六年级奥数浓度问题讲义.docx

1、六年级奥数浓度问题讲义六年级奥数 浓度问题讲义 一、专题引导：什么是浓度呢？（以糖水为例，将糖溶于水中得到糖水，这里糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。）三者之间关系：浓度 100 100二、典型例题例1、有浓度为30的酒精溶液若干，添加了一定数量的水后稀释成浓度为24的酒精溶液，如果再加入同样的水，那么酒精溶液的浓度变为多少？ 思路导航：稀释问题是溶质的重量是不变量。例2、有浓度为7的盐水600克，要使盐水的浓度加大到10，需要加盐多少克？ 思路导航：溶剂重理不变。练习海水中盐的含量为5，在40千克海水中，需加多少千克淡水才使海水中盐的含量为2？例3、在浓度为50的硫酸溶液100千克中，再加入多

2、少千克浓度为5的硫酸溶液，就可以配制成浓度为25的硫酸溶液？ 思路导航：混合前两种溶液中所含溶质的重量、溶剂的重量、溶液的重量分别等于混合后溶液中所含溶质的重量、溶剂的重量、溶液的重量。练习配制硫酸含量为20的硫酸溶液1000克，需要用硫酸含量为18和23的硫酸溶液各多少克？例4、从装满100克浓度为80的盐水杯中倒出40克盐水，再用清水将杯加满；再倒出40克盐水，然后再用清水将杯加满，如此反复三次后，杯中盐水的浓度是多少？思路导航：反复三次后，杯中又已装满，即最后杯中盐水的重量仍为100克，由此；问题的关键是求出如此反复三次后还剩盐多少克？练习有盐水若干升，加入一定量水后，盐水浓度降到3，又

3、加入同样多的水后,盐水浓度又降到2,再加入同样多的水,此时浓度是多少呢?又问未加入水时盐水浓度是多少?有含糖6的糖水900克,要使其含糖量加大到10,需加糖多少克?比 和 比 例 应 用 题例4、乘坐某路汽车成年人票价3元，儿童票价2元，残疾人票价1元，某天乘车的成年人、儿童和残疾人的人数比是50:20:1，共收得票款26740元，这天乘车中成年人、儿童和残疾人各有多少人？思路导航:单价比:成年人:儿童:残疾人=3:2:1 人数比:50:20:1练习甲乙两人走同一段路，甲要20分钟，乙要15分钟，现在甲、乙两人分别同时从相距840米的两地相向而行，相遇时，甲、乙各走了多少米？例5、“希望小学”

4、搞了一次募捐活动，她们用募捐所得的钱购买了甲、乙、丙三种商品，这三种商品的单价分别为30元、15元和10元。已知购得的甲商品与乙商品的数量之比为5:6，乙商品与丙商品的数量之比为4:11，且购买丙商品比购买甲商品多花了210元。 思路导航:根据已知条件可先求三种商品的数量比。练习一种什锦糖是由酥糖、奶糖和水果糖按5:4:3的比例混合而成，酥糖、奶糖和水果糖的单价比是11:8:7,要合成这样的什锦糖120千克，什锦糖每千克32.4元，混合前的酥糖每千克是多少元？例6、A、B、C是三个顺次咬合的齿轮。当A转4圈时，B恰好转3圈；当B转4圈时，C恰好转5圈，问这三个齿轮的齿数的最小数分别是多少？ 思

5、路导航:根据已知条件可知A、B、C转速与齿数的积都相等，即它们的转速与齿数成反比例。练习 P39-6巩 固:1、甲、乙、丙三个平行四边形的底之比是4:5:6，高之比是3:2:1，已知三个平行四边形的面积和是140平方分米，那么甲、乙、丙三个平行四边形的面积各是多少？2、甲、乙、丙三个三角形的面积之比是8:9:10，高之比是2:3:4，对应的底之比是多少？3、某校四、五年级参加数学竞赛的人数相等，四年级获奖人数与未获奖人数的比是1:4，五年级获奖人数与未获奖人数的比是2:7；两个年级中获奖与未获奖人数的比是多少？4、盒子里共有红、白、黑三种颜色的彩球共68个，红球与白球个数的比是1:2，白球与黑

