六年级奥数牛吃草问题教师讲义汇总.docx

1、六年级奥数牛吃草问题教师讲义汇总第八讲牛吃草问题牛吃草问题概念及公式牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，牛吃草问题的历史起源是17世纪英国伟大的科学家牛顿16421727)提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是五大基本公式:1) 设定一头牛一天吃草量为“1”2）草的生长速度草量差时间差；3）原有草量牛头数吃的天数草的生长速度吃的天数；4）吃的天数原有草量（牛头数草的生长速度）；5)牛

2、头数原有草量吃的天数草的生长速度。这五个公式是解决牛吃草问题的基础。首先一般假设每头牛每天吃草量不变，设为1，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。牛吃草问题是经典的奥数题型之一，这里我先介绍一些比较浅显的牛吃草问题，后面给大家开拓一下思维，首先，先介绍一下这类问题的背景，大家看知识要点求天数 例1、牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。问：这片牧草可供25头牛吃多少天？ 解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的生长量：（200-150）（20-10）=5份10

3、20=200份=原草量+20天的生长量 原草量：200-205=100份 或1510=150份=原草量+10天的生长量 原草量：150-105=100份 100（25-5）=5天答：这片牧草可供25头牛吃5天？ 练习1（求时间）11.一块牧场长满了草，每天均匀生长。这块牧场的草可供10头牛吃40天，供15头牛吃20天。可供25头牛吃天。 （ ）A. 10 B. 5 C. 20答案：A 假设1头牛1天吃草的量为1份。每天新生的草量为：(1040-1520)（40-20）=5（份）。那么愿草量为：1040-405=200（份），安排5头牛专门吃每天新长出来的草，这块牧场可供25头牛吃：200（25

4、-5）=10（天）。2 一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，已知牛27头，6天把草吃尽，同样一片牧场，23头牛9天把草吃尽。如果有牛21头，几天能把草吃尽？3有一片草地，草每天生长的速度相同。这片草地可供5头牛吃40天，或6供头牛吃30天。如果4头牛吃了30天后，又增加2头牛一起吃，这片草地还可以再吃几天？4牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天，如果要供18头牛吃，可吃几天？5由于天气逐渐寒冷，牧场上的牧草每天以均匀的速度减少，经测算，牧场上的草可供30头牛吃8天，可供25头牛吃9天，那么可供21头牛吃几天？ 6 由于天气逐渐冷

5、起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少，如果某块草地上的草可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供10头牛吃多少天？7一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天，那么可供18头牛吃几天？8有一块牧场，可供10头牛吃20天；15头牛吃10天；则它可供25头牛吃多少天 ？9牧场上长满牧草，每天匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。可供25头牛吃几天？ 10.有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供25头牛吃多少天？ A.3 B.4 C.5 D.6 【牛老师答案】C 【牛老师解析】设该牧场每天长草量恰可供X

6、头牛吃一天，这片草场可供25头牛吃Y天 根据核心公式 代入 (200-150)/(20-10)=5 10*20-5*20=100 100/(25-5)=5(天） 【牛老师例5】A.16 B.20 C.24 D.28 【牛老师答案】C 林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果有33只猴子一起吃，则需要几周吃光？（假定野果生长的速度不变）A.2周 B.3周 C.4周 D.5周 【牛老师答案】C 一片牧草，每天生长的速度相同现在这片牧草可供20头牛吃12天，或可供60只羊吃24天如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12头牛与88只羊一起吃可以吃多少

7、天？8有一片草地，每天都在匀速生长，这片草可供16头牛吃20天，可供80只羊吃12天。如果一头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？8天 （1）按牛的吃草量来计算，80只羊相当于804=20（头）牛。（2）设1头牛1天的吃草量为1份。（3）先求出这片草地每天新生长的草量：（1620-2012）（20-12）=10（份）（4）再求出草地上原有的草量：1620-1020120（份）（5）最后求出10头牛与60只羊一起吃的天数：120（10+604-10）=8（天）1、牧场上有一片牧草，可供27头牛吃6周，或者供23头牛吃9周。如果牧草每周匀速生长，可供21头牛吃几

