前壁发生碰撞，求卡车从制动开始到卡车和重物都停止的过程所经历的时间、卡车走过的路程、以及碰撞过程中重物对车厢前壁的冲量。3四、（ 40 分）如俯视图，在水平面内有两个分别以 O 点与 O1 点为圆心的导电半圆弧内切于 M 点，半圆 O 的半 P径为 2a ，半圆 O1 的半径为 a ；两个半圆弧和圆 O 的半 Q径ON 围成的区域内充满垂直于水平面向下的匀强磁场（未画出），磁感应强度大小

5、为 B ；其余区域没有磁场。M1ON半径 OP 为一均匀细金属棒，以恒定的角速度绕 OO点顺时针旋转， 旋转过程中金属棒OP 与两个半圆弧均接触良好。已知金属棒 OP 电阻为 R ，两个半圆弧的电阻可忽略。开始时P 点与 M 点重合。在 t （ 0 t）时刻，半径 OP 与半圆 O1 交于 Q 点。求（1）沿回路 QPMQ 的感应电动势；（2）金属棒 OP 所受到的原磁场 B 的作用力的大小。4五、（ 40 分）某种回旋加速器的设计方案如俯视图a 所示，图中粗黑线段为两个正对的极板，其间存在匀强电场， 两极板间电势差为U 。两个极板的板面中部各有一狭缝（沿 OP 方向的狭长区域），带电粒子可通

6、过狭缝穿越极板（见图 b）；两细虚线间 （除开两极板之间的区域）既无电场也无磁场；其它部分存在匀强磁场，磁感应强度方向垂直于纸面。在离子源S 中产生的质量为 m 、带电量为 q （ q0 ）的离子，由静止开始被电场加速，经狭缝中的O 点进入磁场区域， O 点到极板右端的距离为D ，到出射孔 P 的距离为 bD （常数 b 为大于 2 的自然数）。已知磁感应强度大小在零到Bmax 之间可调，离子从离子源上方的O 点射入磁场区域，最终只能从出射孔 P 射出。假设如果离子打到器壁或离子源外壁则即被吸收。忽略相对论效应。求（1）可能的磁感应强度 B 的最小值；（2）磁感应强度 B 的其它所有可能值；（

7、3）出射离子的能量最大值。DbDO DPS图 bS图a5六、（ 40 分） 1914 年，弗兰克 -赫兹用电子碰撞原子的方法使原子从低能级激发到高能级，从而证明了原子能级的存在。 加速电子碰撞自由的氢原子， 使某氢原子从基态激发到激发态。该氢原子仅能发出一条可见光波长范围（ 400nm : 760nm ）内的光谱线。仅考虑一维正碰。（1）求该氢原子能发出的可见光的波长；（2）求加速后电子动能 Ek 的范围；（3）如果将电子改为质子，求加速质子的加速电压的范围。已知 hc 1240nm eV ，其中 h 为普朗克常数， c 为真空中的光速； 质子质量近似为电子质量的 1836 倍，氢原子在碰撞前

8、的速度可忽略。6七、（40 分）如气体压强 -体积图所示， 摩尔数为 的双原子理想气体构成的系统经历一正循环过程（正循环指沿图中箭头所示的循环） ，其中自 A 到 B 为直线过程，自 B 到 A 为等温过程。双原子理想气体的定容摩尔热容为 5 R ， R 为气体常量。2（1）求直线 AB 过程中的最高温度；（2）求直线 AB 过程中气体的摩尔热容量随气体体积变化的关系式，说明气体在直线 AB过程各段体积范围内是吸热过程还是放热过程，确定吸热和放热过程发生转变时的温度 Tc ；（3）求整个直线 AB 过程中所吸收的净热量和一个正循环过程中气体对外所作的净功。PAP0P0 /2 BO0V0VV /

9、27八、（ 40 分）菲涅尔透镜又称同心圆阶梯透镜，它是由很多个同轴环带套在一起构成的，其迎光面是平面， 折射面除中心是一个球冠外， 其它环带分别是属于不同球面的球台侧面， 其纵剖面如右图所示。 这样的结构可以避免普通大口径球面透镜既厚又重的缺点。 菲涅尔透镜的设计主要是确定每个环带的齿形（即它所属球面的球半径和球心） ，各环带都是一个独立的（部分）球面透镜，它们的焦距不同，但必须保证具有共同的焦点（即图中 F 点）。已知透镜材料的折射率为 n ，从透镜中心 O（球冠的顶点）到焦点 F 的距离（焦距）为 f （平行于光轴的平行光都能经环带折射后会聚到 F 点），相邻环带的间距为 d （ d 很