6、球个数的比是3:4，红球有多少个？六年级秋季班第一讲 找规律、计数 家教班、基础班作业1 将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于50个小纸片，至少要画多少条直线？请说明理由。3 有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大、千位数字比百位数字大、百位数字比十位数字大？4 分子小于6，分母小于60的不可约真分数有多少个？5 现在流行的变速自行车，在主动轴和后轴分别安装了几个齿数不同的齿轮。用链条连接不同搭配的齿轮，通过不同的传动比获得若干不同的车速。“希望牌”变速自行车主动轴上有3个齿轮，齿数分别是48，36，24；后轴上有4个齿轮，齿数分别是36，24，16，12。问

7、：这种变速车一共有多少档不同的车速。6 一次考试五人的总分是423分，每人的分数都是整数，并且各不相同。问得分最少的人，最多得多少分？ 解析7 1、将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于50个小纸片，至少要画多少条直线？请说明理由。解答：根据公式1 （注意：切分平面的是直线而不是圆），时，最多可将平面分成块；时，最多可将平面分成块，所以至少要画10条直线。2、 解答：将分子和分母之和相等的分数看作一组。每组分数的个数恰好是自然数的排列：1，2，3分数位于分子和分母之和为57的那一组的第40个，这一组为： 共56个分数，这一组之前共有：1+2+3+55=（155）552

8、=1540 154040=1580（个）3、有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大、千位数字比百位数字大、百位数字比十位数字大？解答：从09中选定4个数字即可确定唯一一个符合条件的四位数，例如0、7、3、1只能对应3107，所以用组合数，10个数字选4个，即。4、分子小于6，分母小于60的不可约真分数有多少个？解答：分子是1时，分母可取259，共58个分数；分子是2时，分母可取60以内除1以外的所有奇数，共30-1=29个；分子是3时，分母可取60以内除了3的倍数以及1、2以外的所有数，共60-603-2=38个；分子是4时，分母可取60以内除1、3以外的所有奇数，共28个；分子是5是，

9、分母可取60以内除了5的倍数以及1、2、3、4以外的所有数，共60-605-4=44个；由上可知，符合条件的真分数共计58+29+38+28+44=197个。5、现在流行的变速自行车，在主动轴和后轴分别安装了几个齿数不同的齿轮。用链条连接不同搭配的齿轮，通过不同的传动比获得若干不同的车速。“希望牌”变速自行车主动轴上有3个齿轮，齿数分别是48，36，24；后轴上有4个齿轮，齿数分别是36，24，16，12。问：这种变速车一共有多少档不同的车速解答：根据乘法原理，共有34=12种档位，但是48:24=24:12，48:16=36:12，4=24:16，36:36=24:24，所以实际只有12-4

10、=8种不同的车速。6、一次考试五人的总分是423分，每人的分数都是整数，并且各不相同。问得分最少的人，最多得多少分？解答：得分最少的人比其余四人，至少分别要少1，2，3，4分所以最少得分要423（1234）5=82.6分 得分最少的人，最多得82分 提高班作业1、将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于50个小纸片，至少要画多少条直线？请说明理由。2、 一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分？3、 有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大、千位数字比百位数字大、百位数字比十位数字大？4、 分子小于6，分母小于60的不可约真分数有多少个？5、

11、 现在流行的变速自行车，在主动轴和后轴分别安装了几个齿数不同的齿轮。用链条连接不同搭配的齿轮，通过不同的传动比获得若干不同的车速。“希望牌”变速自行车主动轴上有3个齿轮，齿数分别是48，36，24；后轴上有4个齿轮，齿数分别是36，24，16，12。问：这种变速车一共有多少档不同的车速。6、 小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？ 解析1. 解析：根据公式1（注意：切分平面的是直线而不是圆），时，最多可将平面分成块；时，最多可将平面分成块，所以至少要画10条直线。2. 解析：根据公式4，当时，最多可将平

12、面分成块。3. 解析：从09中选定4个数字即可确定唯一一个符合条件的四位数，例如0、7、3、1只能对应3107，所以用组合数，10个数字选4个，即。4. 解析：分子是1时，分母可取259，共58个分数；分子是2时，分母可取60以内除1以外的所有奇数，共30-1=29个；分子是3时，分母可取60以内除了3的倍数以及1、2以外的所有数，共60-603-2=38个；分子是4时，分母可取60以内除1、3以外的所有奇数，共28个；分子是5是，分母可取60以内除了5的倍数以及1、2、3、4以外的所有数，共60-605-4=44个；由上可知，符合条件的真分数共计58+29+38+28+44=197个。5.