8、周？求牛的数量例2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？ 解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的减少量：（100-90）（6-5）=10份205=100份原草量-5天的减少量 原草量：100+510=150 或156=90 份原草量-6天的减少量 原草量：90+610=150份（150-1010）10=5头 答：可供5头牛吃10天？ 总结：想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，但是因为是匀速生长，所以每天新长出的草量也是不变的。正确

9、计算草地上原有的草及每天新长出的草，问题就会迎刃而解。练习2（求牛数）1) 有一片草地，可供8只羊吃20天，或供14只羊吃10天假设草的每天生长速度不变现有羊若干只，吃了4天后又增加了6只，这样又吃了2天便将草吃完，问有羊多少只？2) 有一牧场长满草，每天牧草匀速生长。12头牛4周吃完6公顷的牧草，20头牛6周吃完12公顷的牧草假设每公顷原有草量相等，草的生长速度不变问多少头牛8周吃完16公顷的牧草？3) 有一牧场长满草，每天牧草匀速生长。这个牧场可供17头牛吃30天，可供19头牛吃24天。现有牛若干头在吃草，6天后，杀了4头牛，余下的牛吃了2天将草吃完。问原来有牛多少头？4) 有3个牧场长满

10、草，第一牧场33公亩，可供牛22头吃54天；第二牧场28公亩，可供17头牛吃84天，第三牧场40公亩，可供多少头牛吃24天？（每块地每公亩草量相同且都是匀速生长）5) 有一牧场长满牧草，牧草每天匀速生长，这个牧场可供17头牛吃30天，可供19头牛吃24天，现在有若干头牛在吃草，6天后，4头牛死亡，余下的牛吃了2天将草吃完，问原来有牛多少头？6) 有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天，那么它可供几头牛吃20天？7) 一片匀速生长的草地，可以供18投牛吃40天，或者供12头牛与36只羊吃25天，如果1头牛每天的吃草两相当于3只羊每天的吃草量。请问：这片草地让17头牛与

11、多少只羊一起吃，刚好16天吃完？8) 有一口水井，如果水位降低，水就不断地匀速涌出，且到了一定的水位就不再上升。现在用水吊水，如果每分吊4桶，则15分钟能吊干，如果每分钟吊8桶，则7分吊干。现在需要5分钟吊干，每分钟应吊多少桶水？9) 有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，则24天就能割完。如果需要6天割完，需要派多少人去割草？10) 有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完。这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？11) 一水库存水量一定，河水均匀入库。5台抽水机连续20天可抽干

12、；6台同样的抽水机连续15天可抽干。若要6天抽干，需要多少台同样的抽水机？12) 有一块牧场，可供10头牛吃20天；15头牛吃10天；则它可供多少头牛吃4天 ？22头牛吃33公亩牧场的草，54天可以吃尽； 17头牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽； 多少头牛吃40公亩牧场的草，24天可以吃尽？ 有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃4天？ A.20 B.25 C.30 D.35 【牛老师答案】C 【牛老师解析】设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天， 根据核心公式代入 (2010-1510)=5 1020-520=100 1004+5=30(头）如果22头牛吃3

13、3公亩牧场的草，54天后可以吃尽，17头牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽，那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草，需要多少头牛？ A.50 B.46 C.38 D.35 【牛老师答案】D 【牛老师解析】 设每公亩牧场每天新长出来的草可供X头牛吃1天，每公亩草场原有牧草量为Y ， 24天内吃尽40公亩牧场的草，需要Z头牛 根据核心公式： ，代入 ，因此 ，选择D 【牛老师注释】这里面牧场的面积发生变化，所以每天长出的草量不再是常量。 下面我们来看一下上述“牛吃草问题”解题方法，在真题中的应用。 、一块草地上的草以均匀的速度生长，如果20只羊5天可以将草地上的草和新长出的草全部吃光，而14只羊则