10、小，可忽略同一带内的球面像差； d 又不是非常小，可忽略衍射效应） 。求（1）每个环带所属球面的球半径和球心到焦点的距离；（2）该透镜的有效半径的最大值和有效环带的条数。dddOFddd8第 34 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答2017 年 9 月 16 日一、（ 40 分）一个半径为 r 、质量为 m 的均质实心小圆柱被置于一个半径为 R 、质量为 M 的薄圆筒中， 圆筒和小圆柱的中心轴均水平， 横截面如图所示。重力加速度大小为 g 。试在下述两种情形下，求小圆柱质心在其平衡位置附近做微振动的频率：（1）圆筒固定，小圆柱在圆筒内底部附近作无滑滚动；（2）圆筒可绕其固定的光滑中心细轴

11、转动， 小圆柱仍在圆筒内底部附 R 近作无滑滚动。解：（1）如图， 为在某时刻小圆柱质心在其横截面上到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角。小圆柱受三个力作用： 重力，圆筒对小圆柱的支持力和静摩擦力。设圆筒对小圆柱的静摩擦力大小为 F ，方向沿两圆柱切点的切线方向（向右为正）。考虑小圆柱质心的运动，由质心运动定理得Fmgsinma式中， a 是小圆柱质心运动的加速度。由于小圆柱与圆筒间作无滑滚动，小圆柱绕其中心轴转过的角度1 （规定小圆柱在最低点时1 0 ） 与之 间 的 关 系 为Rr ( 1)由 式得， a 与的关系为ad 21( Rr )d 2r22Rdtdt考虑小圆柱绕其自身轴的转动，由转

12、动定理得1rF Id 212dt式中， I 是小圆柱绕其自身轴的转动惯量I1 mr2sin2由 式及小角近似得d 22 g0dt 23( Rr )由式知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为f1g 6(Rr )（2）用 F 表示小圆柱与圆筒之间的静摩擦力的大小，1 和2 分别为小圆柱与圆筒转过的角度（规定小圆柱相对于大圆筒向右运动为正方向，开始时小圆柱处于最低点位置1 2 0 ）。1 mr2d2对于小圆柱，由转动定理得Fr12dt 2对于圆筒，同理有FR( MR2)d 22dt2d 2d 2由 式得F21r12?mMdtR2dt2设在圆柱横截面上小圆柱质心到圆筒中心轴的垂

13、线与竖直方向的夹角，由于小圆柱与圆筒间做无滑滚动，有Rr (1)R 2?由?式 得d 2rd 21Rd 22?(R r ) 2dt22dtdt设小圆柱质心沿运动轨迹切线方向的加速度为a ，由质心运动定理得Fmg sinma?9由?式 得2ad?( R r )由?式及小角近似 sindt2，得d 22Mm g0?dt23Mm Rr由?式 可知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为f12Mmg?2 3Mm Rr评分参考 ：第（ 1）问 20分，式各3 分，式 2 分，式 3 分，式各2 分，式 3分，式2 分；第（ 2）问 20分， ? 式各 2分， ? 式 3 分， ?式各

14、 2 分， ? 式 3分， ? 式 2 分。二、（ 40 分）星体 P（行星或彗星）绕太阳运动的轨迹为圆锥曲线rk1cos式中， r 是 P 到太阳 S 的距离，是矢径 SP 相对于极轴 SA 的夹角（以逆时针方向为正），2kL,L 是 P 相对 于太 阳的角动 量， G6.671011 m3 kg 1s 2 为 引 力常 量，GMm 2M1.9930kg2EL2E10为太阳的质量，1为偏心率， m 和分别为 P 的质量和G2 M 2 m3机械能。假设有一颗彗星绕太阳运动的轨道为抛物线，地球绕太阳运动的轨道可近似为圆，两轨道相交于C、 D 两点，如图所示。已知地球轨道半径RE1.49 1011

