二次函数因动点产生的相似三角形问题典型例题.docx

1、二次函数因动点产生的相似三角形问题典型例题二次函数-因动点产生的相似三角形问题【例1】如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线yax2bx（a0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AOBO2，AOB120（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM，求AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且ABC与AOM相似，求点C的坐标图1 思路点拨1第（2）题把求AOM的大小，转化为求BOM的大小2因为BOMABO30，因此点C在点B的右侧时，恰好有ABCAOM3根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论ABC与AOM相似满分解答（1）如图2，过点A作AHy轴，垂足为H在RtAOH中，AO2，AOH30

2、，所以AH1，OH所以A因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点，设yax(x2)，代入点A，可得 图2所以抛物线的表达式为（2）由，得抛物线的顶点M的坐标为所以所以BOM30所以AOM150（3）由A、B(2,0)、M，得，所以ABO30，因此当点C在点B右侧时，ABCAOM150ABC与AOM相似，存在两种情况：如图3，当时，此时C(4,0)如图4，当时，此时C(8,0) 图3 图4考点伸展在本题情境下，如果ABC与BOM相似，求点C的坐标如图5，因为BOM是30底角的等腰三角形，ABO30，因此ABC也是底角为30的等腰三角形，ABAC，根据对称性，点C的坐标为(4,0)图5【例2】如图

3、1，已知抛物线（b是实数且b2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C（1）点B的坐标为_，点C的坐标为_（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得QCO、QOA和QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由图1思路点拨1第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等2联结OP，

4、把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示3第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上满分解答（1）B的坐标为(b, 0)，点C的坐标为(0, )（2）如图2，过点P作PDx轴，PEy轴，垂足分别为D、E，那么PDBPEC因此PDPE设点P的坐标为(x, x)如图3，联结OP所以S四边形PCOBSPCOSPBO2b解得所以点P的坐标为()图2 图3（3）由，得A(1, 0)，OA1如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么OQCQOA当，即时，BQAQOA所以解得所以符合题意的点Q为()如图5

5、，以OC为直径的圆与直线x1交于点Q，那么OQC90。因此OCQQOA当时，BQAQOA此时OQB90所以C、Q、B三点共线因此，即解得此时Q(1,4)图4 图5考点伸展第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而QOA与QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况这样，先根据QOA与QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置如图中，圆与直线x1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB4OC矛盾【例3】如图1，已知抛物线的方程C1： (m0)与x轴交于点B、C，与y轴交

6、于点E，且点B在点C的左侧（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BHEH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由图1思路点拨1第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H落在线段EC上时，BHEH最小2第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF，作CBFEBC45，或者作BF/EC再用含m的式子表示点F的坐标然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m的方程满分解答（1）将M(2,

7、 2)代入，得解得m4（2）当m4时，所以C(4, 0)，E(0, 2)所以SBCE（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x1，当H落在线段EC上时，BHEH最小设对称轴与x轴的交点为P，那么因此解得所以点H的坐标为（4）如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FFx轴于F由于BCEFBC，所以当，即时，BCEFBC设点F的坐标为，由，得解得xm2所以F(m2, 0)由，得所以由，得整理，得016此方程无解图2 图3 图4如图4，作CBF45交抛物线于F，过点F作FFx轴于F，由于EBCCBF，所以，即时，BCEBFC在RtBFF中，由FFBF，得解得x2m所以F所以BF2m2，由，得解

8、得综合、，符合题意的m为考点伸展第（4）题也可以这样求BF的长：在求得点F、F的坐标后，根据两点间的距离公式求BF的长【例4】如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)用含S的代数式表示x2x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3

9、)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由 图1 图2思路点拨1第（2）题用含S的代数式表示x2x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示S再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2y13通过代数变形就可以了2第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置

10、关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证3第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB与x轴的夹角不变，直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变变化的直线PQ的斜率，因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方，或者假设交点G在x轴的上方满分解答（1）抛物线的对称轴为直线，解析式为，顶点为M（1，）（2） 梯形O1A1B1C1的面积，由此得到由于，所以整理，得因此得到当S=36时， 解得 此时点A1的坐标为（6，3）（3）设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x轴交于点F，那么要探求相似的GAF与GQE，有一个公共角G在GEQ中，GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹

11、角，为定值在GAF中，GAF是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且GEQGAF因此只存在GQEGAF的可能，GQEGAF这时GAFGQEPQD由于，所以解得 图3 图4考点伸展第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3【例5】如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三点（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的 点P的坐标；若不存在，请说明理由

12、；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得DCA的面积最大，求出点D的坐标,图1思路点拨1已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便2数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长3按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程4把DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA满分解答 （1）因为抛物线与x轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为，代入点C的 坐标（0，2），解得所以抛物线的解析式为（2）设点P的坐标为如图2，当点P在x轴上方时，1x4，如果，那么解得不合题意如果，那么解得此时点P的坐标为（2，1）如图3，当点P在点A的

13、右侧时，x4，解方程，得此时点P的坐标为解方程，得不合题意如图4，当点P在点B的左侧时，x1，解方程，得此时点P的坐标为解方程，得此时点P与点O重合，不合题意综上所述，符合条件的 点P的坐标为（2，1）或或 图2 图3 图4（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E直线AC的解析式为设点D的横坐标为m，那么点D的坐标为，点E的坐标为所以因此当时，DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1） 图5 图6考点伸展第（3）题也可以这样解：如图6，过D点构造矩形OAMN，那么DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去CDN和ADM的面积设点D的横坐标为（m，n），那么由于，所以【例6】如图，抛物线ya(x1)(x5)与x轴的交点为M、N直线ykxb与x轴交于P(2，0)，与y轴交于C若A、B两点在直线ykxb上，且AO=BO=，AOBOD为线段MN的中点，OH为RtOPC斜边上的高小题1:OH的长度等于_；k_，b_；小题2:是否存在实数a，使得抛物线ya(x1)(x5)上有一点E，满足以D、N、E为顶点的三角形与AOB相似?若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点(简要说明理由)；并进一步探索对符合条件的每一个E点，直线NE与直线AB的交点G是否总满足，写出探索过程图1思路点拨1求等腰直角三角形OAB斜边上的