14、要10天吃光。那么想用4天的时间，把这块草地的草吃光，需要只羊。 （ ）A. 22 B. 23 C. 24 假设1只羊1天吃草的量为1份。每天新生草量是：（1410-205）（10-5）=8（份）原草量是：205-8560（份）安排8只羊专门吃每天新长出来的草，4天时间吃光这块草地共需羊：604+823（只）练习：因天气寒冷，牧场上的草不仅不生长，反而每天以均匀的速度在减少。已知牧场上的草可供33头牛吃5天，可供24头牛吃6天，照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天?13.有一牧场，牧草每天匀速生长，可供9头牛吃12天，可供8头牛吃16天，现在开始只有4头牛吃，从第7天开始，又增加了若干头牛，

15、再用6天吃光所有的草，问增加了几头牛？ 有一片匀速生长的牧草，可供17头牛吃30天，或可供19头牛吃24天。原来有若干头牛在草地上吃草，吃6天后卖了4头，余下的牛再吃2天便将草吃完，问原来有牛多少头？3、有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，则24天就能割完。如果需要6天割完，需要派多少人去割草？牛的数量变化 例3：一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天，现有一群牛吃了4天后卖掉2头，余下的牛又吃了4天将草吃完。这群牛原来有多少头？解：设每头牛每天的吃草量为1份。每天新生的草量为：（239-276）

16、（20-10）=15份，原有的草量为（27-15）6=72份。如两头牛不卖掉，这群牛在4+4=8天内吃草量72+158+24=200份。所以这群牛原来有2008=25头草地大小变化例4：有三块草地，面积分别是5，15，24亩。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？ 这是一道牛吃草问题，是比较复杂的牛吃草问题。 把每头牛每天吃的草看作1份。 因为第一块草地5亩面积原有草量5亩面积30天长的草1030300份 所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300560份 因为第二块草地15亩面积原有草量15亩

17、面积45天长的草28451260份 所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是12601584份 所以453015天，每亩面积长846024份 所以，每亩面积每天长24151.6份 所以，每亩原有草量60301.612份 第三块地面积是24亩，所以每天要长1.62438.4份，原有草就有2412288份 新生长的每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此288803.6头牛 所以，一共需要38.43.642头牛来吃。 解法一： 设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天的总草量为：10*30/5=60； 每亩45天的总草量为：28*45/15=84 那

18、么每亩每天的新生长草量为(84-60)/(45-30)=1.6 每亩原有草量为60-1.6*30=12，那么24亩原有草量为12*24=288， 24亩80天新长草量为24*1.6*80=3072， 24亩80天共有草量3072+288=3360， 所以3360/80=42(头) 解法二：根据10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩， 根据28头牛45天吃15亩，可以推出15亩每天新长草量 (2845-3030)/(45-30)=24； 15亩原有草量：2845-2445=180； 15亩80天所需牛180/80+24(头) 24亩需牛：(180/80+24)*(24/15)=42头

19、练习：有三块草地，面积分别为5公顷，6公顷和8公顷。每块地每公顷的草量相同而且长的一样快，第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。第三块草地可供19头牛吃多少天？有三片草地，面积分别为4公顷，8公顷和10公顷草地上的草一样厚，而且长得一样快第一片草地上的草可供24头牛吃6周，第二片草地上的草可供36头牛吃12周问：第三片草地上的草可供50头牛吃几天？求最大量例5：经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或 可供80亿人生活300年。假设地球新生成的资源增长速度是一样的。那么，为了满足人类不断发展的要求，地球最多只能养活（ ）亿人。 70 解：设1亿人1年所消耗的