13、解析：根据乘法原理，共有34=12种档位，但是48:24=24:12，48:16=36:12，4=24:16，36:36=24:24，所以实际只有12-4=8种不同的车速。6. 解析：列表解题，第四个数=第一个数第二个数。台阶12345678910111213141516走法011122345791216212837 精英班作业1、 将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于50个小纸片，至少要画多少条直线？请说明理由。2、 一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分？3、 有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大、千位数字比百位数字大、百位数字

14、比十位数字大？4、 分子小于6，分母小于60的不可约真分数有多少个？5、 现在流行的变速自行车，在主动轴和后轴分别安装了几个齿数不同的齿轮。用链条连接不同搭配的齿轮，通过不同的传动比获得若干不同的车速。“希望牌”变速自行车主动轴上有3个齿轮，齿数分别是48，36，24；后轴上有4个齿轮，齿数分别是36，24，16，12。问：这种变速车一共有多少档不同的车速。6、 小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？ 解析1、 解析：根据公式1（注意：切分平面的是直线而不是圆），时，最多可将平面分成块；时，最多可将平面

15、分成块，所以至少要画10条直线。2、 解析：根据公式4，当时，最多可将平面分成块。3、 解析：从09中选定4个数字即可确定唯一一个符合条件的四位数，例如0、7、3、1只能对应3107，所以用组合数，10个数字选4个，即。4、 解析：分子是1时，分母可取259，共58个分数；分子是2时，分母可取60以内除1以外的所有奇数，共30-1=29个；分子是3时，分母可取60以内除了3的倍数以及1、2以外的所有数，共60-603-2=38个； 分子是4时，分母可取60以内除1、3以外的所有奇数，共28个；分子是5是，分母可取60以内除了5的倍数以及1、2、3、4以外的所有数，共60-605-4=44个；由

16、上可知，符合条件的真分数共计58+29+38+28+44=197个。5、 解析：根据乘法原理，共有34=12种档位，但是48:24=24:12，48:16=36:12，4=24:16，36:36=24:24，所以实际只有12-4=8种不同的车速。6、 解析：列表解题，第四个数=第一个数第二个数。台阶12345678910111213141516走法011122345791216212837从算术到代数（一）算术与代数是数学中两门不同的分科，但它们之间关系密切.代数是在算术中“数”和“运算”的基础上发展起来的.在小学算术课本里同学们由浅入深地学习了整数、小数和分数的加、减、乘、除四则运算，并学会

17、了用这些四则运算去解一些不太复杂的四则应用题.归纳一下，在用算术方法解应用题时主要用到了以下三种关系：部分数与总数的关系；两数差的关系；一倍数（或一份数）、倍数和几倍数的关系.第1、第2种关系用“加”、“减”法完成，第3种关系则用乘、除法完成.在解四则运算题时用到了对于数的“加法”、“乘法”都普遍成立的运算法则：交换律、结合律、分配律.设a、b、c表示任意三个数，下列等式恒成立：交换律：ab=b+a，ab=ba结合律：（a+b）+c=a+（bc） （ab）c=a（bc）分配律：a（b+c）ab+ac.另外，在用算术方法解应用题时常按应用题的性质分为许多类型.如：和倍问题、差倍问题、行程问题、百

18、分数问题、比例问题、.对每类问题先归纳出解决这类问题的方法、公式，并找出理由加以解释，再做这类题时就“套”这种公式.所以用算术方法解应用题时，对不同类型的题用不同的思路列式求解，解法就不同，因而用算术方法解应用题是不带普遍性的.代数方法的进步首先在于找出了一个统一的方法，即用列“方程”来解很多不同类型的应用题.“方程”是代数学中的重要内容之一.用方程来解应用题时，首先是用一些简单的符号，通常用x，y，z，t，s，u，v等字母来表示问题中待求的未知数，然后把这些未知数和已知数平等地看待，并把题目中的数量关系直接（平铺直叙）“翻译”为算式表示出来.这就是所谓依题意列方程.接着是通过代数方程去确定其

