专题五圆锥曲线C教师版苏深强.docx

1、专题五圆锥曲线C教师版苏深强圆锥曲线针对圆锥曲线试题的命题特点，备考中要突出“五种方法”、“两种思想”、“六种题型”。五个方法：定义法；韦达法；点差法；相关点法；参数法；两种思想：设而不解思想（注意辨析设而求解,以及设的技巧）；转化与化归思想（另作专题展开讲述）；六种题型：求轨迹方程；中点问题；定义与最值；弦长与面积；范围问题；定值定点定直线问题。1、（1）已知双曲线与椭圆：有公共的焦点，并且双曲线的c/a与椭圆的c/a之比为，求双曲线的方程（2）以抛物线上的点M与定点为端点的线段MA的中点为P，求P点的轨迹方程（1）解：的焦点坐标为由得设双曲线的方程为则解得双曲线的方程为（2）解：设点，则，

2、代入得：此即为点P的轨迹方程2、（1）的底边，和两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹（2）ABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=sinA,求点A的轨迹方程解： （1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点因，有，故其方程为设，则 由题意有代入，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）（2）分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可转化为边长的关系解：sinC-sinB=sinA 2RsinC-2RsinB=2RsinA

3、即 （*）点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）2a=6，2c=10a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为（x3）点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）3、如图，两束光线从点M（-4，1）分别射向直线y= -2上两点P（x1，y1）和Q（x2，y2）后，反射光线恰好通过椭圆C：（ab0）的两焦点，已知椭圆的c/a为，且x2-x1=，求椭圆C的方程.解：设a=2k，c=k，k0，则b=k，其椭圆的方程为. 由题设条件得：， ， x2-x1=， 由、解得：k=1，x1=，x2=-1，所求椭圆C的方程为.4、在面积为1的中，建立适当的坐标系，求出以、为焦点且过

4、点的椭圆方程所求椭圆方程为解：以的中点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，设则即得5、已知点P是圆x2+y2=4上一个动点，定点Q的坐标为（4，0）（1）求线段PQ的中点的轨迹方程；（2）设POQ的平分线交PQ于点R（O为原点），求点R的轨迹方程解：（1）设线段PQ的中点坐标为M（x，y），由Q（4，0）可得点P（2x-4，2y），代入圆的方程x2+y2=4可得（2x-4）2+（2y）2=4，整理可得所求轨迹为（x-2）2+y2=1. （2）设点R（x，y），P（m，n），由已知|OP|=2，|OQ|=4，由角平分线性质可得=，又点R在线段PQ上，|PR|=|RQ|，点R分有向线段PQ的比为，

5、由定比分点坐标公式可得，即，点P的坐标为，代入圆的方程x2+y2=4可得， 即+y2=（y0）. 点R的轨迹方程为+y2=（y0）.6、已知动圆过定点，且与直线相切.(1) 求动圆的圆心轨迹的方程；(2) 是否存在直线，使过点（0，1），并与轨迹交于两点，且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设为动圆圆心， ，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：， 即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线， 动点的轨迹方程为 （2）由题可设直线的方程为，由得 ， 设，则， 由，即，于是，即， ，解得或（舍去），又， 直线存在，其方程为

6、 7、设双曲线的两个焦点分别为，c/a为2.（I）求此双曲线的渐近线的方程；（II）若A、B分别为上的点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III）过点能否作出直线，使与双曲线交于P、Q两点，且.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.解：（I） ，渐近线方程为 4分 （II）设，AB的中点 则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆.（9分） （III）假设存在满足条件的直线 设 由（i）（ii）得 k不存在，即不存在满足条件的直线. 8、设M是椭圆上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MNMQ

7、，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程解：设点的坐标则1分 3分 由（1）（2）可得6分又MNMQ，所以直线QN的方程为，又直线PT的方程为从而得所以代入（1）可得此即为所求的轨迹方程.9、已知：直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法设出它们的方程，L：y=kx(k0),C:y2=2px(p0).设A、B关于L的对称点分别为A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：A/（），B/（）。因为A/、B/均在抛物线上，代入，消去p，