20、资源为1份那么地球上每年新生成的资源量为：（80300-100100）（300-100）=70（份）只有当地球每年新生资源不少于消耗点的资源时，地球上的资源才不至于逐渐减少，才能满足人类不断发展的需要。所以地球最多只能养活：701=70（亿人）练习3（求最多）1) 有一片牧场，操每天都在匀速生长（每天的增长量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完草，如果放牧21头牛，则8天吃完草，设每头牛每天的吃草量相等，问：要使草永远吃不完，最多只能放牧几头牛？ 假设地球上新增长资源的增长速度是一定的，照此推算，地球上的资源可供110亿人生活90年，或可供90亿人生活210年，为了人类不断繁衍，那么地球最多可

21、以养活多少亿人？ 有一片牧场，24头牛6天可以将草吃完，或21头牛8天可以吃完。要使牧草永远吃不完，至多可以放牧几头牛？新型牛吃草检票口吃人例1：旅客在车站候车室等车,并且排队的乘客按一定速度增加,检查速度也一定,当车站放一个检票口,需用半小时把所有乘客解决完毕,当开放2个检票口时,只要10分钟就把所有乘客OK了 求增加人数的速度还有原来的人数 解：设一个检票口一分钟一个人 1个检票口30分钟30个人 2个检票口10分钟20个人 (30-20)(30-10)=0.5个人 原有130-300.5=15人 或210-100.5=15人 练习：一游乐场在开门前有100人排队等候，开门后每分钟来的游客

22、是相同的，一个入口处每分钟可以放入10名游客，如果开放2个入口处20分钟就没人排队，现开放4个入口处，那么开门后多少分钟后没人排队？物美超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款，每一个收银台每小时能应付80名顾客付款。某天某时刻，超市如果只开设一个收银台，付款开始4小时就没有顾客排队了，问如果当时开设两个收银台，则付款开始几小时就没有顾客排队了？ DA.2小时 B.1.8小时 C.1.6小时 D.0.8小时 画展9时开门，但早有人来排队等候入场。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队了，那么第一个观众到达的时间是8点分。 （ ）A. 10

23、 B. 12 C. 15C假设每个人口每分钟进入的观众量是1份。每分钟来的观众人数为（39-55）（9-5）=0.5（份）到9时止，已来的观众人数为：39-0.5922.5（份）第一个观众来到时比9时提前了：22.50.545（分）所以第一个观众到达的时间是9时-45分=8时15分。禁毒图片展8点开门，但很早便有人排队等候入场。从第一个观众到达时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，8点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，8点5分就没有人排队。第一个观众到达时距离8点还有多少分钟？画展9点开门，但早就有人排队入场。以第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，则

24、9分钟后就不再有人排队；如果开5个入场口，则5分钟后就不再有人排队。那么第一个观众到达的时间是几点几分？电梯吃人例1、自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？ 解析：男孩：205 =100（级） 自动扶梯的级数-5分钟减少的级数 女孩;156=90（级） 自动扶梯的级数-6分钟减少的级数 每分钟减少的级数= (205-156) (6-5)=10(级) 自动扶梯的级数= 205+510=150（级） 例 两个顽皮孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每

25、秒可走3级阶梯，女孩每秒可走2级阶梯，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。问该扶梯共有多少级？3100=300自动扶梯级数+100秒新增的级数2300=600自动扶梯级数+300秒新增的级数每秒新增的级数：（2300-3100）（300-100）=1.5（级）自动扶梯级数= 3100-1001.5=150（级） 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，小明和小丽从扶梯上楼，已知小明每分钟走25级台阶，小丽每分钟走20级台阶，结果小明用了5分钟，小丽用了6分钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？商场的自动滚梯以均匀的速度由下往上行驶着,两个孩子嫌滚梯走的太慢，于是在行驶的滚梯上

