数值分析上机实验报告总结归纳.docx

1、数值分析上机实验报告总结归纳实验报告一题目：非线性方程求解摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用 两种常见的求解方法二分法和 Newton法及改进的Newton法。前言：(目的和意义)掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。数学原理：对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程 f(x)，其在a,b上连续，f(a)f(b)0 , 且f(x)在a,b内仅有一个实根x*，取区间中点c,若，则c恰为其根，否则根据f(a)f(c)5e-6);c=(a+b)/2;if

2、 f12(a)*f12(c)0;a=c;elseb=c;endR=b-a;%求出误差k=k+1;endx=c%给出解Newton法及改进的Newton法源程序：clear% 输入函数f=input(请输入需要求解函数,s)%求解f(x)的导数 df=diff(f);%改进常数或重根数miu=2;%初始值x0xO=in put( in put in itial value xO);k=0;%迭代次数max=100;%最大迭代次数R=eval(subs(f,xO,x);%求解f(xO)，以确定初值xO时否就是解 while (abs(R)1e-8)x1=xO-miu*eval(subs(f,xO,

3、x)/eval(subs(df,xO,x);R=x1-x0;x0=x1;k=k+1;if (eval(subs(f,xO,x)max;%如果迭代次数大于给定值，认为迭代不收敛，重新输入初值 ss=in put(maybe result is error,choose a new xO, y/n? ,s);if strcmp(ss,y)xO=in put( in put in itial value x0);k=0;elsebreakendendendk;%给出迭代次数 x=xO ； %给出解 结果分析和讨论：X21.用二分法计算方程sinx 2 0在1，2内的根。(5* 10 6,下同)计算结

4、果为x=；f(x)=；k=18;由f(x)知结果满足要求，但迭代次数比较多，方法收敛速度比较慢。2.用二分法计算方程x3 x 1 0在1，内的根。计算结果为x=；f(x)=；k=17；由f(x)知结果满足要求，但迭代次数还是比较多。3.用Newton法求解下列方程a)xex 1 0 xo=;计算结果为x=;f(x)=； k=4;由f(x)知结果满足要求，而且又迭代次数只有 4次看出收敛速度很快。3b)x x 1 0 xo=1 ；2c)(x 1) (2x 1) 0 xo=, xo=；当灭0=时，计算结果为x=；f(x)=； k=4 ；由f(x)知结果满足要求，而且又迭代次数只有 4次看出收敛速度

5、很快，实际上该方程确实有真 解x=。当灭0=时，计算结果为x=；f(x)=0 ； k=9 ；由f(x)知结果满足要求，实际上该方程确实有真解x=，但迭代次数增多，实际上当取X0时， x 1就变成了方程的另一个解，这说明 Newt on法收敛与初值很有关系，有的时候甚至可能不收敛。4.用改进的Newton法求解，有2重根，取 22(x 1) (2x 1) 0 X0=；并与3.中的c)比较结果。当X0=时，程序死循环，无法计算，也就是说不收敛。改 1.5时，结果收敛为x=；f(x)=； k=16;显然这个结果不是很好，而且也不是收敛至方程的 2重根上。当X0=时，结果收敛为x=；f(x)=； k=

6、4；这次达到了预期的结果，这说明初值的选取很重要，直接关系到方法的收敛性，实际上直接用 Newton法，在给定同样的条件和精度要求下， 可得其迭代次数k=15，这说明改进后的Newton法法速度确实比较快。结论：对于二分法，只要能够保证在给定的区间内有根， 使能够收敛的，当时收敛的速度和给定的区间有关，二且总体上来说速度比较慢。 Newt on法，收敛速度要比二分法快，但是最终其收敛的结果与初值的选取有关， 初值不同，收敛的结果也可能不一样，也就是结果可能不时预期需要得结果。改进的Newton法求解重根问题时，如果初值不当，可能会不收敛，这一点非 常重要，当然初值合适，相同情况下其速度要比 N

7、ewton法快得多。实验报告二题目：Gauss列主元消去法摘要：求解线性方程组的方法很多，主要分为直接法和间接法。本实验运用直接法的 Guass消去法,并采用选主元的方法对方程组进行求解。前言：(目的和意义)1.学习Gauss消去法的原理。2.了解列主元的意义。3.确定什么时候系数阵要选主元数学原理：由于一般线性方程在使用 Gauss消去法求解时，从求解的过程中可以看到，若 akk1)=O,则必须进行行交换，才能使消去过程进行下去。有的时候即使akk 1) 0,但是其绝对值非常小， 由于机器舍入误差的影响，消去过程也会出现不稳定得现象，导致结果不正确。因此有必要进 行列主元技术，以最大可能的消