15、 m ，彗星轨道近日点A 到太阳的距离为地球轨道半径的三分之一，不考虑地球和彗星之间的相互影响。求彗星（1）先后两次穿过地球轨道所用的时间；PC（2）经过 C、 D 两点时速度的大小。rxdx23/21/2已知积分公式x a2axAxa3aC ，式B中 C 是任意常数。SRE解：D（1）由题设，彗星的运动轨道为抛物线，故1,E0彗星绕太阳运动的轨道方程为：rk1 cos彗星绕太阳运动过程中，机械能守恒122LVrE0mr&222mr式中VrGMmr当彗星运动到近日点A 时，其径向速度为零，设其到太阳的距离为rmin ，由 式得L2VrminGMm2mrmin2rmin由 式和题给条件得L2rm

16、inRE2GMm 2310由 式得dr2GML2drdtr2 2或 dt2GML2m rr22m rt ，对 式两边积分，并利用设彗星由近日点A 运动到与地球轨道的交点C 所需的时间为式得tREdr1RErdrRErmin22GM2GM3RELrr2 23m r对 式应用题给积分公式得1t2GMRErdrRERE3r33/22RE R1/212RRERE2GM3E33E3103 RE3 227GM由对称性可知，彗星两次穿越地球轨道所用的时间间隔为203 R32T2tE27GM将题给数据代入 式得T6.40106s?（2）彗星在运动过程中机械能守恒1mv2GMmE 0?2r式中 v 是彗星离太阳

17、的距离为 r 时的运行速度的大小。由?式有v2GM?r当彗星经过 C、D 处时rC rD RE?由?式得，彗星经过C、 D 两点处的速度的大小为 vC2GM?vDRE由?式和题给数据得vCvD 4.224?10 m/s评分参考 ：第（ 1）问 28分，式 4分，式2 分，式4 分，式2 分，式4 分， ? 式各 2 分；第（ 2）问 12分， ? 式 4 分， ?式各 2 分。三、（ 40 分）一质量为M 的载重卡车 A 的水平车板上载有一质量为m 的重物 B，在水平直公路上以速度0做匀速直线运动， 重物与车厢前壁间的距离为L0 ）。因发生紧急情况，v（ L卡车突然制动。已知卡车车轮与地面间的

18、动摩擦因数和最大静摩擦因数均为1 ，重物与车厢底板间的动摩擦因数和最大静摩擦因数均为2 （ 21 ）。若重物与车厢前壁发生碰撞，则假定碰撞时间极短，碰后重物与车厢前壁不分开。重力加速度大小为g 。（1）若重物和车厢前壁不发生碰撞，求卡车从制动开始到卡车停止的过程所花的时间和走过的路程、重物从制动开始到重物停止的过程所花的时间和走过的路程，并导出重物B 与车厢前壁不发生碰撞的条件；（2）若重物和车厢前壁发生碰撞， 求卡车从制动开始到卡车BLA和重物都停止的过程所经历的时间、卡车走过的路程、以及碰撞过程中重物对车厢前壁的冲量。11解：（ 1）若重物和车厢前壁不发生碰撞。卡车在水平直公路上做匀减速运

19、动，设其加速度大小为 a1 。由牛顿第二定律有1( M m)g2mgMa1由式得a11 M( 12 )m gM由匀减速运动公式，卡车从制动开始到静止时所用的时间t1 和移动的距离s1 分别为M2M2t1 v0v0v01M( 1v0 ， s11M( 12 )m 2ga12 )m g2a1重物 B 在卡车 A 的车厢底板上做匀减速直线运动，设 B 相对于地面的加速度大小为 a2 。由牛顿第二定律有2 mgma2a22mg2 gm从卡车制动开始到重物对地面速度为零时所用的时间t2 和重物移动的距离s2 分别为t2 v0v0，v02v02s22 2 ga22g2a2由于 2 1 ，由二式比较可知， t2 t1 ，即卡车先停，重物后停。若 s2 s1 L ，重物 B 与车厢前壁不会发生碰撞，因此不发生碰撞的条件是22(2L s2s1v0v012 )( Mm) v02a22a12 1 M( 12 )m 2 g（2）由式知，当满足条件Ls2s1(12 )( Mm)v022 2 1M ( 1时，重物 B 与车厢前壁2 )m g必定发生碰撞。设从开始制动到发生碰撞时的时间间隔为t ，此时有几何条件s2 (t ) s1 ( t) L