19、中所含未知数应该等于什么样的值，即“解方程”.而解方程的原理就是对方程中的数，包括已知数和未知数，运用在“算术”中学过的“数的运算法则”把未知数求出来.因为这些法则是对任何数都成立的，当然对那些暂时还不知它的值的“未知数”也应当成立.只要适当地运用这些法则，一般就可求出方程中的未知数的值.归纳起来用代数方法解应用题的步骤如下：1.设未知数.常用x，y，z，t，s，等字母表示.2.依题意列方程.即把所要解决的代数问题中的未知量换成代表未知数的字母，把问题中各种量间的关系“翻译”为带字母的算式表示出来，特别注意找出其中的相等关系.用两个代数式表示同一个数量，列出一个方程.因此方程是含有未知数的等式

20、.一般说来，有n个相等关系就能列出n个方程，当然我们从中选取列方程与解方程时最方便的形式.3.解方程.目的是把原方程变成同解的形如axb的方程，进而解出用分配律去括号.而不一定能像算术中那样先把括号中数算出来.因为其中有的是未知数算不出来.如下例中的（1）变成（2）.例1 64+x=3（32-x） （1）64+x=96-3 （2）x+3x=96-64 （3）4x32 （4） x=8. （5）移项.把含未知数的项与常数项（即不含未知数的项）分离开来，分别移到等号两端，注意移项变号法则.如上例中的（2）变成（3）.合并同类项，如上例中的（3）变成（4）.用未知数的系数去除方程两端求出x的值.如上例

21、中的（4）变成（5）.4.验算.一是实际计算求出的根是否满足方程，不满足的都舍去，二是根据题目的实际意义，删除不合理的解.先以几个简单的四则应用题为例来对“算术解法”与“代数解法”作一比较.例2 车站给某工厂运2000箱玻璃.合同规定完好地运到一箱给5元运费.如损坏一箱，不给运费，倒赔40元.这批玻璃运到后，车站共收到运货款9190元.问损坏了几箱玻璃.解：算术解法：假如设有损坏，2000箱玻璃全运到，则应得运货款：2000 5= 10000（元）.和实际所得运货款相差：10000-9190=810（元）.现在让我们用一箱好的换一箱损坏的玻璃，总箱数2000不变，但每换一箱所得运货款减少：40

22、5=45（元）那么换多少箱，货款正好减少多出来的810元呢？做除法：8104518（箱）.答：共换坏了18箱.代数解法：设损坏了x箱，则没损坏的共2000-x箱.依题意列方程5（2000-x）-40x=919045x=10000-919045x=810x=18.答：损坏了18箱.比较这两种解法，可见代数方法简洁并具有高度普遍性.我们在后面的许多例题中都能充分地看出代数方法的优越性.但这决不等于说可以取消算术.这正如火车虽快决不能代替步行.在攀登高峰的崎岖的小道上还常常靠坚实的足步.下面举几个例子来看看算术方法的不可缺少.因为有的问题不易找到等量关系列方程.例3 一年级72名学生共交了52.7元

23、课本费，其中的百位数和百分位上的数被水弄模糊了.你能算出每人交多少元？解：728 9，又（8，9）=1原数为25272分，每人应交：2527272=351（分）.答：每人交3.51元.例4 求被6除余4，被10除余8，被9除余4的最小自然数.解：该数被6除余4 （1）又 该数被10除余8 （2） 该数是偶数.再从被9除余4的偶数中从小到大挑选符合条件（1）、（2）的数：4，492=22，2292=40，40+92=58，又 586=94 5810=58 58964答：58为所求最小自然数.例5 三个学生甲、乙、丙各有若干张画片互相赠送.第一次由甲送给乙、丙画片，所送的张数等于乙、丙各人已有的画

24、片数；第二次由乙送给甲、丙画片，所送的张数等于甲、丙各人已有的画片数；最后由丙送给甲、乙画片，所送的张数也正好等于甲、乙各人已有的画片数.这时每人的画片数都是32张.问原来甲、乙、丙三人各有多少张画片？解：用倒推法.由最后每人都是32张画片开始，在下面表格里由上行到下一行逐行填写，可知在第三次丙送画片前，乙送完画片后三人手中的画片（张）；同理，在第二次乙送画片前，甲送完画片后三人手中的画片数应分可推知原来：丙有16张，乙有28张，甲有82816=52（张）.答：原来甲有52张，乙有28张，丙有16张画片.例6 有甲、乙、丙三辆汽车，各以一定的速度从A地开往B地.乙比丙晚出发10分钟，出发后40