8、除这种现象。这一技术要寻找行 r，使得并将第r行和第k行的元素进行交换，以使得当前的akk 1)的数值比0要大的多。这种列主元的 消去法的主要步骤如下：1.消元过程对k=1,2,n-1,进行如下步骤。1)选主元，记若|ark |很小，这说明方程的系数矩阵严重病态，给出警告，提示结果可能不对。2)交换增广阵A的r，k两行的元素。arj akj (j=k，,n +1)3)计算消元aj a0 aikaq/akk (i=k+1,n;j=k+1, ,n+1)2.回代过程对k= n, n-1,1,进行如下计算至此，完成了整个方程组的求解。 程序设计：本实验采用Matlab的M文件编写。Gauss消去法源程

9、序：cleara=i nput(输入系数阵：n)b=input(输入列阵 b： n)n=len gth(b);A=a bx=zeros( n,1);%函数主体for k=1: n-1;%是否进行主兀选取if abs(A(k,k)vyipusilong; %事先给定的认为有必要选主元的小数 yzhuyuan=1;else yzhuyua n=0;endif yzhuyua n;%选主元t=A (k, k); for r=k+1: n;if abs(A(r,k)abs(t)p=r;else p=k;endend%交换元素if p=k;for q=k:n+1;s=A(k,q);A(k, q)=A(p

10、,q); A(p,q)=s;endendend%判断系数矩阵是否奇异或病态非常严重if abs(A(k,k) yipusil ongdisp(矩阵奇异，解可能不正确)end%计算消元，得三角阵for r=k+1: n;m=A(r,k)/A (k,k);for q=k:n+1;A(r,q)=A(r,q)-A(k,q)*m;endendend%求解xx( n)=A (n,n+1)/A( n,n);for k=n-1:-1:1;s=0;for r=k+1: n; s=s+A(k,r)*x(r);endt=(A (k,n+1)-s)x(k)=(A(k,n+1) -s)/A(k,k)end结果分析和讨论

11、：2 6 x例：求解方程5 7 5 y3 2 1 z2234。其中为一小数，当105 10 14 2010 ,10 ,10 ,10 时，分别采用列主元和不列主元的 Gauss消去法求解，并比较结果。 记Emax为求出的解代入方程后的最大误差，按要求，计算结果如下:当 10 5时，不选主元和选主元的计算结果如下，其中前一列为不选主元结果，后一列 为选主元结果，下同。Emax=， 0此时，由于 不是很小，机器误差就不是很大，由 Emax可以看出不选主元的计算结果精度 还可以，因此此时可以考虑不选主元以减少计算量。当 10 10时，不选主元和选主元的计算结果如下Emax=， 0此时由Emax可以看出

12、不选主元的计算精度就不好了，误差开始增大。当 10 14时，不选主元和选主元的计算结果如下0000000Emax=， 0此时由Emax可以看出，不选主元的结果应该可以说是不正确了， 这是由机器误差引起的。当 10 20时，不选主元和选主元的计算结果如下NaN 1NaN 2NaN 3Emax= NaN, 0不选主元时，程序报错：Warning: Divide by zero.。这是因为机器计算的最小精度为 10-15， 所以此时的 10 20就认为是0,故出现了错误现象。而选主元时则没有这种现象，而且由Emax可以看出选主元时的结果应该是精确解。结论：采用Gauss消去法时，如果在消元时对角线上

13、的元素始终较大（假如大于 10-5），那么本方法不需要进行列主元计算，计算结果一般就可以达到要求，否则必须进行列主元这一步， 以 减少机器误差带来的影响，使方法得出的结果正确。实验报告三题目：Rung现象产生和克服摘要：由于高次多项式插值不收敛，会产生Runge现象，本实验在给出具体的实例后，采用分 段线性插值和三次样条插值的方法有效的克服了这一现象，而且还取的很好的插值效果。前言：(目的和意义)1.深刻认识多项式插值的缺点。2.明确插值的不收敛性怎样克服。3.明确精度与节点和插值方法的关系。数学原理：在给定n+1个节点和相应的函数值以后构造 n次的Lagrange插值多项式，实验结果表明(见

14、后面的图)这种多项式并不是随着次数的升高对函数的逼近越来越好， 这种现象就是Rung现象。解决Rung现象的方法通常有分段线性插值、三次样条插值等方法。分段线性插值：设在区间a, b上，给定n+1个插值节点a=xoxi Xn=b和相应的函数值yo，yi， -，yn,，求作一个插值函数(x)，具有如下性质：1)区)Yj，j=0，1，n。2)(x)在每个区间xi,刈上是线性连续函数。则插值函数 (x)称为区间a, b上对应n个数据点的分段线性插值函数。三次样条插值：给定区间a, b一个分划/: a=X0X1 XN=b若函数S(x)满足下列条件：1)S(x)在每个区间Xi, xj上是不高于3次的多项