8、得：k2-k-1=0.解得：k=,p=.所以直线L的方程为：y=x,抛物线C的方程为y2=x.10、已知椭圆的左、右焦点分别是F1（c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足（）设为点P的横坐标，证明；（）求点T的轨迹C的方程；（）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使F1MF2的面积S=若存在，求F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由.（）证法一：设点P的坐标为由P在椭圆上，得由，所以3分证法二：设点P的坐标为记则由证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为由椭圆第二定义得，即 由，所以3分（）解法一：设点T的坐标为 当时，

9、点（，0）和点（，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.在QF1F2中，所以有综上所述，点T的轨迹C的方程是7分解法二：设点T的坐标为当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上. 当|时，由，得. 又，所以T为线段F2Q的中点. 设点Q的坐标为（），则 因此 由得 将代入，可得 综上所述，点T的轨迹C的方程是7分 （）解法一：C上存在点M（）使S=的充要条件是 由得，由得 所以，当时，存在点M，使S=； 当时，不存在满足条件的点M.11分 当时， 由， ，得解法二：C上存在点M（）使S=的充要条件是 由得 上式代入得 于是，当时，存在点M，使S=； 当时，不存在满足条件的点M.

10、11分 当时，记， 由知，所以14分11、设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求APB的重心G的轨迹方程；（2）证明PFA=PFB.解：（1）设切点A、B坐标分别为，切线AP的方程为： 切线BP的方程为： 解得P点的坐标为： 所以APB的重心G的坐标为，所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为： （2）方法1：因为由于P点在抛物线外，则同理有AFP=PFB.方法2：当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为： 即所以P点到直线BF的距离为： 所以d1=d2，即得AFP=PFB.当时，直线AF的方程：

11、直线BF的方程： 所以P点到直线AF的距离为：，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到AFP=PFB.12、已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法解：设弦两端点分别为，线段的中点，则得由题意知，则上式两端同除以，有，将代入得（1）将，代入，得，故所求直线方程为： 将代入椭圆方程得，符合题意，为所求（2）将代入得所求轨迹方程为： （椭圆内部分）（3）将

12、代入得所求轨迹方程为： （椭圆内部分）（4）由得 ： ， ， 将平方并整理得， ， ， 将代入得： ， 再将代入式得： ， 即 此即为所求轨迹方程当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决13、椭圆C:的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，且（）求椭圆C的方程；（）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M，交椭圆C于两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程.解法一：()因为点P在椭圆C上，所以，a=3.在RtPF1F2中，故椭圆的半焦距c=,从而b2=a2c2=4,所以椭圆C的方程为1.()设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）. 由圆的方程为（x+2）2+(y1

13、)2=5,所以圆心M的坐标为（2，1）. 从而可设直线l的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k27=0. 因为A，B关于点M对称.所以 解得，所以直线l的方程为 即8x-9y+25=0. (经检验，符合题意)解法二：()同解法一.()已知圆的方程为（x+2）2+(y1)2=5,所以圆心M的坐标为（2，1）. 设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且 -得 因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=4, y1+ y2=2,代入得，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y1（x+2），即8x9y+

14、25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.14、已知椭圆的一个焦点，对应的准线方程为.（1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被点平分，求直线l 的方程.解：（1）由得即椭圆的方程为（2）易知直线l的斜率一定存在，设l： 设M（x1, y1），N（x2, y2），由得x1、x2为上述方程的两根，则 MN的中点为， ，解得k=3.代入中， 直线l：y=3x+3符合要求.15、设分别是椭圆C：的左右焦点，(1)设椭圆C上的点到两点距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；(2)设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点B的轨迹方程；(3)设点P是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM ，PN的斜率都存在，并记为 试探究的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论.解：（1）由于点在椭圆上， 2=4, 椭圆C的方程为 焦点坐标分别为（-1，0） ，（1，0）（2）设的中点为B（x, y）则点 把K的坐标代入椭圆中得线段的中点B的轨迹方程为（3）过原点的直线L与