25、分钟追上丙；甲比乙又晚出20分钟，出发后1小时40分钟追上丙.那么甲出发后需用多少分钟才能追上乙？解法1：设三车速度依次为V甲，V乙，V丙.丙比乙早出发10分钟，乙追上丙耗40分钟，是典型的追及问题：丙比甲早出发30分钟，甲追上丙耗100分钟，也是追及问题：的某个倍数代入：解法1既用了算术的追及问题公式，又用了列方程的代数方法.下面再介绍一种列表法，对解这类题更方便.解法2：我们把题中的条件按下列方式填入下面表格中：让同一列格子中填行相同路程时甲、乙、丙三辆汽车各自所需的时间，如第一列中填入稍稍转化了的已知条件：乙走40分钟的路程丙需走4010=50（分钟）；第二列中填入甲走100分钟的路程丙

26、需用1002010=130（分钟）.以前两列中条件的关系，再根据当速度一定时路程与时间成正比的性质，当丙走650=50，130分钟的路程时乙需用4013=520（分钟），甲则需用1005=500分钟.由于乙比甲早出发20分钟，恰为520分钟与500分钟之差，因此甲出发后500分钟时追上乙.答：甲出发后需500分钟才能追上乙.说明：一般地，当知道丙走c分钟的路程与甲走a分钟、乙走b分钟的路程相等时，可列一方程求出所需的答案.设甲出发后ax分钟追上乙，则在本题的条件下，c=650，a=500，b=520.例7 星期日小明去找同学玩了两三个小时，离开家时他看了看钟，回家时又看了看钟，发现时针与分针恰

27、好互换了一个位置.问小明共离开家多少时间？解：因为小明离家回来时时针走到分针位置，分针走到时针位置，说明两针合起来恰好走了若干个整圈.设外出时间分为二个时段，第一段为2小时.小明出去整2小时，分针就应转过2圈，转回原处，而时针两小时走了习题九1.把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数加起来恰好是某个自然数的平方，求原来这个两位数与新得到的两位数的和.2.一辆汽车在公路上匀速行驶，司机看见里程碑上的数字是一个两位数再过一小时，里程碑上是三位数，又恰好是第一个两位数中间加了个零（用 3.在一个红钱包与一个黑钱包里分别装着6枚和8枚硬币，并且两个钱包中的总钱数相等.如果从

28、红钱包中任取两枚硬币与黑钱包中任取的两枚硬币交换时，红钱包中的总钱数要么比原来多2分，要么比原来的钱数少2分.问两个钱包中共装了多少钱？（注：这里的硬币只有1分、2分、5分三种）习题九解答由题设条件应有是某自然数的平方，由表达式11（ab）可知这个完全平方数既有一个约数11，就一定还有一个约数11，因此11是a+b的约数，而a、b又都只能取自1、2、3、8、9.故a+b11.答：原数与新数的和为121.所以（10BA）-（10A+B）（100A+B）-（10BA）即18B=108A，B=6A.由于A、B都是一位非零数字，所以A1，B6.答：第一个里程碑上数字是16，第二个里程碑上数字是61，第

29、三个里程碑上数字是106.3.解：我们先证明红钱包里不可能同时装有1分、2分、5分三种币值的硬币.因为否则，从红钱包里任取两枚硬币时，可能有2+1，25，1+5三种情形.前两种是奇数，后一种是偶数.而从黑钱包里任取的二个硬币都能使红钱包的钱的奇偶性不变，这是不可能的.类似可知，红钱包里不能同时有2分币和1分币或2分币和5分币.因此红钱包中的硬币只有两种可能：一是全为2分币；二是装有一分与五分币没有2分币.同理，黑钱包中或全为2分币，或其中没有2分币.并且，由于两钱包中钱数相等而硬币数不等，因此不可能红、黑钱包中都只有2分币.情形1：当红钱包中全为2分币时，总钱数为26=12分.此时显然黑钱包中不可能有两个或两个以上的五分币，也不可能都是一分币（否则红、黑钱包中装钱数不等）.因此黑钱包里有