15、式。2)S(x)及其2阶导数在a, b上连续。则称S(x)使关于分划/的三次样条函数。 程序设计：本实验采用Matlab的M文件编写。其中待插值的方程写成 function的方式，如下fun cti on y=f(x);y=1/ (1+25*x*x );写成如上形式即可，下面给出主程序Lagrange插值源程序：n=i nput(将区间分为的等份数输入：n);s=-1+2/n*0:n; %给定的定点，Rf为给定的函数 x=-1:1;f=0;for q=1: n+1;l=1;%求插值基函数for k=1: n+1;if k=q;l=l.*(x -s(k)./(s(q)-s(k);else1=1；

16、endend f=f+Rf(s(q)*l; %求插值函数 endplot(x,f,r) %作出插值函数曲线 grid onhold on分段线性插值源程序clearn=i nput(将区间分为的等份数输入：n); s=-1+2/n*0:n; %给定的定点，Rf为给定的函数 m=0;hh=;for x=-1:hh:1;ff=0;for k=1:n+1; %求插值基函数switch kcase 1if xs( n);l=(x -s( n)./(s( n+1)-s( n);elsel=0;endotherwiseif x=s(k-1) &x=s(k )& x=s(k+1);l=(x-s(k+1)./

17、(s(k)-s(k+1);elsel=0;endendendff=ff+Rf(s(k)*l; %求插值函数值endm=m+1; f(m)=ff;end%作出曲线x=-1:hh:1;plot(x,f,r);grid onhold on三次样条插值源程序：(采用第一边界条件)clearn=i nput(将区间分为的等份数输入：n);%插值区间a=-1;b=1;hh=;%画图的步长s=a+(b -a)/n*0:n; %给定的定点，Rf为给定的函数 %第一边界条件 Rf(-1),Rf(1) v=5000*1/(1+25*a*a)A3 -50/(1+25*a*a)A4;for k=1: n;%取出节点间

18、距h(k)=s(k+1)-s(k);endfor k=1:n-1;%求出系数向量 lamuda,miu la(k)=h(k+1)/(h(k+1)+h(k);miu(k)=1 -la(k);end%赋值系数矩阵Afor k=1: n-1;for p=1: n-1;switch pcase kA(k,p)=2;case k1A(k,p)=miu(p+1);case k+1A(k,p)=la(p-1);otherwiseA(k,p)=0;endendend%求出d阵for k=1: n-1;switch kcase 1d(k)=6*f2c(s(k) s(k+1) s(k+2) -miu(k)*v;c

19、ase n1d(k)=6*f2c(s(k) s(k+1) s(k+2) -la(k)*v; otherwised(k)=6*f2c(s(k) s(k+1) s(k+2);endend%求解M阵M=Ad;M=v;M;v;%m=0;f=0;for x=a:hh:b;if x=a;p=1;elsep=ceil(x-s(1)/(b-a)/n);endff仁0;ff2=0;ff3=0;ff4=0;m=m+1;ff1=1/h(p)*(s(p+1) -x)A3*M(p)/6;ff2=1/h(p)*(x -s(p)A3*M(p+1)/6; ff3=(Rf(s(p+1) -Rf(s(p)/h(p)-h(p)*(

20、M(p+1) -M(p)/6)*(x -s(p); ff4=Rf(s(p)-M(p)*h(p)*h(p)/6;f(m)=ff1+ff2+ff3+ff4 ;end%作出插值图形x=a:hh:b;plot(x,f,k)hold ongrid on结果分析和讨论：本实验采用函数f (x) 1一2进行数值插值，插值区间为卜1, 1，给定节点为1 25xXj=-1+jh,h= , j=0,，n。下面分别给出Lagrange插值，三次样条插值，线性插值的函数曲线 和数据表。图中只标出Lagrange插值的十次多项式的曲线，其它曲线没有标出，从数据表中 可以看出具体的误差。表中，Li0(x)为Lagrang

21、e插值的10次多项式，Sw(x), S40(x)分别代表n=10, 40的三次样条插 值函数，X10(x)，X40(x)分别代表n =10, 40的线性分段插值函数。x f(x) L10(x) Sl0(x) S40(x) X10(x) X40(x)0从以上结果可以看到，用三次样条插值和线性分段插值，不会出现多项式插值是出现的 Runge现象，插值效果明显提高。进一步说，为了提高插值精度，用三次样条插值和线性分段 插值是可以增加插值节点的办法来满足要求， 而用多项式插值函数时，节点数的增加必然会使多项式的次数增加，这样会引起数值不稳定，所以说这两种插值要比多项式插值好的多。 而且在给定节点数的条