26、,男孩每秒钟向上走1级台阶，女孩每3秒向上走2级台阶，结果男孩用50秒到达搂上，女孩用了60秒到达搂上。问商场的自动滚梯共有多少级？水管抽水例1、水库原有存水量一定，河水每天入库。5台抽水机连续20天抽干，6台同样的抽水机连续15天可抽干，若要6天抽干，要多少台同样的抽水机？分析：5台 20天 原有水+20天入库量6台 15天 原有水+15天入库量？台 6天 -原有水+6天入库量解答：设1台1天抽水量为1，第一次总量为520=100，第二次总量为615=90 每天入库量(100-90)(20-15)=2 20天入库220=40， 原有水100-40=60 6天的总水量60+26=72 726=

27、12（台） 练习：一个水池，池底有水流均匀涌出若将满池水抽干，用10台水泵需2小时，用5台同样的水泵需7小时，现要在半小时内把满池水抽干，至少要这样的水泵多少台？设每台水泵每小时抽水量为一份（1）水流每小时的流入量：（57-102）（7-2）=3（份）（2）水池原有水量：57-37=14（份）或 102-32=14（份）（3）半小时内把水抽干，至少需要水泵：（14+30.5）0.5=31（台） 练习：有一水井，继续不断涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。如果使用3架抽水机来抽水，36分钟可以抽完，如果使用5架抽水机来抽水，20分钟可抽完。现在12分钟内要抽完井水，需要抽水机多少架？有一个灌溉用的中

28、转水池，一直开着进水管往里灌水，一段时间后，用2台抽水机排水，则用40分钟能排完；如果用4台同样的抽水机排水，则用16分钟排完。问如果计划用10分钟将水排完，需要多少台抽水机？ 【牛老师答案】BA.5台 B.6台 C.7台 D.8台 一条船有一个漏洞，水以均匀的速度漏进船内，待发现时船舱内已进了一些水。如果用12人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。现在要想在2小时舀完，需要多少人？例：有一水池，池底有泉水不断涌出。要想把水池的水抽干，如用10台抽水机需抽8小时；如用8台抽水机需抽12小时。那么，如果用6台抽水机，需抽多少小时？解答：设一台抽水机一小时抽水一份。则每小时涌

29、出的水量是：（2010-1510）(20-10)=5份，池内原有的水是：（10-5）20=100份.所以,用25部抽水机需要:100(25-5)=5小时练习：一个水池，池底有泉水不断涌出，用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15部相同的抽水机10小时可把水抽干。那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？有一水池，池底有泉水不断涌出，要想把水池的水抽干，10台抽水机需抽8小时，8台抽水机需抽12小时，如果用6台抽水机，那么需抽多少小时？蜗牛爬山例：两只蜗牛同时从一口井的井顶爬向井底。白天往下爬，两只蜗牛的爬行速度是不同的，一只每天爬行20分米，另一只每天爬行15分米。黑夜往下滑，两只蜗牛滑

30、行的速度却是相同的，结果一只蜗牛恰好用了5个昼夜到达井底，另一只恰好用了6个昼夜到达井底。那么，井深多少米？蜗牛每夜下降：（205-156）（6-5）=10分米所以井深： （20+10）5=150分米=15米点评：此题按牛吃草问题来处理，考察了学生的思维和推理能力5. 快、中、慢三车同时从A地出发，追赶一辆正在行驶的自行车。三车的速度分别是每小时24千米、20千米、19千米。快车追上自行车用了6小时，中车追上自行车用了10小时，慢车追上自行车用（ ）小时。自行车的速度是：（2010-246）（10-6）=14（千米/小时）三车出发时自行车距A地：（24-14）6=60（千米）慢车追上自行车所用的时间为：60（19-14）=12（小时）甲、乙、丙三辆车同时从A地出发，出发后6分钟甲车超过了一名长跑运动员，过了2分钟后乙车也超过去了，又过了2分钟丙车也超了过去已知甲车每分钟走1000米，乙车每分钟走800米，求丙车的速度.10. 现有速度不变的甲、乙两车，