第六讲周期性与指数函数.docx

1、第六讲周期性与指数函数第六讲：函数的周期性与二次函数一知识点梳理1.周期性: 周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得对定义 域内的任意x,都有,那么就称函数y=f(x)为周期函数, 称T为这个函数的周期. 最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的 正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 2.周期性函数的性质: 函数周期性常用结论: 对f(x)定义域内任一自变量的值x: 1 若，则T=2a(a0);若,则T=2a(a0).若，则，其中a0,b0且3. 二次函数的三种表示(1) 一般式:y=ax2+bx+c(a0); (2) 两点式:y=a(x

2、-x1)(x-x2)(a0);(3) 顶点式: y=a(x-x0)2+n(a0).4. 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象形状主要由对称轴、顶点坐标、开口方向、与坐标轴的交点、区间端点值等是处理二次函数问题的重要依据.5. 一元二次方程的根的分布问题二次函数对应的一元二次方程的实根的分布问题是一个比较复杂的问题,给定一元二次方程f(x)=ax2+bx+c=0(a0).(1) 若f(x)=0在(m,n)(mn)内有且只有一个实数解,则需满足f(m)f(n)0,或f(m)=0,另一根在(m,n)内,或f(n)=0,另一根在(m,n)内.(2) 若f(x)=0在(m,n)(mn)内有两

3、个实数解,则需满足(3) 设x1,x2为方程f(x)=0的两个实根:若x1mx2,则f(m)0;若mx1npx2q,则需满足(4) 若方程f(x)=0的两根中一根小于m,另一根大于n(mn),则需满足(5) 若二次方程f(x)=0的两根都大于r,则需满足二考点突破1.函数周期性及其应用 例1：(1)函数f(x)的定义域为R,且满足f(x) 是偶函数,f(1-x)=f(1+x),若f(0.5)=9,则f(8.5)= (2)(2014四川高考)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x-1,1)时,则 . 总结：函数周期性的判定与应用 (1)判定:只需证明f(x+T)=f(x)(T0)便可证明函

4、数是周期函数,且周期为T. (2)应用:根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,在解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(kZ且k0)也是函数的周期. 变式练习：1.函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则( ) A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函数 2.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且满足 f(x+2)=f(x),若当x0,1)时, ,则的值为 3.已知f(x)是定义在R上的偶函数,并 且,当2x3时,f(x)=x,则f(105.5)= .4.定义在R上的函数f(x

5、)满足f(x+6)=f(x),当-3x-1时,f(x)=-(x +2)2;当-1x-2x的解集为(1,3),且方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根,求二次函数f(x)的解析式.总结：二次函数、一元二次不等式和一元二次方程之间具有非常密切的关系.一元二次不等式的解集的端点就是其对应的一元二次方程的根,也就是二次函数与x轴的交点.因而在解题时要充分利用它们之间的关系.变式练习：1. 已知某二次函数图象的顶点是(1,-3),且过点P(2,0),那么此函数的解析式是 .2.已知二次函数f(x)=x2-2bx+a,满足f(x)=f(2-x),且方程f(x)-=0有两个相等的实数根,求函数f(x)的解

6、析式.3. 已知函数f(x)=ax2+bx+c(a0)满足f(0)=-1,对任意的xR都有f(x)x-1,且f=f,求函数f(x)的解析式.3.二次函数的图象和性质例3：已知aR,函数f(x)=x2-2ax+5.(1)求函数在上的值域；(2)若不等式f(x)0对任意的x(0,+)恒成立,求实数a的取值范围;（3）若a1,且函数f(x)的定义域和值域均为1,a,求实数a的值.变式练习：1. 已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a0)在0,3上有最大值4和最小值1,求a,b的值.2. 已知函数在的最小值为，求的表达式4.一元二次方程实根的分布问题例4：已知函数f(x)=x2-(2a-1)x+

7、a2-2与x轴非负半轴至少有一个交点,求实数a的取值范围.变式练习：若关于x的方程x2+2kx-1=0的两根x1,x2满足-1x10x22,求k的取值范围.当堂检测1.已知函数f(x)=x2-2ax+2a+4的值域为1,+),那么实数a的值为 .2.若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根,则实数m的取值范围是 .3.设函数f(x)= 若f(-4)=f(0),f(-2)=0,则关于x的不等式f(x)1的解集为 .4. 已知函数f(x)=2x2-mx+3,当x(-,-1)时,它是单调减函数;当x(-1,+)时,它是单调增函数,那么实数m= .5. 函数f(x)=2x2-6x+1在区

8、间-1,1上的最小值为 ,最大值为 .6.已知不等式ax2-bx-10的解集是2,3,那么不等式x2-bx-a0,bR,cR),若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,F(x)= 则F(3)+F(-4)的值为 .8.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)f(x)=1对于xR恒成立,且 f(x)0,则f(119)= . 9.若函数f(x)=-x2+2(a-1)x+2在(-,4)上是增函数,则实数a的取值范围是 .10.已知定义域为R的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x),且当x(0,1时,f(x)=x2-x,那么当x-2,-1时,f(x)的最小值为 .二、解答题11.已知函数f

9、(x)=x2+2x,x-2,a,求f(x)的值域.12. 已知函数f(x)=2x2-2ax+3在-1,1上有最小值,记作g(a).(1) 求g(a)的表达式 (2) 求g(a)的最大值.13. (2014廉江模拟)已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a0)满足条件f(x+1)=f(1-x),且方程f(x)=2x有等根.(1) 求f(x)的解析式.(2) 是否存在实数m,n(mn),使f(x)的定义域和值域分别为m,n和4m,4n?如果存在,求出m,n的值;如果不存在,请说明理由.参考答案1. 22. -1173. f(x)=-3x2+12x-74. 6 5. 2 6. 77.

10、5,+)8. - 9. 当-2a-1时, f(x)的值域为a2+2a,0;当-10时, f(x)的值域为-1,a2+2a.10.（1） g(a)=(2) 当a-2时,g(a)1;当-2a2时,g(a)(1,3;当a2时,g(a)1.故g(a)的最大值为3. 11. (1) f(x)=-x2+2x.(2) 因为f(x)=-(x-1)2+11,所以4n1,即n.而抛物线y=-x2+2x的对称轴方程为x=1,所以当n时,f(x)在m,n上为增函数.若满足题设条件的m,n存在,则即即m,n是方程x2+2x=0的两根,又mn,所以m=-2,n=0,这时,定义域为-2,0,值域为-8,0.综上,满足条件的m,n存在,且m=-2,n=0.