22、件下，三次样条插值的精度要优于线性分段插值，曲线的光滑性也要好一些。实验报告四题目：多项式最小二乘法摘要：对于具体实验时，通常不是先给出函数的解析式，再进行实验，而是通过实验的观察和 测量给出离散的一些点，再来求出具体的函数解析式。又因为测量误差的存在， 实际真实的解析式曲线并不一定通过测量给出的所有点。 最小二乘法是求解这一问题的很好的方法， 本实验运用这一方法实现对给定数据的拟合。前言：(目的和意义)1.学习使用最小二成法的原理2.了解法方程的特性 数学原理：对于给定的测量数据(xi,fi)(i=1,2,，n)，设函数分布为特别的，取j(x)为多项式j (x) xj (j=0,1,，m)则

23、根据最小二乘法原理，可以构造泛函 令H0 (k=0, 1,，m)ak则可以得到法方程求该解方程组，则可以得到解ao,a!, ,am，因此可得到数据的最小二乘解程序设计：本实验采用Matlab的M文件编写。其中多项式函数 j xj写成function的方式，如下fun cti on y=fai(x,j)y=1;for i=1:jy=x.*y;end写成如上形式即可，下面给出主程序。多项式最小二乘法源程序clear%给定测量数据点(s,f) s=3 4 5 6 7 8 9;f= ；%计算给定的数据点的数目n=len gth(f);%给定需要拟合的数据的最高次多项式的次数m=10;%程序主体for

24、k=0:m;g=zeros(1,m+1);for j=0:m;t=0;for i=1:n; %计算内积(fai(si),fai(si) t=t+fai(s(i),j)*fai(s(i),k);end g(j+1)=t;endA(k+1,:)=g; %法方程的系数矩阵t=0;for i=1:n; %计算内积(f(si),fai(si)t=t+f(i)*fai(s(i),k);endb(k+1,1)=t;enda=Ab%求出多项式系数x=s(1):s( n);y=0;for i=0:m;y=y+a(i+1)*fai(x,i);endplot(x,y)%作出拟合成的多项式的曲线grid on hol

25、d onplot(s,f,rx) %在上图中标记给定的点结果分析和讨论：例 用最小二乘法处理下面的实验数据.Xi3456789fi并作出f (x)的近似分布图。分别采用一次，二次和五次多项式来拟合数据得到相应的拟合多项式为：y1=+ ；y2=+ ；y5=+ ；分别作出它们的曲线图，图中点划线为 y1曲线，实线为y2曲线，虚线为y5曲线。x为给定 的数据点。从图中可以看出并不是多项式次数越高越好，次数高了，曲线越能给定点处和实际 吻合，但别的地方就很差了。因此，本例选用一次和两次的多项式拟合应该就可以了。实验报告五题目： Romberg积分法摘要：对于实际的工程积分问题，很难应用NewtoeLe

26、ibnitz公式去求解。因此应用数值方法进 行求解积分问题已经有着很广泛的应用，本文基于 Romberg积分法来解决一类积分问题。前言：(目的和意义)1.理解和掌握Romberg积分法的原理；2.学会使用Romberg积分法；3.明确Romberg积分法的收敛速度及应用时容易出现的问题。 数学原理：b考虑积分1(f) f(x)dx，欲求其近似值，通常有复化的梯形公式、Simpsion公式和Cotesa公式。但是给定一个精度，这些公式达到要求的速度很缓慢。如何提高收敛速度，自然是人们 极为关心的课题。为此，记 T1,k为将区间a,b进行2k等分的复化的梯形公式计算结果，记 T2,k为将区间a,b

27、进行2k等分的复化的Simpsion公式计算结果，记T3,k为将区间a,b进行2k等分 的复化的Cotes公式计算结果。根据 Richards on外推加速方法，可以得到收敛速度较快的Romberg积分法。其具体的计算公式为：1.准备初值，计算2.按梯形公式的递推关系，计算3.按Romberg积分公式计算加速值m 1T m,km=2,，k4 Tm 1,k 1 m Tm 1,k m4.精度控制。对给定的精度R，若则终止计算，并取Tm,1为所求结果；否则返回2重复计算，直至满足要求的精度为止 程序设计：本实验采用Matlab的M文件编写。其中待积分的函数写成 function的方式，例如如下fun cti on yy=f(x,y);yy=x.A3;写成如上形式即可，下面给出主程序Romberg积分法源程序 % Romberg 积分法 clear%积分区间b=3;a=1;%精度要求R=1e-5;